利用导数研究函数的单调性的题型分析.docx

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利用导数研究函数的单调性的题型分析

...

利用导数研究函数的单调性题型分析

题型一：

利用导数求函数的单调区间

例：

求下列函数的单调区间．

（1）y＝2x3－3x

（2）f（x）＝3x2－2lnx.

解：

（1）由题意得y′＝6x2－3.

令y′＝6x2－3＞0，解得x＜－

2

2

或x＞

2

，

2

当x∈（－∞，－

2

）时，函数为增函数，当x∈（

2

2

2

，＋∞）时，函数也为增函数．

令y′＝6x2－3＜0，解得－

2

＜x＜

2

2

，

2

当x∈（－

2

2

，

2

）时，函数为减函数．

2

故函数的递增区间为（－∞，－

2

2

）和（

2

，＋∞），递减区间为（－

2

2

，

2

2

2

）．

（2）函数的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝6x－

23x2－1

＝2·.

xx

3x2－1

令f′（x）＞0，即2·＞0.且x＞0，可解得x＞

x

3

3

；

3x2－1

令f′（x）＜0，即2·＜0，由x＞0得，0＜x＜

x

3

，

3

33∴f（x）的增区间为（，＋∞），减区间为（0，

）．

33

规律总结：

1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义

域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写．

2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，

如

（1）题中的增区间．

变式训练：

求下列函数的单调区间：

（1）求函数f（x）＝2x3－9x2＋12x－3的单调区间；

（2）求函数y＝x3－2x2＋x的单调区间．

【解】

（1）此函数的定义域为R，

f′（x）＝6x2－18x＋12＝6（x－1）（x－2）．

令6（x－1）（x－2）＜0，解得1＜x＜2，

..

...

所以函数f（x）的单调递减区间是（1,2）．

令6（x－1）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜1，

所以函数f（x）的单调递增区间是（2，＋∞），（－∞，1）．

（2）此函数的定义域为R.

y′＝3x2－4x＋1，

令3x2－4x＋1＞0，解得x＞1或x＜

1

3

.

1因此y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为（1，＋∞），（－∞，）．

3

再令3x2－4x＋1＜0，解得

1

3

＜x＜1.

1

3

因此y＝x3－2x2＋x的单调递减区间为（

，1）．

例：

讨论函数f（x）＝

bx

x2－1

（－1＜x＜1，b≠0）的单调性．

【思路探究】

（1）函数的定义域是怎样的？

函数是奇函数还是偶函数？

（2）若先讨论x∈（0,1）

上的单调性，能否判断f′（x）在（0,1）上的正负？

b的取值对其有影响吗？

解：

因f（x）的定义域为（－1,1）；函数f（x）是奇函数，∴只需讨论函数在（0,1）上的单调性．

∵f′（x）＝

（

b（

2

x

2

x

1）

1）

2

2

（x1）

当0＜x＜1时，x2＋1＞0，（x2－1）2＞0，∴0

22

（x1）

∴当b＞0时，f′（x）＜0.∴函数f（x）在（0,1）上是减函数；

当b＜0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0,1）上是增函数；

又函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：

当b＞0时，f（x）在（－1,1）上是减函数；

当b＜0时，f（x）在（－1,1）上是增函数．

规律方法：

1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式

f′（x）＞0（f′（x）＜0）在给定区间上恒成立．一般步骤为：

①求导数f′（x）；②判断f′（x）的符号；③

给出单调性结论．

2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论．

变式训练：

求函数y＝x＋

b

x

（b≠0）的单调区间．

【解】函数y＝x＋

b

x

（b≠0）的定义域为{x|x≠0}，y′＝1－

b

＝

x2

x2－b

.

x2

..

...

①当b＜0时，在函数定义域内y′＞0恒成立，所以函数的单调递增区间为（－∞，0）和

（0，＋∞）；

②当b＞0时，令y′＞0，解得x＞b或x＜－b，所以函数的单调递增区间为（－∞，－b）

和（b，＋∞）；令y′＜0，解得－b＜x＜b且x≠0，

所以函数的单调递减区间为（－b，0）和（0，b）.

题型二：

利用函数单调性求参数

11

例：

（2013·郑州模拟）函数f（x）＝ax＋xlnx，且图象在点（,f（））

ee

处的切线斜率为1（e为自

然对数的底数）．

（1）求实数a的值；

（2）设g（x）

f（x）x

x1

，研究函数g（x）的单调性

1

解：

（1）f（x）＝ax＋xlnx，f′（x）＝a＋1＋lnx，依题意f'（）＝a＝1，所以a＝1.

e

（2）因为

g（x）

f（x）x

x1

xlnx

＝

，所以g′（x）＝

x－1

x－1－lnx

x－12

.

设φ（x）＝x－1－lnx，则φ′（x）＝1－

1

x

.

1

当x>1时，φ′（x）＝1－>0，φ（x）是增函数，

x

对?

x>1，φ（x）>φ

（1）＝0，即当x>1时，g′（x）>0，故g（x）在（1，＋∞）上为增函数；

当0

1

x

<0，φ（x）是减函数，

对?

x∈（0,1），φ（x）>φ

（1）＝0，即当00，故g（x）在（0,1）上为增函数．

方法规律：

1．导数法求函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和

f′（x）<0；（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．

2．导数法证明函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤：

（1）求f′（x）；

（2）确认f′（x）在（a，b）内的

符号；（3）作出结论：

f′（x）>0时为增函数；f′（x）<0时为减函数．

3．导数法求参数的取值范围：

已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′（x）≥0（或

f′（x）≤0），x∈（a，b），转化为不等式恒成立求解．

..

