北京市房山区学年第一学期期中考试高一数学试题及答案.docx
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北京市房山区学年第一学期期中考试高一数学试题及答案
房山区2020-2021学年第一学期期中考试
高一数学试卷
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）己知集合A={x∖-l（A）BeA
（D）A=B
（3）下列函数既是奇函数又在区间（0,1）上单调递减的是
（A）y=—
X
（B）
（4）函数Z（X）=X3-x+5的零点所在的区间为
（A）（-3,-2）
（5）己知b（B）-<
b
（D）-<1
a
（A）—Cl>—b
（C）ab>a2
（6）若x<0,M=5x2+x+2,/V=4x（x+1）,则M与N的大小关系为
（A）M>N（B）M=N
（C）MvN（D）无法确定
（7）函数y=2妒一2—1在区间[-1,1]上的最小值为
（A）--（B）-1
2
3C
（C）--（D）-2
2
（8）己知函数/（x）=Γ;其中（α>0）.若对任意的0VjςVX,都有/（XJ-'（XJ>O,则实数。
的取
χ-,0值范围是
（B）（0,1]
（D）[l,+oo）
（A）（0,÷oo）
（C）（1,-KZ））
（9）设λ∈R,用［x］表示不超过X的最大整数，则“［∕］M［刃”是"My”的
（A）充分而不必要条件（E）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（10）运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：
m）与水平距离X（单位：
m）近似地满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）.下表记录了铅球飞行中的兀与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离为
X（单位：
m）
0
3
6
y（单位：
m）
1.8
3
2.7
（A）2.5m（B）3m
（C）3.9m（D）5m
第二部分（非选择题共IOO分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（H）方程组\x+2y=4的解集为.
2x-3y=l
（12）已知函数/（x）=√77T+丄，/（χ）的定义域是,/
（1）=.
X
（13）已知函数/（x）=x2+X-I的两个零点分别为血和兀，则X^X2+X1X?
的值为.
（14）为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭
每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：
月用电量不超过240T-瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦时；第二阶梯：
月用电量超过240千瓦时但不超过400T-瓦时的部分，电价为0.6元/千瓦时：
第三阶梯：
月用电量超过400千瓦时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元，则此户居民10月份的用电量为千瓦时.
（15）能够说明“若a,b,C是任意正实数，则片>?
”是假命题的一组整数α,b,C的值依次为.
b+cb
（16）几位同学在研究函数/（X）=时给出了下列四个结论：
Jr一4
1/（X）的图象关于y轴对称；
2/（X）在（2,+8）上单调递减；
3/（x）的值域为R；
4当X∈（-2,2）时，/（x）有最大值；
其中所有正确结论的序号是•
第4页共K）页
三、解答题共5题，共70分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题15分）
已知集合A={x∣0≤x≤3},集合B={x∣->0}.x+3
（I）分别用区间表示集合A和B,求
（II）求ArIB,（CκA）UB.
（18）（本小题15分）
已知关于X的不等式x2-（a+2）x<-Ia的解集为M•
（I）当Q=-I时，求M:
（II）当aeR时，求M.
（19）（本小题13分）
4
已知兀>3,求y=x+——的最小值，并说明X为何值时y取得最小值.下面是某位同学的解答过程:
x-3
4
解：
因为3,≡->0,根据均值不等式有
4
其中等号成立当且仅当X=——，即x（x-3）=4,解得χ=4或X=-I（舍），
x-3
Λ∕4×4
所以r+口的最小值为2上r8,
4
因此'当"4时’『十口取得最小跳
该同学的解答过程是否有错误？
如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程.
（20）（本小题15分）
己知函数/（x）=x2+∖x-a∖.
（I）若G=O,求证：
函数/（兀）是偶函数；
（II）若α>0,用定义证明函数/（兀）在（d,T8）上单调递增；
（III）是否存在实数Q,使得/（X）在区间[-pi]±的最小值为1?
若存在，求出α的值；若不存在，说明理由.
