完整word版初中数学知识点小结全docx.docx
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初中数学知识点总结
一、基本知识
（一）、数与代数
A、数与式：
1、有理数有理数：
①整数：
正整数、0、负整数；②分数：
正分数、负分数；
数轴：
①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直
线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互
为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：
①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较
大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：
加法：
①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
1
乘法：
①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：
①除以一个数等于乘以这个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，an乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
混合顺序：
先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数
无理数：
无限不循环小数叫无理数
平方根：
①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。
③一个正数有2个平方根，0的平方根为0，负数没有平方根。
④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
立方根：
①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
实数：
①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的
意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
3、代数式：
2
代数式：
单独一个数或者一个字母也是代数式。
合并同类项：
①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、整式与分式
整式：
①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。
②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算：
加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
am
an
amn
am
a
mn
an
幂的运算：
anbn；
（ab）n
（a）n
an
b
bn
整式的乘法：
①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，
作为积的因式。
②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把
所得的积相加。
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积
相加。
公式两条：
平方差公式：
a2
b2
（ab）（ab）；完全平方公式：
（ab）2
a2
2abb2
整式的除法：
3
①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；
对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
分解因式：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法：
提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式：
①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分
母不能为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
．．．．
分式的运算：
乘法：
把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
除法：
除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法：
①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。
分式方程：
①分母中含有未知数的方程叫分式方程。
②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
B、方程与不等式
1、方程与方程组
一元一次方程：
①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
4
解一元一次方程的步骤：
去分母，移项，合并同类项，将未知数系数化为1。
二元一次方程：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组：
两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：
代入消元法、加减消元法。
一元二次方程：
只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为
2的方程
1）一元二次方程的二次函数的关系
二次函数（如抛物线yax2
bxc），一元二次方程的解可在二次函数图象中表示，一元二次
方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当
y为0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在
平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与
x轴的交点就是该方程的
解。
2）一元二次方程的解法：
二次函数图像有顶点：
b
4acb2
），利用他可以求出所有的一元
（
2a
4a
二次方程的解
（1）配方法：
利用配方，使方程变为完全平方公式，再开平方法去求解。
（2）分解因式法：
提取公因式，利用公式法、十字相乘法。
把方程化为几个乘积的形式去解
（3）公式法：
这方法也可以是在解一
bb2
bb2
元二次方程
ax2
bxc（x
4ac）（x
4ac）0
的万能方法了，
2a
2a
x1
b
b2
4ac,x2
b
b2
4ac;
2a
2a
5
方程的根为：
3）解一元二次方程的步骤：
（1）配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次
项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
（2）分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
（3）公式法：
就把一元二次方程的各系数分别代入，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数
项的系数为c
4）韦达定理：
韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和x1x2
b，二根之积：
x1x2
c
a
a
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用
5）一元一次方程根的情况：
根的判别式：
，
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III当△<0时，一元二次方程没有实数根；
2、不等式与不等式组
不等式：
①用符号“>，”或“<，”号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
6
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式
叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：
在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数，不等式符号不改向；例如：
若ab,则acbc。
在不等式中，如果减去同一个数，不等式符号不改向；例如：
若ab,则acbc。
在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：
若ab,则acbc（c0）。
在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号反向；例如：
若ab,则acbc（c0）。
如果不等式乘以0，那么不等号改为等号
所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，
那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
3、函数：
变量：
因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴x上的点表示自变量，用竖直方向的
数轴y上的点表示因变量。
一次函数：
①若两个变量x、y间的关系式可以表示成：
ykxb（b为常数，k不等于0）的形式，则
7
称y是x的一次函数。
②当b=0时，即：
ykx（k0）称y是x的正比例函数。
一次函数的图象：
①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标
系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数ykx（k0）的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当k<0，b0，b>0时，则经1、2、4象限；
当k>0，b<0时，则经1、3、4象限；当k>0，b>0时，则经1、2、3象限。
④当k>0时，Y的值随x值的增大而增大，当k<0时，y的值随x值的增大而减少。
（二）空间与图形
A、图形的认识
1、点，线，面：
①图形是由点，线，面构成的。
②面与面相交得线，线与线相交得点。
③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：
①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧
棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。
②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体：
用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
视图：
主视图，左视图，俯视图。
多边形：
他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、扇形：
8
①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。
②圆可以分割成若干个扇形。
2、角
线：
①线段有两个端点。
②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线只有一个端点。
③将线段的两端无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
④经过两点有且只有一条直线。
比较长短：
①两点之间的所有连线中，线段最短。
②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：
①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。
②一度的1是一分，一分的1是一秒。
1°=60′；1′=60″；
6060
角的比较：
①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。
②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。
始边继续
旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。
③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平
分线。
平行：
①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
9
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
垂直：
①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直平分线：
垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。
垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根射线和直线可以无限延长有关，
垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了两点后，一定要把线段穿出两点。
角平分线：
把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
定义中有几个要点要注意，1○角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，在题目中会出现
直线，这是角平分线作为对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，2一个角的角平分线就
○
是到角两边距离相等的点的轨迹。
正方形：
一组邻边相等的矩形是正方形
性质：
正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
判定：
1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形
二、基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
10
7、平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理：
三角形两边的和大于第三边
16、推论：
三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
18、推论1：
直角三角形的两个锐角互余
19、推论2：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理（SAS）：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23、角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24、推论（AAS）：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理（SSS）：
有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理（HL）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27、定理1：
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2：
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
11
30、等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）
31、推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33
、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
60°
34
、等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等（等
角对等边）
35、推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论2：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
39、定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理1：
关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理2：
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44、定理3：
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴
上
45、逆定理：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直
线对称
46
、勾股定理：
直角三角形两直角边
a、b的平方和等于斜边c的平方，即：
a2
b2
c2
47
、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a、b、c有关系a2
b2
c2，那么这个三角形是
直角三角形
48、定理：
四边形的内角和等于360°
12
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理：
n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51、推论：
任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1：
平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理2：
平行四边形的对边相等
54、推论：
夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3：
平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58、平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理4：
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60、矩形性质定理1：
矩形的四个角都是直角
61、矩形性质定理2：
矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形
63、矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形
64、菱形性质定理1：
菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2：
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
1
66、菱形面积等于对角线乘积的一半，即：
Sab
2
67、菱形判定定理1：
四边都相等的四边形是菱形
68、菱形判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69、正方形性质定理1：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70、正方形性质定理2：
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对
角
13
71、定理1：
关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2：
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73、逆定理：
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理：
等腰梯形在同一底上的两个角相等
75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79、推论1：
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80、推论2：
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
l
1
b）
（a
82
、梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
2
1
S
b）hlh
（a
2
83
a
c
，那么ad
bc；如果：
ad
a
c
。
、
（1）比例的基本性质：
如果：
d
bc，那么：
d
b
b
84、
（2）合比性质：
如果：
a
c，那么：
ab
c
d
b
d
b
d
85
、（3）等比性质：
如果：
a
c
m，那么：
a
c
m
a
c
b
d
n
b
d
n
b
d
86、平行线分线段成比例
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