螺栓接头强度之合理化分析.docx
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螺栓接头强度之合理化分析
螺栓接頭強度之合理化分析
MoreGeneralizedApproachforBoltedConnectionswithEccentricallyAppliedLoaded
徐暐亭1李柏樺2呂東苗3
1國立中興大學土木工程學系博士生
2國立中興大學土木工程學系碩士
3國立中興大學土木工程學系教授
摘要
螺栓接頭是鋼結構樑柱接合的主要方式之ㄧ，根據螺栓排列的幾何形狀、載重位置以及載重角度等因素，造成彎矩與剪力共同作用於樑柱接頭，可分為彈性設計與極限設計兩種方法，其過程牽涉複雜之數學運算，對於從事實務設計之工程師並不容易。
AISC設計規範（ASD與LRFD）對於螺栓接合之分析與設計，雖有提供設計手冊查表方法，但僅針對特定排列組合型式、外力角度以及水平偏心之查表值，手冊並未提及水平偏心外將會有垂直偏心之產生，根據本研究顯示設計手冊上所提供斜角載重之表列值結果相當不合理，致有低估至50%或高估至140%之現象。
針對上述面臨之問題，本研究將複雜的計算包含彈性、極限數值公式以程式輔助，擺脫規範所提供之特定限制，針對任何角度、不同的螺栓幾何排列，甚至不同強度之螺栓同時作用下的情況供設計者參考，可用於設計或是分析現有之螺栓接頭，對螺栓接合強度之分析提供較合理之設計依據。
關鍵字：
螺栓接合、彈性分析、極限分析、偏心載重、載重角度
Abstract
Wheneccentricityoccursintheplaneofthefayingsurface,theboltmustbedesignedtoresistthecombinedeffectofthedirectshareandtheadditionalshearfromtheinducedmoment.Twoanalysismethodsforboltedconnectionsofeccentricallyloadedaretheelasticmethodandtheultimatestrengthmethod.TabulatedsolutionforeccentricloadsinAISCdesignmanualthatareinclinedonlyatspecifiedanglesfromtheverticalisprovided.Thisstudyfurnishesamoregeneralizedsolutiontoovercometheproblemsasmentionedabove.Thetheoreticalmethodstoevaluatethestrengthofeccentricallyloadedconnectionsbasedontheelasticandultimateanalysisarepresented.Anumericalprocedurefortheanalysisofeccentricloadsthatareinclinedatanyanglesfromtheverticalisintroduced.Thiswillalsoaccomplishabettersolutionforpracticingengineerintheirroutinedesign.
Keywords:
boltedconnection,elasticmethod,ultimatestrengthmethod,eccentricallyloaded
一、前言
鋼結構中樑柱構件接合方式以螺栓樑柱接頭最為常見，依據螺栓幾何排列、螺栓的強度以及載重等因素作為設計上的考量。
樑柱接頭常會承受偏心載重（如圖1），因此接頭會同時產生彎矩與剪力作用，由於偏心距離以及承受載重時之角度不同，將會有不同的設計結果。
AISC相關設計規範[1,2,3]對於螺栓接合受彎矩及剪力同時作用下之分析與設計，提供設計手冊查表方法。
