数学建模中常用的思想方法和软件.docx
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数学建模中常用的思想方法和软件
数学建模中常用的思想和方法
在数学建模中常用的方法：
类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。
用这些方法可以解下列一些模型：
优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：
matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：
对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：
建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：
从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：
当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
（主要用SAS来实现，也可以用matlab软件来实现）。
聚类分析：
所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。
系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。
最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。
系统聚类方法步骤：
1.计算n个样本两两之间的距离
2.构成n个类，每类只包含一个样品
3.合并距离最近的两类为一个新类
4.计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值），若类的个数等于1，转5，否则转3
5.画聚类图
6.决定类的个数和类。
判别分析：
在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。
距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短的距离（欧氏距离、马氏距离）
Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别式的值判断新个体的类别
Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最大的总体
模糊数学：
研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题：
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确；模糊相似选择—按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性；模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系；模糊层次分析法—两两比较指标的确定；模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。
时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势变动、季节变动、循环变动、不规则变动）
自回归模型：
一般自回归模型AR（n）—系统在时刻t的响应X（t）仅与其以前时刻的响应X（t-1）,…，X（t-n）有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关；移动平均模型MA（m）—系统在时刻t的响应X（t），与其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动a（t-1）,…,a（t-m）存在着一定的相关关系；自回归移动平均模型ARMA（n,m）—系统在时刻t的响应X（t），不仅与其前n个时刻的自身值有关，而且还与其前m个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系。
时间序列建模的基本步骤
1.数据的预处理：
数据的剔取及提取趋势项
2.取n=1，拟合ARMA（2n,2n-1）（即ARMA（2,1））模型
3.n=n+1，拟合ARMA（2n,2n-1）模型
4.用F准则检验模型的适用性。
若检验显著，则转入第2步。
若检验不显著，转入第5步。
5.检查远端时刻的系数值的值是否很小，其置信区间是否包含零。
若不是，则适用的模型就是ARMA（2n,2n-1）。
若很小，且其置信区间包含零，则拟合ARMA（2n-1,2n-2）。
6.利用F准则检验模型ARMA（2n,2n-1）和ARMA（2n-1,2n-2），若F值不显著，转入第7步；若F值显著，转入第8步。
7.舍弃小的MA参数，拟合m<2n-2的模型ARMA（2n-1,m），并用F准则进行检验。
重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止
8.舍弃小的MA参数，拟合m<2n-1的模型ARMA（2n,m），并用F准则进行检验。
重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。
图论方法：
最短路问题：
两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线（Dijkstra算法）每对顶点之间的最短路径（Dijkstra算法、Floyd算法）。
最小生成树问题：
连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法）。
图的匹配问题：
人员分派问题：
n个工作人员去做件n份工作，每人适合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工作？
如果不能，最多几人可以有适合的工作？
（匈牙利算法）。
遍历性问题：
中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择一条行程最短的路线
最大流问题。
运输问题：
最小费用最大流问题：
在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案
在数学建模中常用的算法：
1：
蒙特卡罗算法；
2：
数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（常用matlab实现）；
3：
线性规划、整数规划、多元规划、二次规划（用lingo、lingdo、matlab即可实现）；
4：
图论算法（包括最短路、网络流、二分图）；
5：
动态规划、回溯搜索、分治算法、分支界定；
6：
最优化理论的三大经典算法（模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法）；
7：
网格算法和穷举法；
8：
连续数据离散化；
9：
数值分析算法；
10：
图象处理算法（常用matlab来实现）。
数模十大常用算法及说明
（2010-06-2218:
54:
54）
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标签：
杂谈
分类：
数模
1.蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法
2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB作为工具。
3 .线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件求解。
4.图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6.最优化理论的三大非经典算法：
模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7.网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8.一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9.数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10.图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB进行处理。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
2十类算法的详细说明
2.1蒙特卡罗算法
大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。
举个例子就是97年的A题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？
随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。
另一个例子就是去年y的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
2.2数据拟合、参数估计、插值等算法
数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
2.3规划类问题算法
竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
2.4图论问题
98年B题、00年B题、95年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法有很多，包括：
Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。
每一个算法都应该实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。
2.5计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：
动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界。
比如92年B题用分枝定界法，97年B题是典型的动态规划问题，此外98年B题体现了分治算法。
这方面问题和ACM程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
2.6最优化理论的三大非经典算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场，比如：
97年A题的模拟退火算法，00年B题的神经网络分类算法，象01年B题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和BP算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03年B题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
2.7网格算法和穷举算法;
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在N个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在[a;b]区间内取M+1个点，就是a;a+（b?