（21）（本小题12分）
定义在实数集R上的函数/（x）,如果存在函数g（x）=Ax+B（A,B为常数），使得/（X）Mg（X）对一切实数X都成立，那么称g（x）为函数/（X）的一个承托函数.
（I）判断g（x）=x是否为函数f（x）=2x2的一个承托函数？
说明理由；
（II）请写出函数/（x）=IXI的一个承托函数；
（III）若函数g（x）=2x-a为函数f（x）=ax2的一个承托函数，求Q的取值范围.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
C
A
C
B
B
C
二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）
（11）{（2,1）}
（12）[-1,0）U（O,+°0）；√2÷1
（13）1
（14）580
（15）2,1,1（答案不唯一）
（16）⑪②，④
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（本小题15分）
解：
（I）集合A可表示为[0,3],
由—〉0解得xv-3或x>l,所以集合B可表示为（-8,-3）U（1,Q）x+3
（RA=（-oo,0）U（3,+°o）
（II）A∩5=（l,3]
（QtA）UB=（Y,0）U（I,+O
（18）（本小题15分）
解：
（I）当d=—1时，不等式为兀—v2,⅛≡Wx2-x-2<0
等价于（x-2）（x+l）vθ,
所以解集Λ√=（-1,2）
（II）当aeR时，x2-（a+2）x<-Ia⅛≡Wx2-（a+2）x+2a<0
等价于（x-2）（x-a）<0
当a=2时，（x-2）'<0,解集为0
当a>2时，解集为（2卫）
当a<2时，解集为（α,2）
（19）（本小题13分）
解：
44
错误原因表述为：
A-——不是定值，所以取得最小值不一定在X=——处取得，或举反例当x=5时,x-3x-3
4
y=x+——=7,说明8是最小值是错误的都可以.
x-3
正确解答为：
4
因为x>3,所以——>0,
x-3
由均值不等式有
44
y=x+=X-3++3
x—3x—3
»2店-3）∙±+3=7
4
其中等号成立当且仅当X-3=——，解得x=5或x=l（舍），
X-3
4因此，当λ=5时，y=x+——取得最小值7.
x-3
（20）（本小题15分）
（□）若d=0,f（x）=X2+∖x∖f
因为/（X）的定义域为R，所以XeR时，一XWR，
f（-χ）=（→）2+I-Xl=X2+∣Xl=/（χ）
所以/（X）是偶函数.
（口）任取x1,x2∈（α,+oo）且χl<χ2f由q>0,则0<兀<%2且X?
—兀>0
则f（χ2）-fW=城+1卷一&I一（对+∖χι~a∖）
=X^-Xf+x2-a-（xl-a）
≈（x2+xl）（x2-xl）+x2-xl
由0<兀<孔，x2-xl>0,得/（x2）-/（x1）>0
所以，若α>0,函数/（X）在（o,-KX））上单调递增
,IIIx2+x-a,x≥a
（Ill）f（x）=x-+∖χ-a∖=），
［x'-x+a,x当a≥-时，在［一丄,丄］上，f（x）=x2-x+af/（x）的最小值在X=丄处取得，
2222
令φ2^∣+α=L解得Q=扌，符合条件
当α<-∣时，在［一抻上，f（x）≈x2+x-a,/（x）的最小值在x=-∣处取得，
令（一丄尸一丄一0=1，解得a=-?
，符合条件
224
当一\x=α处取得，f（a）=a2综上，存在α=±专，使得蚀在区间［-∣,∣］上的最小值为1
（21）（本小题12分）
（□）g（x）=x不是函数/（x）=2x2的一个承托函数
当X=I时，g（χ）=l,/（X）=此时/（X）Vg（X）,不满足承托函数的条件
448
（IDg（x）=→（答案不唯一）
（Ill）若函数g（x）=2x-a为函数/（x）=ax2的一个承托函数，
则ax2≥2x-a对一切实数X都成立
即ax2-2x+a≥0对一切实数X都成立，
当4=0时，g（x）=2x,/（x）=0,此时g（x）不是/（X）的承托函数
a>0
当a≠0,则有<，，
4-4«・≤0
解得a≥l
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