早期LRFD[2]與ASD[3]設計手冊甚至是新版的AISC設計手冊[1]僅提供特定排列組合型式之查表值，其限制為特定的表列螺栓間距、螺栓顆數以及單排、雙排、3排以及4排之規律組合，設計規範所提供不同距離的水平偏心作用力，表列出0~75度（每隔15度）參考值。
AISC規範[1]提供螺栓接頭斷面偏心載重位於形心軸延伸線上之表列值，多數情況而言，載重作用力之並非位於形心，規範只提供具水平偏心外力作用下之查表值，忽略水平偏心剪力產生額外彎矩造成的影響。
AISC設計手冊[1]並無提及當其所列圖表值不敷使用時，則會面臨繁雜的運算過程，若是以較簡單之彈性分析方法，其所得結果相對於保守。
本研究嘗試將繁雜的公式運算交由程式執行，並將其計算結果與現有AISC設計規範比較，以確認本研究結果之正確性。
除此，本研究結果將顯示出偏心力之高度不同所產生的強度值之差異性，並且針對任何載重角度（0≦θ≦360°）以瞬時旋轉中心方法合理分析，解決業界在處理鋼構件螺栓接頭受不同角度外力行為時所面臨之困難，更能準確地分析鋼構件之螺栓接頭行為，以符合最佳化與安全設計之要求。
二、螺栓接頭承受偏心載重之分析
外力以偏心垂直或斜角作用於的樑柱接頭，其螺栓設計需考量外力作用下之直接剪力與剪力偏心後所產生之額外彎矩之共同影響。
關於偏心作用在螺栓接頭表面上剪力產生額外的彎矩相關研究相當少，關於偏心作用在螺栓接頭表面上產生額外的剪之相關研究相當少，螺栓接頭理論包含Crawford與Kulak提出的螺栓接頭偏心載重分析之研究[4,5];Higgins之AISC手冊中對於螺栓偏心載重之計算[6];Brandt的螺栓組合斷面承受偏心載重之極限強度設計[7]，以及Iwankiw的螺栓與銲接接頭承受偏心斜向載重之設計[8]這些研究結果成為AISC2005規範[1],LRFD[2]及ASD[3]之主要依據。
除此，Picard等人也對於鋼構件接合之偏心載重設計[9]以及Tagawa與Gurel對於鋼構件螺栓接合承受彎矩之應用[10]。
本研究螺栓接頭之設計需考慮直接剪力以及額外的剪力引起之彎矩影響，規範對此偏心載重提供彈性分析與瞬時旋轉中心分析兩種方法。
彈性分析方法較為簡單但是相對保守；瞬時旋轉中心法較為精確，但需要經過繁複的計算或是直接只用規範提供固定形式之查表值。
2.1彈性分析法
螺栓接頭的螺栓受到偏心載重作用時（如圖2），螺栓受到偏心載重P（Pu或Pa）作用產生通過組合螺栓形心上之直接剪力以及偏心載重之彎矩Pe（Pue或Pae）同時作用。
彈性分析法主要係根據Higgins[6]提出AISC手冊中對於螺栓偏心載重之計算之研究，其計算過程假設:
（1）承受直接剪力作用後螺栓分別承受相同大小的剪應力
（2）偏心載重造成的彎矩力按螺栓與形心間的距離比例分配
螺栓剪應力的計算根據接剪力作用後螺栓的剪應力以及彎矩的比例分配疊加後，找出受力最大的螺栓所需強度r（ru與ra），通常位於離形心最遠的螺栓。
（AISC設計手冊ASD與LRFD計算過程分別如表5所示）
根據AISC規範提出集中載重P（Pu與Pa）作用下，分配於各螺栓的剪力為:
（1）
載重P若與垂直軸傾斜θ角作用時，每各個螺栓的水平剪力rpx以及垂直剪力rpy
;
（2）
偏心載重P對於形心產生額外彎矩（Pe）分配到每各個螺栓的剪力rm
（3）
式中c=螺栓中心距離形心（CG）的直線距離
Ip=Ix+Iy=全部螺栓之極慣性矩
偏心載重產生額外彎矩（Pe）分配到每各個螺栓的水平剪力rmx與垂直剪力rmy（以形心為中心）
;
（4）
式中cx與cy=螺栓中心距離形心（CG）的水平距離與垂直距離
根據公式
（2）以及公式（4），將各螺栓承受之剪力以及額外彎矩組合可得螺栓之需求強度r（ru與ra）
（5）
根據設計理念：
需求強度≤設計強度
應用於螺栓接頭之彈性分析與設計。
2.2極限瞬時中心分析法
