大一上学期高数复习要点.docx

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大一上学期高数复习要点

大一上学期高数复习要点

同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点；

1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。

2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。

3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。

结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。

没有用到公式的要死抓定义定理！

一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。

一函数与极限

熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理

本章公式：

两个重要极限：

二.导数与微分

熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

洛必达法则：

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限.

②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.

曲线的凹凸性与拐点：

注意：

首先看定义域然后判断函数的单调区间

求极值和最值

利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）

四.不定积分：

（要求：

将例题重新做一遍）

对原函数的理解

原函数与不定积分

1基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）

不定积分的性质

最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！

高数高频易错点

1.求极限请注意自变量趋向什么。

我们知道：

lim（x趋向0）sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：

无穷小量×有界函数=无穷小量。

这里：

|sinx|<=1，1/x是无穷小量。

再次重申：

请注意x趋向什么。

2.关于极限的保号性。

若limf（x）=A,A>0或（A<0），则存在δ>0，当x取x0的δ去心

x->x0邻域时,f（x）>0（或f（x）<0）。

这是最原始结论：

如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。

比如举例分段函数：

当x=0时，f（x）=-1，当x不为0时，f（x）=x^2＋1，显然lim（x趋向0）f（x）=1>0，然而并不满足f（x）>0（在x=0处）。

介绍这个定理的作用：

解一类题。

请看：

已知f（x）可导，且当x趋向0，limf（x）/|x|=1，判断f（x）是否存在极值点。

因为f（x）可导，那么f（x）必连续，因为lim（x趋向0）f（x）/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：

lim（x趋向0）f（x）=0，否则不会存在极限的，又因为f（x）连续，那么f（0）=0，令f（x）/|x|=g（x），根据保号性，因为limg（x）=1>0，那么：

g（x）>0，那么由于|x|在x趋向0时>0，所以f（x）>0，而0=f（0），所以f（x）>f（0），根据极小值的定义，x=0为f（x）的极小值点。

★综上：

已知limg（x）=a，a的正负已知，可以使用保号性。

3.请注意当题目说：

x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：

x趋向正无穷和x趋向负无穷。

在含有e^x，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。

补充：

在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去||时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以√（x^2）出现。

4.关于和差化积积化和差公式的记忆。

8字口诀：

同c异s，s异c同。

前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。

举例：

sinacosb=？

因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=（1/2）（sin（a+b）+sin（a-b）），★说明：

1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2（（）＋（或者-）（））；3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。

5.关于极值点的3种判别法：

■法一：

定义法；■法二：

若f（x）可导，f'（xo）=0，且f’’（x）不为0，则f（x）在xo处取得极值，若二阶导<0，取得极大；＞0，极小。

法三：

（n阶判别法）：

若f'（xo）=二阶导（xo）=…=n-1阶导（xo）=0，且n阶导不为0，若n为偶数，且n阶导>0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则（xo，f（xo）为拐点，xo不是极值点。

证明：

略

6.参数方程二阶导问题（无数不懂事的孩子搞不清楚），我们说一般地，y''表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。

y''=d^2y/dx^2=[d（dy/dx）]/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y’（t），和关于t的x'（t），因为dy/dx=（dy/dt）×（dt/dx）=y'（t）/x‘（t）。

举例：

已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2y/dx^2。

标准解答：

1：

y'（t）=-sint，x'（t）=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：

d^2y/dx^2=d（dy/dx）/dx=｛d[（-sint）/2t]｝/dt*（dt/dx）=（-tcost+sint）/（4t^3）………★综上：

二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。

7.等价无穷小只能使用于乘除（题外：

其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆）。

比如：

初学者可能会认为这个极限为0，lim（x趋向0）（tanx-sinx）/x^3=0[计算思路：

（x-x）/x^3=0]，事实上它等于1/2.原因：

提取tanx后等价无穷小。

等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。

8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。

错误一：

把变量当做常量。

比如：

y=x^x，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y'/y=1+lnx，所以y'=（x^x）（1+lnx）。

错误做法：

y=x^x，y'=x（x^（x-1））=x^x。

（但愿你们找到了错误在哪），错误二：

搞不清楚对x求导是什么意思。

当然：

y=x^2求导大家都会吧，y'=2x，当出现对y^2=x^2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y'，对y^2=x^2求导，得到：

2yy'=2x.再则：

对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+x^2，那么求导：

y'=y+y'x+2x。

★综上：

对隐函数求导，若是单独y，求导为y'，一切关于y的函数（比如y^2，lny，a^y等），先对这个函数求导再乘y'.

