中考数学试题分类汇编专项14方程和不等式应用综合.docx
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中考数学试题分类汇编专项14方程和不等式应用综合
2019年中考数学试题分类汇编专项14方程和不等式应用综合
注意事项：
认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！
重在审题，多思考，多理解！
专题14：
方程和不等式应用综合
【一】选择题
【二】填空题
【三】解答题
1.〔2018广东珠海6分〕某商店第一次用600元购进2B铅笔假设干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的
倍，购进数量比第一次少了30支、
〔1〕求第一次每支铅笔的进价是多少元？
〔2〕假设要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
【答案】解：
〔1〕设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为
x元。
根据题意列方程得，
，解得，x=4。
检验：
当x=4时，分母不为0，
∴x=4是原分式方程的解。
答：
第一次每支铅笔的进价为4元。
〔2〕设售价为y元，根据题意列不等式为：
解得，y≥6。
答：
每支售价至少是6元。
【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。
设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为
x元。
此题等量关系为：
第一次购进数量－第二次购进数量=30
－
=30。
〔2〕设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答。
利润表达式为：
第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润
·
＋
·
。
2.〔2018浙江湖州10分〕为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，甲、乙丙三种树的价格之比为2：
2：
3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵、
〔1〕求乙、丙两种树每棵各多少元？
〔2〕假设购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
〔3〕假设又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
3.〔2018浙江宁波10分〕为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费、如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：
元/吨
单价：
元/吨
17吨以下
a
0.80
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
〔说明：
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用〕
小王家2018年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元、
〔1〕求a、b的值；
〔2〕随着夏天的到来，用水量将增加、为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%、假设小王家的月收入为9200元，那么小王家6月份最多能用水多少吨？
【答案】解：
〔1〕由题意，得
，
②﹣①，得5〔b+0.8〕=25，b=4.2。
把b=4.2代入①，得17〔a+0.8〕+3×5=66，解得a=2.2。
∴a=2.2，b=4.2。
〔2〕当用水量为30吨时，水费为：
17×3+13×5=116元，9200×2%=184元，
∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨。
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8〔x﹣30〕≤184，
6.8〔x﹣30〕≤68，解得x≤40。
∴小王家六月份最多能用水40吨。
【考点】一元一次不等式和二元一次方程组的应用。
【分析】〔1〕根据等量关系：
“小王家2018年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可。
〔2〕先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可。
4.〔2018福建福州11分〕某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分、
（1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
（2）小亮获得二等奖（70～90分），请你算算小亮答对了几道题？
【答案】解：
（1）设小明答对了x道题，
依题意得：
5x－3（20－x）＝68，
解得：
x＝16。
答：
小明答对了16道题/
（2）设小亮答对了y道题，
依题意得：
，
解得16
≤y≤18
。
∵y是正整数，∴y＝17或18。
答：
小亮答对了17道题或18道题。
【考点】一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用。
【分析】
（1）设小明答对了x道题，那么有20－x道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题
目的扣分是68分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解。
（2）小明答对了x道题，那么有20－x道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分，就是最后的得分，得分满足大于或等于70小于或等于90，据此即可得到关于x的不等式组，从而求得x的范围，再根据x是非负整数即可求解。
6.〔2018湖南岳阳8分〕岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，假设由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，假设由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成、
〔1〕甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
〔2〕甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工〔包括12个月〕、为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月〔a、b均为整数〕分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【答案】解：
〔1〕设乙队需要x个月完成，那么甲队需要〔x﹣5〕个月完成，根据题意得：
，解得：
x=15。
经检验x=15是原方程的根。
当x=15时，x﹣5=10。
答：
甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成。
〔2〕根据题意得：
15a+9b≤141，
，解得：
a≤4b≥9。
∵a、b都是整数，∴a=2，b=12或a=4，b=9。
∴有2种施工方案：
甲队做2个月，乙队做12个月；甲队做4个月，乙队做9个月。
【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕设乙队需要x个月完成，那么甲队需要〔x﹣5〕个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可。
〔2〕根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可。
7.〔2018四川广安8分〕某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元、
〔1〕求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
〔2〕根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
〔3〕上面的哪种购买方案最省钱？
按最省钱方案购买需要多少钱？
【答案】解：
〔1〕设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
，解得：
。
答：
购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元。
〔2〕设购买购买电子白板a块，那么购买笔记本电脑〔396﹣a〕台，由题意得：
，解得：
。
∵a为整数，∴a=99，100，101，那么电脑依次买：
297，296，295。
∴该校有三种购买方案：
方案一：
购买笔记本电脑295台，那么购买电子白板101块；
方案二：
购买笔记本电脑296台，那么购买电子白板100块；
方案三：
购买笔记本电脑297台，那么购买电子白板99块。
〔3〕设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，
那么W=4000z+15000〔396﹣z〕=﹣11000z+5940000，
∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000〔元〕