偏心載重作用於螺栓接頭而未通過螺栓斷面形心時，螺栓斷面將根據一個點產生偏移與旋轉，此點稱為瞬時旋轉中心點（IC），如圖3-（a）所示。
極限瞬時旋轉中心的位置根據載重的偏心距離及載重角度、螺栓斷面的、螺栓排列的幾何形狀以及由螺栓的變形的大小所構成。
各螺栓分擔之剪力方向與各螺栓中心點到瞬時旋轉中心（I.C.）的直線距離成垂直，如圖3-（b）所示，
極限瞬時中心分析法主要係根據Crawford與Kulak的相關研究[6]顯示，單一螺栓載重與變形之關係曲線如圖4。
距離順時中心愈遠的螺栓產生的變形量愈大，根據公式（6）求出各螺栓在變形量不同下之標稱剪力強度，將各螺栓之剪力強度疊加，求出此斷面之標稱剪力總和。
圖4根據直徑3/4英吋A325的螺栓試驗得出，單一螺栓的極限剪力強度為74kips以及最大變形量為0.34in.。
研究結果顯示此數值可適用於相同性質之螺栓。
（即Rult=74.0kips,
=0.34in.）
計算出正確的瞬時旋轉中心的位置後，須滿足三項平面之靜力平衡方程式條件。
（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0）
（6）
式中R=單一螺栓根據其變形量對應之標稱剪力強度
Rult=單一螺栓之極限剪力強度
=所有外力（包含剪力、承壓以及額外彎矩）造成螺栓之總變形量
e=自然對數值為2.718
2.3AISC設計手冊之查表值
AISC設計手冊[1,2,3]內提供相關查表值，但是其根據特定偏心載重、載重角度（0°,15°,30°,45°,60°,75°）、螺栓的間距（3in,5.5in.）以及特定之幾何排列（單排、雙排、三排、四排），由瞬時旋轉中心法求出偏心載重下所有螺栓之參考係數C（如表X所示），AISC設計手冊所提供之偏心載重對螺栓接合之強度設計，螺栓斷面能承受之最大設計強度為
Rn（LRFD）或Rn/Ω（ASD）其Rn如下:
（7）
（LRFD）,
（ASD）（8）
式中Rn=螺栓組合斷面之標稱剪力
C=AISC設計手冊上之查表係數
rn=AISC設計手冊內之單一螺栓斷面之標稱剪力
Pu與Pa=LRFD與ASD所最大需求載重P
與Ω=分別為0.75以及2
三、螺栓接頭例題
一接頭托架承受一偏心載重，柱子為W型鋼，鋼柱、接座使用A36鋼材，使用12根直徑7/8in.A325-N的螺栓如圖5所示。
假設A325-N螺栓接合相關之各接板強度足夠，螺栓之邊距、間距皆符合設計規範之要求，根據彈性分析法、順時中心分析法以及AISC規範手冊內查表值求出載重角度（θ）為0度以及30角度時之接頭能承受之最大載重（Pu與Pa）。
螺栓邊距為2.5in.
【彈性分析法】
（一）偏心載重垂直作用於螺栓斷面,圖5-（a）
（a）斷面性質Ip=d2=（7.988）24+（5.273）24+（3.132）24=406in.2
（b）根據公式
（1）各螺栓之直接剪應力rp=P/n=P/12
（c）根據公式（4）各螺栓因偏心承受之額外剪應力
;
（d）根據公式（5）螺栓之最大剪應力總和
（e）設計強度（需要強度≤設計強度
）
LRFD─
（二）偏心載重以斜角（與垂直軸夾角30度）作用螺栓斷面,圖5-（b）
（a）斷面性質Ip=d2=（7.988）24+（5.273）24+（3.132）24=406in.2
（b）根據公式
（1）各螺栓之直接剪應力
rpx=0.5P/12=0.042P,rpy=0.866P/12=0.072P
（c）根據公式（4）各螺栓因偏心承受之額外剪應力
Mc.g.=Pe=Mo=（0.866P16）（0.5P10）=13.856P5P=8.856P
;
（d）根據公式（5）螺栓之最大剪應力總和
（e）設計強度（需要強度≤設計強度
）
LRFD─
【極限旋轉中心分析法】
（一）偏心載重垂直作用於螺栓斷面,圖5-（a）
rn=
FnAb=0.75×48×0.6=21.6kips
根據公式（6）
根據試誤法令P=ΣRd/（ro+l）=ΣRv找出瞬時中心距離r0=2.258in.