a）=M;a+2￠（b?
a）=M;…；b那,么这样循环就需要进行（M+1）N次运算，所以计算量很大。
比如97年A题、99年B题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB做网格，否则会算很久的。
穷举法大家都熟悉，就不说了。
2.8一些连续数据离散化的方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。
物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
2.9数值分析算法
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
2.10图象处理算法
01年A题中需要你会读BMP图象、美国赛98年A题需要你知道三维插值计算，03年B题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。
数学建模常用软件介绍2012年04月05日19:
17:
39
一般来说学习数学建模，常用的软件有四种，分别是：
matlab、lingo、Mathematica和SAS下面简单介绍一下这四种。
1.MATLAB的概况
MATLAB是矩阵实验室（MatrixLaboratory）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处
理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等
语言完相同的事情简捷得多.
当前流行的MATLAB5.3/Simulink3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包（Toolbox）.工具包又可以分为功能性工具
包和学科工具包.功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强
的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类.
开放性使MATLAB广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改
或加入自己编写程序构造新的专用工具包.
2.Mathematica的概况
WolframResearch是高科技计算机运算（Technicalcomputing）的先趋，由复杂理论的发明者StephenWolfram成立于
1987年，在1988年推出高科技计算机运算软件Mathematica，是一个足以媲美诺贝尔奖的天才产品。
Mathematica是一套整合数字以
及符号运算的数学工具软件，提供了全球超过百万的研究人员，工程师，物理学家，分析师以及其它技术专业人员容易使用的**
科**算环境。
目前已在学术界、电机、机械、化学、土木、信息工程、财务金融、医学、物理、统计、教育出版、OEM等领域广
泛使用。
Mathematica的特色
·具有高阶的演算方法和丰富的数学函数库和庞大的数学知识库，让Mathematica5在线性代数方面的数值运算，例如特征向量、反矩阵等，皆比MatlabR13做得更快更好，提供业界最精确的数值运算结果。
·Mathematica不但可以做数值计算，还提供最优秀的可设计的符号运算。
·丰富的数学函数库，可以快速的解答微积分、线性代数、微分方程、复变函数、数值分析、机率统计等等问题。
·Mathematica可以绘制各专业领域专业函数图形，提供丰富的图形表示方法，结果呈现可视化。
·Mathematica可编排专业的科学论文期刊，让运算与排版在同一环境下完成，提供高品质可编辑的排版公式与表格，屏幕与打印的自动最佳化排版，组织由初始概念到最后报告的计划，并且对txt、html、pdf等格式的输出提供了最好的兼容性。
·可与C、C++、Fortran、Perl、VisualBasic、以及Java结合，提供强大高级语言接口功能，使得程序开发更方便。
·Mathematica本身就是一个方便学习的程序语言。
Mathematica提供互动且丰富的帮助功能，让使用者现学现卖。
强大的功能，简单的操作，非常容易学习特点，可以最有效的缩短研发时间。
3.lingo的概况
LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEARPROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATICPROGRAMING）其中
LINGO6.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦再10^4量级以上。
虽然LINDO和