∴当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，共需费用2673000元。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：
①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案。
〔2〕设购买购买电子白板a块，那么购买笔记本电脑〔396﹣a〕台，由题意得不等关系：
①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可。
〔3〕由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据〔2〕中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用。
8.〔2018四川资阳8分〕为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2018年秋季学期扩大办学规模、学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:
1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元、一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅、〔课桌凳和办公桌椅均成套购进〕
〔1〕（3分）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？
〔2〕（5分）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案、
【答案】〔1〕设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得
，解得
。
∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元。
〔2〕设购买办公桌椅m套，那么购买课桌凳20m套，由题意有
1600≤80000－120×20m－200×m≤24000，
解得，
。
∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案：
方案一
方案二
方案三
课桌凳〔套〕
440
460
480
办公桌椅〔套〕
22
23
24
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办
公桌椅，得出等式方程求出即可。
〔2〕利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可。
9.〔2018四川自贡10分〕暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，弟弟单独编织一周〔7天〕不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成、哥哥平均每天比弟弟多编2个、
求：
〔1〕哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？
〔答案取整数〕
〔2〕假设弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？
【答案】解：
〔1〕设弟弟每天编x个中国结，那么哥哥每天编〔x+2〕个中国结、
依题意得：
，解得：
2＜x＜4。
∵x取正整数，∴x=3，x+2=5。
答：
哥哥平均每天编5个中国结，弟弟平均每天编3个中国结。
〔2〕设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，
依题意得：
3〔m+2〕=5m，解得：
m=3、
答：
假设弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同。
【考点】一元一次不等式组和一元一次方程的应用。
【分析】〔1〕设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周〔7天〕不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7〔x+2〕＞28，列不等式组进行求解。
〔2〕设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合〔1〕中求得的结果，列方程求解。
10.〔2018四川南充8分〕学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，假设租用1辆大车2辆小车供需租车费1000元；假设假设租用2辆大车1辆小车供需租车费1100元.
〔1〕求大、小车每辆的租车费各是多少元？
〔2〕假设每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案。
【答案】解：
（1）设大、小车每辆的租车费各是x、y元
那么
，解得
。
答：
大、小车每辆的租车费各是400元、300元。
〔2〕240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6。
故租车总数是6辆，设大车辆数是x辆，租小车〔6-x〕辆。
那么
，解得，4≤x≤5。
∵x是正整数∴x=4或5。
∴有两种租车方案：
方案1：
大车4辆小车2辆，总租车费用2200元；
方案2：
大车5辆小车1辆，总租车费用2300元。
∴最省钱的是方案1：
租大车4辆小车2辆。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕设大车每辆的租车费是x元、小车每辆的租车费是y元、根据题意：
“租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元”；“租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元”；列出方程组，求解即可。
〔2〕根据汽车总数不能小于
〔取整为6〕辆；同时每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6，即可求出共需租汽车的辆数。
再根据总数240名师生和总租车费用不超过2300元列出不等式组求解即可。
11.〔2018辽宁朝阳12分〕为支持抗震救灾，我市A、B两地分别的赈灾物资100吨和180吨。
需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨。
〔1〕求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？
〔2〕设A地运往C县的赈灾物资为x吨〔x为整数〕，假设要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，那么A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？
【答案】解：
〔1〕设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，根据题意得，
，解得
。
答：
这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨，120吨。
〔2〕∵A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，∴B地运往C县的物资是〔160－x〕吨，A地运往D县的物资是〔100－x〕吨，B地运往D县的物资是120－〔100－x〕=〔20＋x〕吨，根据题意得，
，解得
。
∴不等式组的解集是40＜x≤43。
∵x是整数，∴x取41、42、43。
∴方案共有3种，分别为：
方案一：
A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，那么B地运往C县的物资是119吨，
A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；
方案二：
A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，那么B地运往C县的物资是118吨，
A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；
方案三：
A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，那么B地运往C县的物资是117吨，
A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用〔调配问题〕。
【分析】〔1〕设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程，再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可。
〔2〕根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出B地运往C县的物资是〔160－x〕吨，A地运往D县的物资是〔100－x〕吨，B地运往D县的物资是120－〔100－x〕=〔20＋x〕吨，然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出一个不等式，根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据x为整数即可得解。
12.〔2018辽宁铁岭12分〕为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获
奖同学购买奖品.小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，那么需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，
那么需要31元.
