备考中考数学一轮复习图形的性质三角形等腰直角三角形综合题专训及答案.docx

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备考中考数学一轮复习图形的性质三角形等腰直角三角形综合题专训及答案

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等腰直角三角形综合题专训

1、

（2019丹东.中考真卷）已知：

在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC.

（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF.以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC.

求证：

①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形.

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出

的值及∠DEF的度数.

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出

的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数.

2、

（2012本溪.中考真卷）已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．

（1）

当∠BAC=∠MBN=90°时，

①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为△；

②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？

说明理由；

（2）

如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．

3、

（2018扬州.中考真卷）问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点

、

和

、

，

与

相交于点

，求

的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中

不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点

、

，可得

，则

，连接

，那么

就变换到中

.

问题解决

（1）直接写出图1中

的值为；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，

与

相交于点

，求

的值；

（3）如图3，

，

，点

在

上，且

，延长

到

，使

，连接

交

的延长线于点

，用上述方法构造网格求

的度数.

4、

（2017山西.中考模拟）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．

（1）

求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；

（2）

如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？

（3）

在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？

若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

5、

（2017开江.中考模拟）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）

请直接写出线段AF，AE的数量关系；

（2）

将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）

在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断

（2）问中的结论是否发生变化？

若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

6、

（2019长春.中考模拟）已知

，

，直线

经过点

，作

，垂足为

，连接

.

（1）【感知】如图①，点

、

在

同侧，且点

在

右侧，在射线

上截取

，连接

，可证

，从而得出

，

 ，进而得出

度.

（2）【探究】如图②，当点

、

在

异侧时，（感知）得出的

的大小是否改变？

若不改变，给出证明；若改变，请求出

的大小.

（3）【应用】在直线

绕点

旋转的过程中，当

 ，

时，直接写出

的长.

7、

（2017哈尔滨.中考模拟）图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．

（1）在图a中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是等腰三角形且△ABC为钝角三角形；

（2）在图b中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD是等腰三角形，且tan∠ABD=1．

8、

（2017宿迁.中考模拟）如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点．

（1）求证：

△BCD≌△ACE；

（2）若AE=12，DE=15，求AB的长度．

9、

（2019鄞州.中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F。

已知∠AEF=135°。

（1）求证：

DF∥AB；

（2）若OC=CE，BF=

，求DE的长。

10、

（2019杭州.中考模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．

（1）求证：

AB⊥BC；

（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，点P，Q分别是线段AD，BC上的点，BQ＝2AP，过点P作PR∥AB交BD于R，记y表示△PRQ的面积，x表示线段AP的长度．如果在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°，那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，写出表示变量y与x关系的关系式．

（3）当x＝时，s取得最大值．

11、

（2017鄞州.中考模拟）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．

（1）

求证：

△ABF≌△CBE；

（2）

判断△CEF的形状，并说明理由．

12、

（2020南召.中考模拟）如图，在

中，

，

，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是

上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.

（1）求证：

；

（2）填空：

①若

，且点E是

的中点，则DF的长为；

②取

的中点H，当

的度数为时，四边形OBEH为菱形.

13、

（2018湖北.中考模拟）综合题      

（1）操究发现：

如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD.

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？

请说明理由

（2）类比探究：

如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：

①∠EAF的度数

②线段AE，ED，DB之间的数量关系

14、

（2017东莞.中考模拟）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=

（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在

（1）所作的圆中，圆心角∠BOC=°，圆的半径为，劣弧

的长为．

15、

（2019宝鸡.中考模拟）如图1，在四边形ABCD的边BC的延长线上取一点E，在直线BC的同侧作一个以CE为底的等腰△CEF，且满足∠B+∠F＝180°，则称三角形CEF为四边形ABCD的“伴随三角形”.

（1）如图1，若△CEF是正方形ABCD的“伴随三角形”：

①连接AC，则∠ACF＝；

②若CE＝2BC，连接AE交CF于H，求证：

H是CF的中点；

（2）如图2，若△CEF是菱形ABCD的“伴随三角形”，∠B＝60°，M是线段AE的中点，连接DM、FM，猜想并证明DM与FM的位置与数量关系.

等腰直角三角形综合题答案

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