LINGO不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。
模型建立语言和求解引擎的整合
LINGO是使建立和求解线性、非线性和整数最佳化模型更快更简单更有效率的综合工具。
LINGO提供强大的语言和快速的求解引擎来阐述和求解最佳化模型。
■简单的模型表示
LINGO可以将线性、非线性和整数问题迅速得予以公式表示，并且容易阅读、了解和修改。
■方便的数据输入和输出选择
LINGO建立的模型可以直接从数据库或工作表获取资料。
同样地，LINGO可以将求解结果直接输出到数据库或工作表。
■强大的求解引擎
LINGO内建的求解引擎有线性、非线性（convexandnonconvex）、二次、二次限制和整数最佳化。
■ModelInteractivelyorCreateTurn-keyApplications
LINGO提供完全互动的环境供您建立、求解和分析模型。
LINGO也提供DLL和OLE界面可供使用者由撰写的程序中呼叫。
■广泛的文件和HELP功能
LINGO提供的所有工具和文件可使你迅速入门和上手。
LINGO使用者手册有详细的功能定义。
4.SAS软件概况
SAS系统全称为StatisticsAnalysisSystem，最早由北卡罗来纳大学的两位生物统计学研究生编制，并于1976年成立了SAS软件研究所，正式推出了SAS软件。
SAS是用于决策支持的大型集成信息系统，但该软件系统最早的功能限于统计分析，至今，统计分析功能也仍是它的重要组成部分和核心功能。
SAS现在的版本为9.0版，大小约为1G。
经过多年的发展，SAS已被全世界120多个国家和地区的近三万家机构所采用，直接用户则超过三百万人，遍及金融、医药卫生、生产、运输、通讯、政府和教育科研等领域。
在英美等国，能熟练使用SAS进行统计分析是许多公司和科研机构选材的条件之一。
在数据处理和统计分析领域，SAS系统被誉为国际上的标准软件系统，并在96～97年度被评选为建立数据库的首选产品。
堪称统计软件界的巨无霸。
在此仅举一例如下：
在以苛刻严格著称于世的美国FDA新药审批程序中，新药试验结果的统计分析规定只能用SAS进行，其他软件的计算结果一律无效！
哪怕只是简单的均数和标准差也不行！
由此可见SAS的权威地位。
SAS系统是一个组合软件系统，它由多个功能模块组合而成，其基本部分是BASESAS模块。
BASESAS模块是SAS系统的核心，承担着主要的数据管理任务，并管理用户使用环境，进行用户语言的处理，调用其他SAS模块和产品。
也就是说，SAS系统的运行，首先必须启动BASESAS模块，它除了本身所具有数据管理、程序设计及描述统计计算功能以外，还是SAS系统的中央调度室。
它除可单独存在外，也可与其他产品或模块共同构成一个完整的系统。
各模块的安装及更新都可通过其安装程序非常方便地进行。
SAS系统具有灵活的功能扩展接口和强大的功能模块，在BASESAS的基础上，还可以增加如下不同的模块而增加不同的功能：
SAS/STAT（统计分析模块）、SAS/GRAPH（绘图模块）、SAS/QC（质量控制模块）、SAS/ETS（经济计量学和时间序列分析模块）、SAS/OR（运筹学模块）、SAS/IML（交互式矩阵程序设计语言模块）、SAS/FSP（快速数据处理的交互式菜单系统模块）、SAS/AF（交互式全屏幕软件应用系统模块）等等。
SAS有一个智能型绘图系统，不仅能绘各种统计图，还能绘出地图。
SAS提供多个统计过程，每个过程均含有极丰富的任选项。
用户还可以通过对数据集的一连串加工，实现更为复杂的统计分析。
此外，SAS还提供了各类概率分析函数、分位数函数、样本统计函数和随机数生成函数，使用户能方便地实现特殊统计要求。
5、SPSS（个人觉得对于非专业人士而言，这款软件更加适合）
这是一款优秀的软件！
IBM公司2009年7月28日宣布将用12亿美元收购分析软件提供商SPSS。
SPSS称将在2009年10月2日召开特别股东大会投票表决有关将该公司出售给IBM的交易。
如今SPSS已出至版本20.0，而且更名为IBMSPSS。
SPSS19标志
SPSS是世界上最早的统计分析软件，由美国斯坦福大学的三位研究生于20世纪60年代末研制，同时成立了SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。
1984年SPSS总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向，极大地扩充了它的应用范围，并使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影响的报刊杂志纷纷就SPSS的
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