〔1〕求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
〔2〕班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名〔每人奖励一件奖品〕，假设购买的钢笔数
不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
【答案】解：
〔1〕设每个笔记本x元，每支钢笔y元，
依题意得：
，解得：
。
答：
设每个笔记本3元，每支钢笔5元。
〔2〕设购买笔记本m个，那么购买钢笔〔24－m〕个，
依题意得：
，解得：
。
∵m取正整数，∴m=10或11或12。
∴有三种购买方案：
①购买笔记本10个，那么购买钢笔14个；
②购买笔记本11个，那么购买钢笔13个；
③购买笔记本12个，那么购买钢笔12个。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可。
〔2〕设购买笔记本m个，那么购买钢笔〔24－m〕个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案。
13.〔2018贵州铜仁12分〕为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品、假设购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；假设购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元、
〔1〕求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
〔2〕假设该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
〔3〕假设销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第〔2〕问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？
最大利润是多少元？
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕方程〔组〕的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。
此题等量关系为：
购进A种纪念品8件＋B种纪念品3件=950元
购进A种纪念品5件＋B种纪念品6件=800元。
〔2〕不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。
此题不等量关系为：
购买这100件纪念品的资金不少于7500元，不超过7650元。
〔3〕因为B种纪念品利润较高，所以选取B种数量多的方案即可求解。
14.〔2018山东菏泽7分〕我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书、经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等、今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
【答案】解：
设文学书的单价是
元/本，
依题意得：
。
解之得：
，
经检验
是方程的解，并且符合题意。
∴
。
∴去年购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元。
设购进文学书550本后至多还能购进
本科普书，
依题意得
，解得
。
由题意取最大整数解，
。
∴购进文学书550本后至多还能购进466本科普书。
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用。
【分析】先求两种书的单价：
设文学书的单价是
元/本，那么科普书的单价是
+4元/本，然后根据用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等，即可列出方程，求得两种书的单价。
再求还能购进多少本科普书：
设购进文学书550本后至多还能购进
本科普书，那么根据总价不超过10000元列不等式求解。
15.〔2018山东潍坊9分〕为了援助失学儿童，初三学生李明从2018年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出（汇款手续费不计）、2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元、
（1）在李明2018年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元?
（2）为了实现到2018年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2018年1月份开始，每月存款都比2018年每月存款多t元（t为整数），求t的最小值、
【答案】解：
〔1〕设李明每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，依题意得，
，解得
。
答：
在李明2018年1月份存款前，储蓄盒内原有存款50元。
〔2〕由〔1〕得，李明2018年共有存款12×15+50=230元，
2018年1月份后每月存入〔15+t〕元，2018年1月到2018年6月共有30个月，
依題意得，230+30〔15+t〕＞1000，解得t＞
。
所以t的最小值为11。
答：
t的最小值为11。
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用。
【分析】〔1〕设李明每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，根据题意得两个等量关系：
①储蓄盒内原有存款+2个月的存款=80元；储蓄盒内原有存款+5个月的存款=125元，根据等量关系可列出方程组
，解可得答案。
〔2〕首先计算出2018年共有的存款数，再由题意可得从2018年1月份开始，每月存款为〔15+t〕元；从2018年1月到2018年6月共有30个月，共存款30〔15+t〕，再加上2018年共有的存款数存款总数超过1000元，由此可得不等式230+30〔15+t〕＞1000，解出不等式，取符合条件的最小的整数值即可。
16.〔2018广西北海8分〕某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：
5。
〔1〕求出该班男生与女生的人数；
〔2〕学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：
①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人
数2人以上。
请问男、女生人数有几种选择方案？
【答案】解：
〔1〕设男生有6x人，那么女生有5x人。
依题意得：
6x＋5x＝55，∴x＝5。
∴6x＝30，5x＝25。
答：
该班男生有30人，女生有25人。
〔2〕设选出男生y人，那么选出的女生为（20－y）人。
由题意得：
，解得：
7≤y＜9。
∴y的整数解为：
7、8。
当y＝7时，20－y＝13；当y＝8时，20－y＝12。
答：
有两种方案，即方案一：
男生7人，女生13人；方案二：
男生8人，女生12人。
【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕设男生有6x人，那么女生有5x人，根据男女生的人数的和是55人，即可列方程求解。
〔2〕设选出男生y人，那么选出的女生为〔20－y〕人，根据：
①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上，即可列出不等式组，从而求得y的范围，再根据y是整数，即可求得y的整数值，从而确定方案。
17.〔2018广西河池10分〕随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统
计，某小区2017年底拥有家庭电动自行车125辆，2017年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
（1）假设该小区2017年底到2018年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，那么该小区到2018年
底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建假设干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车
位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，那么该小区最多可建两种车位各多少个？
试写出所有可能的方案.
【答案】解：
〔1〕设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，那么
125〔1+x〕2=180，解得x1=0.2=25%，x2=－2.2〔不合题意，舍去〕。
∴180〔1+20%〕=216〔辆〕。
答：
该小区到2018年底家庭电动自行车将达到216辆。
〔2〕设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，那么
，
由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤
∵a是正整数，∴a=20或21。
当a=20时b=50；当a=21时b=45。
∴方案一：
建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：
室内车位21个，露天车位45个。
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