9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。

比如函数f（x）=0当x是有理数。

f（x）=x^2当x是无理数。

只在x=0处点连续，并可导。

按定义可验证在x=0处导数为0.

10.无穷小×有界=无穷小，但是：

无穷大×有界未必等于无穷大。

正确结论：

无穷大×有界=未知，比如：

当x趋向正无穷，x，x^2始终为无穷大，而1/x，1/x^2为有界量。

注意到：

x*（1/x^2）=1/x就是一个无穷小,而x^2*（1/x）=x却是无穷大,而x*（1/x）=1却是有限的。

11.可导与连续是完全不一样的。

有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开心，他说易得：

左导=右导=f（xo），你太天真了。

其实：

连续是说左极限=右极限=f（xo），可导是：

lim（x->xo）f（x）=f（xo），且左导=右导。

请搞清楚你要处理的问题。

不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。

补充：

在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导（这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导）。

12.很多初学者认为：

∫（a到x）f（t）dt中，变量是t，这是错的，你忽略了变限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。

记住：

这里x是变量，它求导=f（x）。

13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限0，由于极限等于0，我们习惯称为0/0形式。

也就是说：

若没有lim这个符号，0/0没有意义。

事实上：

再比如：

货真价实的数字1，1^无穷=1，若是（极限1）^无穷，则结果待定。

★★★高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如：

0/0，1^无穷，无穷/无穷，等等7类运算。

为此，产生了7种特殊的式子：

不定式。

由于结果不确定，所以称之为不定式。

…………◆综上：

我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。

14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：

正确做法：

先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.

15.无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大[但是请注意：

这里的无穷小除去了0。

16.x趋向0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：

（sinx）‘=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误～

17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0，无穷/无穷那么简单。

洛必达的3个条件：

⑴x→a时，limf（x）=0,limF（x）=0;

⑵在点a的某去心邻域内f（x）与F（x）都可导，且F（x）的导数不等于0;

⑶x→a时，lim（f'（x）/F'（x））存在或为无穷大

则x→a时，lim（f（x）/F（x））=lim（f'（x）/F'（x）），◆◆◆请注意：

1，第三点很容易被忽略，一般地：

含有lim（x趋向无穷）sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；2，在解含有抽象函数f（x）时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达＋最后一步使用导数定义！

3，单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。

（如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的）

18.一般地：

我们有以下结论：

lim（x趋向xo）f（x）=a，则必然有lim（x趋向xo）|f（x）|=|a|。

注意：

★若a不为0，上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的]，若a=0，上述结论逆命题仍然成立！

19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。

在使用极坐标时，应该同时注意到：

θ和ρ的任意性。

比如：

（x，y）趋向（0，0），求lim（xy）/（xy），容易证明该极限不存在（一条路径：

y=x，另一条：

y=x^2-x），倘若使用极坐标，则得：

limρ（cosθsinθ）/（cosθ＋sinθ），此时有分母出现0的可能（取θ=45度），因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：