P=ΣRd/（ro+l）=1401.414/（2.258+16）=76.76k=ΣRv
表1垂直偏心載重作用於螺栓斷面時以瞬時旋轉中心分析各螺栓受力狀況
螺栓
h（in.）
v（in.）
d（in.）
Δ（in.）
R（k）
Rh（k）
Rv（k）
Rd（in.-k）
1
-0.492
7.500
7.516
0.283
20.892
20.847
-1.368
157.027
2
5.008
7.500
9.018
0.340
21.200
17.631
11.773
191.192
3
-0.492
4.500
4.527
0.171
19.347
19.233
-2.103
87.582
4
5.008
4.500
6.733
0.254
20.644
13.798
15.356
138.991
5
-0.492
1.500
1.579
0.060
13.898
13.205
-4.332
21.939
6
5.008
1.500
5.228
0.197
19.889
5.707
19.053
103.975
7
-0.492
-1.500
1.579
0.060
13.898
-13.205
-4.332
21.939
8
5.008
-1.500
5.228
0.197
19.889
-5.707
19.053
103.975
9
-0.492
-4.500
4.527
0.171
19.347
-19.233
-2.103
87.582
10
5.008
-4.500
6.733
0.254
20.644
-13.798
15.356
138.991
11
-0.492
-7.500
7.516
0.283
20.892
-20.847
-1.368
157.027
12
5.008
-7.500
9.018
0.340
21.200
-17.631
11.773
191.192
SUM
0.000
76.76
1401.414
（二）偏心載重以斜角（與垂直軸夾角30度）作用螺栓斷面,圖5-（b）
rn=
FnAb=0.75×48×0.6=21.6kips
根據公式（6）
R=Rult（1e-10）0.55,Rh=Rh/d,Rv=Rv/d,l=e=16in.,Rult=rn=21.6kips
根據試誤法令ΣRd=[（0.866P）（16ax）]+[（0.5P）（10ay）]
P=ΣRd/[（0.866）（16ax）]+[（0.5）（10ay）]
得出P=119.28kips
Px=119.28×sin30○=59.64kips=ΣRh;Py=119.28×cos30○=103.30kips=ΣRv
找出瞬時中心距離ax=3.046in.;ay=2.239in.
表2偏心載重以斜角作用於螺栓斷面時以瞬時旋轉中心分析各螺栓受力狀況
螺栓.
h（in.）
v（in.）
d（in.）
Δ（in.）
R（k）
Rh（k）
Rv（k）
Rd（in.-k）
1
0.296
5.261
5.270
0.158
19.029
18.999
1.069
100.279
2
5.796
5.261
7.828
0.235
20.440
13.738
15.134
160.002
3
0.296
2.261
2.281
0.068
14.680
14.556
1.906
33.482
4
5.796
2.261
6.222
0.187
19.693
7.158
18.347
122.527
5
0.296
0.739
0.796
0.024
9.212
8.551
3.428
7.331
6
5.796
0.739
5.843
0.175
19.454
2.459
19.298
113.670
7
0.296
3.739
3.750
0.113
17.406
17.352
1.375
65.280
8
5.796
3.739
6.897
0.207
20.054
10.870
16.853
138.321
9
0.296
6.739
6.745
0.202
19.980
19.961
0.877
134.766
10
5.796
6.739
8.888
0.267
20.761
15.740
13.538
184.534
11
0.296
9.739
9.743
0.292
20.953
20.944
0.637
204.150
12
5.796
9.739
11.333
0.340
21.200
18.218
10.843
240.264
SUM