你无法证明（cosθsinθ）/（cosθ＋sinθ）有界。

综上：

倘若使用极坐标，须同时考虑θ，ρ的任意性，不可盲目使用。

20.注意仅当y=f（x）时有：

y'=f'（x）。

若y=f（■），■不等于x时，y'不等于f'（■）。

比如：

y=f（x^2），y'=f'（x^2）2x，而不是等于f'（x^2）。

下面说明f'（■）和[f（■）]’的区别：

f'（■）表示已知f'（x）的表达式，并且把■当做x代入，这个过程是代值过程；而[f（■）]‘的意思是求导，至于对谁求导，则根据■确定。

注意：

仅当■=x时，f'（■）=[f（■）]’，即：

f'（x）=[f（x）]’，其他情况没有这个式子。

综上：

[f（■）]’=f’（■）■’。

21.一元函数中说f（x）连续可导不是指f（x）既连续又可导，“连续可导”意思是说f（x）的导函数连续。

……………………………………ps：

f（x）的导函数连续当然有f（x）既可导又连续，反之不然。

22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：

asinx+bcosx=√（a^2+b^2）sin（x+u），其中u=arctan（b/a），强制要求a>0；asinx+bcosx=√（a^2+b^2）cos（x+u），其中u=arctan（-a/b），强制要求b>0。

………………………………………………………………■ps：

为什么要强制要求？

[以第一个为例，第二个同理]原因在于：

我们既然采用了用u=arctan[b/a]来确定u的值，好处在于u在[-派/2，派/2]上是一一对应的（因为y=tanx在该范围内单调），事实上，u的范围就是[-派/2，派/2]，由此我们再来看给出的公式：

asinx+bcosx=√（a^2+b^2）sin（x+u），将右边展开得：

√（a^2+b^2）cosusinx+√（a^2+b^2）sinucosx，根据待定系数原则可得：

cosu=a/√（a^2+b^2），倘若我们不控制a>0，比如取a<0的话，那么cosu<0，显然u的范围已经落在二三象限中去了，而我们规定u在[-派/2，派/2]，即一四象限，由此出现矛盾，所以a必须大于0，u的范围才吻合公式左右。

23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？

其实，原因很简单。

在于：

dφ，dθ，dρ，dx，dy，dz，dr都是正数。

24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。

我相信不止一个人考虑过这个问题。

请看：

求定积分I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx，当然可以用面积来做，这里为了说明疑问，不用面积做，而用三角换元做。

……………★书上对定积分换元法的说明是这样的：

设f（x）在[a,b]上连续，【当t从α变到β时，x=φ（t）要从φ（α）=a（单调地）变到φ（β）=b,这里不必要求φ（t）单调，即不必要求x=φ（t）有反函数存在】，但不允许x=φ（t）的取值变到区间[a,b]之外。

此外，还要求φ（t）在[α,β]上具有连续的导数φ’（t），这时，定积分的换元公式才成立。

…………………………■：

简单说就是满足两个条件，单值加连续导数。

…………■下面来做本题：

令x=asint，则dx=acostdt，【当x=0时，t取0，x=a时，t取：

派/2】，对于这个【】里面的过程有些同学无法接受，[问题1]凭什么x=0，t要取0，为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t？

[问题2]凭什么一定要上限>下限。

解答问题1：

首先为了满足单值，不可以取一个形如[派，5派/2]的区间去对应原来的[0，a]尽管相对于x

尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件[单值]，在此区间[派，5派/2]内x=asint不是单值的[意思是：

令x=k，解得t不唯一]。

所以不能取一个区间不满足单值的。

比如：

你取一个[0，派/2]这样的就是合适的，当然你取[派，派/2]这个也是对的，为什么请看证明？

我们无疑地知道I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=派a^2/4[用面积显然]，下面通过计算来说明为什么取t属于[派，派/2]也是正确的。

I=∫[0，a]√[a^2-x^2]dx=∫[派到（派/2）]a|cost|costdt。

[说明：

这里开根号注意是绝对值]，由于此时t的范围是[派，派/2]，所以cost<0，去绝对值时请注意这点，下面再用降幂公式易证答案正确。

……………ps：

你取任何一个单值区间满足题意都是正确的。

只不过计算过程的问题。

……………………………解答问题2：

事实[问题1]证明在换元时可以上限<下限。

■：

综上：

三角换元可以取你想取的值，但是请注意使用条件以及计算的简便化。

末了附注：

本题中a>0

25.收敛级数加括号仍然收敛，发散级数加括号未知；正项级数敛散形不受加括号的影响。

求极限的计算方法总结（转）