59.642
103.305
1504.604
【AISC設計手冊查表方法】
（一）偏心載重垂直作用於螺栓斷面,圖5-（a）
根據AISC設計規範[1]表7-9（P.7-44）查表C值為3.55（θ=0°,s=3in.,e=16in.,n=6）
C=3.55;
rn=21.6k
根據公式（7）以及公式（8）Pu
Rn=C×
rn=3.55×21.6=76.68kips
（二）偏心載重以斜角（與垂直軸夾角30度）作用螺栓斷面,圖5-（b）
根據AISC設計規範[1]表7-9（P.7-46）查表C值為3.92（θ=30°,s=3in.,e=16in.,n=6）
C=3.92;
rn=21.6k
根據公式（7）以及公式（8）Pu
Rn=C×
rn=3.92×21.6=84.67kips
例題之彈性分析、極限瞬時旋轉中心以及AISC規範查表之設計載重整理如下所示:
表3例題以不同方法分析所得之最大設計載重
最大設計載重
P（kips）
方法
偏心載重垂直作用於螺栓斷面
之最大設計載重P（kips）
圖5-（a）
偏心載重以30度角作用螺栓斷面
之最大設計載重P（kips）
圖5-（b）
彈性分析法
61.28
88.44
瞬時旋轉中心分析法
76.76
119.28
AISC設計手冊查表方法
76.68
84.67
表3結果顯示，偏心載重垂直作用於螺栓斷面形心延伸線上，如圖5-（a），查表值與瞬時旋轉中心分析所得之值相同；若是將偏心載重以30度角作用於樑柱接頭上，如圖5-（b），比較出AISC設計手冊[1]之查表值與瞬時旋轉中心分析結果出現差異，甚至小於彈性分析方法之結果。
計算例題中任何載重角度（0≦θ≦360°）時，偏心載重並非垂直作用於螺栓斷面形心延伸線上之影響，將彈性方法以及AISC設計手冊[1]查表值所求出的最大設計載重P，比較其差異，如圖6。
圖6瞬時旋轉中心分析與各方法之比較
圖6顯示，彈性分析法雖然較保守，但仍然屬於安全範圍內。
AISC設計手冊[1]之查表值在58度之前低於瞬時旋轉中心值，規範之75度查表值已經高估其容許強度，照規範估計90度時產生誤差最大。
本研究比較樑柱接頭偏心載重位於形心延伸線上，與未作用於形心延伸線上之差異，如圖7-（a）與7-（b）所示。
當以水平偏心載重為16in.時，彈性分析與順時旋轉中心分析出之設計載重P除以螺栓的容許強度（
rn或rn/Ω），將螺栓斷面能承受之最大載重轉換成等同AISC設計手冊之查表係數C值，除去螺栓強度與折減因子影響，以彈性分析與順時旋轉中心分析法計算出載重是否位於形心延伸線上之差異，並提供任何載重角度（0≦θ≦360°）之C值供比較，如表4所示。
表4顯示偏心載重沒有垂直偏心時，其結果與AISC設計手冊皆相同。
實際情況而言，偏心載重除水平偏心還具有垂直偏心，除垂直作用（0度）下其他各角度都與規範提供之值不同，根據本研究結果顯示本螺栓接頭在60度前AISC設計手冊產生低估值最大達50%，而75度時AISC設計手冊則產生高估於正確載重的1.13倍。
因此，AISC設計手冊之誤差因作用點並非位於螺栓形心延伸位置上，AISC設計手冊未考慮垂直偏心的高度影響，因此造成誤差來源，如圖7所示。
表4彈性分析法分析、瞬時旋轉中心法與AISC設計手冊之查表係數C值比較
載重方式
樑柱接頭偏心載重作用於
形心延伸線上
係數C值
樑柱接頭偏心載重未作用於
形心延伸線上
係數C值
方法
角度
方法一
方法二
方法三
方法一
方法二
方法三
0
2.84
3.55
3.55
2.84
3.55
3.55
10
2.78
3.57
3.07
3.95
15
2.79
3.62
3.62
3.24
4.21
3.62
20
2.81
3.69
3.45
4.55
30
2.93
3.92
3.92
4.09
5.52
3.92
40
3.16
4.30
5.22
7.03
45
3.33
4.55
4.55
6.14
8.09
4.55
50
3.54
4.86
7.51
9.42
60
4.17
5.71
5.71
10.40
11.27
5.71
70
5.23
7.01
6.23
8.08
75
6.07
7.90
7.90
5.21
6.98
7.90
80
7.27
8.90
4.51
6.12
90
12.00
12.00
3.62
4.99
100
7.27
8.99
3.02
4.1
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