...

训练：

1

2x

1.若函数fxxln1在其定义域内的一个子区间k1,k1内不是单调函数，

2

则实数k的取值范围_______________.

解：

函数f（x）的定义域为（0,），

f'（x）2x

2

1（2x）1（2x1）（2x1）

2x2x2x

，

由f'（x）0得

1

x，由f'（x）0得

2

0

1

x，要使函数在定义域内的一个子区间

2

1

k1,k1内不是单调函数，则有0k1k1，解得

2

1

3

kk

2

是

3

[1,）

2

.

2.（2013·湖北省八校高三第二次联考）已知函数f（x）＝（x＋a）2－7blnx＋1，其中a，b是常数

且a≠0.

（1）若b＝1时，f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，求a的取值范围；

（2）当b＝

4

7

a2时，讨论f（x）的单调性．

7【解】

（1）∵b＝1，∴f（x）＝（x＋a）2－7lnx＋1，∴f′（x）＝2x＋2a－.

x

∵当x>1时，f（x）是增函数，∴f′（x）＝2x＋2a－

7

x

≥0在x>1时恒成立．

即a≥

7

－x在x>1时恒成立．

2x

∵当x>1时，y＝

775

－x是减函数，∴当x>1时，y＝－x<，∴a≥

2x2x2

5

2

.

5

故a的取值范围是[，＋∞）．

2

4

（2）∵b＝a2，∴f（x）＝（x＋a）2－4a2lnx＋1，x∈（0，＋∞）．

7

2x2＋2ax－4a2

∴f′（x）＝

＝

x

2（x－a）（x＋2a）

.

x

当a>0时，f′（x）>0，得x>a或x<－2a，故f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，＋∞）；

当a<0时，f′（x）>0，得x>－2a或x

a

3.设函数f（x）＝ax－－2lnx.

x

（1）若f′

（2）＝0，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

..

...

a

解：

（1）∵f（x）的定义域为（0，＋∞），f′

（2）＝0，且f′（x）＝a＋

－

x2

2

x

，

∴a＋

a

4

－1＝0，∴a＝

4

5

.3分

4

5

∴f′（x）＝

＋

4

－

5x2

22

＝

（2x2－5x＋2），

x5x2

1

由f′（x）＞0结合x＞0，得0＜x＜或x＞2，

2

11

∴f（x）的递增区间为（0，]和[2，＋∞），递减区间为（，2）.6分

22

（2）若f（x）在定义域上是增函数，则f′（x）≥0对x＞0恒成立，8分

∵f′（x）＝a＋

a2ax2－2x＋a

－＝

，∴需x＞0时ax2－2x＋a≥0恒成立10分

x2xx2

2x

化为a≥对x＞0恒成立，

x2＋1

2x2

∵＝

x2＋1

x＋

≤1，当且仅当x＝1时取等号．

1

x

∴a≥1，即a∈[1，＋∞）.12分

4.已知函数f（x）＝

3x

－2x2＋lnx，其中a为常数．

（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；

（2）

a

若函数f（x）在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．

解：

（1）若a＝1时，f（x）＝3x－2x2＋lnx，定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝

1－4x2＋3x＋1

－4x＋3＝＝

xx

（4x1）（x1）

x

（x>0）．

当f′（x）>0，x∈（0,1）时，函数f（x）＝3x－2x2＋lnx单调递增．

当f′（x）<0，x∈（1，＋∞）时，函数f（x）＝3x－2x2＋lnx单调递减．

故函数f（x）的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1，＋∞）．

（2）f′（x）＝

31

－4x＋，若函数f（x）在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，

ax

f′（x）＝

3

a

－4x＋

1

x

≥0或f′（x）＝

31

－4x＋

≤0，

ax

..

...

3

a

即

－4x＋

13

≥0或－4x＋

xa

1

x

≤0在[1,2]上恒成立．即

3

a

≥4x－

1

x

或

3

a

≤4x－

1

x

.

令h（x）＝4x－

1

x

，因为函数h（x）在[1,2]上单调递增，所以

3

a

≥h

（2）或

3

a

≤h

（1），

3

即≥

a

15

2

或

3

a

≤3，解得a<0或0

2

5

或a≥1.

题型三：

利用导数解决不等式

例：

定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x）,已知f（x1）是偶函数且（x1）f'（x）0.

若

xx,且x1x22,则f（x1）与f（x2）的大小关系是

12

A.f（x1）f（x2）B.f（x1）f（x2）C.f（x1）f（x2）D.不确定

解析：

由（x1）f'（x）0可知,当x1时,f'（x）0函数递减.当x1时,f'（x）0函数递

增.因为函数f（x1）是偶函数,所以f（x1）f（1x）,f（x）f（2x）,即函数的对称轴

为x1.所以若1x1x2,则f（x1）f（x2）.若x11,则必有x22,则x22x11,此

时由

f（x）f（2x）,即f（x2）f（2x1）f（x1）,综上f（x1）f（x2）,选C.

21

变式训练：

5.函数f（x）在定义域R内可导，若f（1x）f（1x），且当x（,1）时，

1

（x1）f（x）0，设af（0），bf（），cf（3），则（D）

2

A．abcB．bcaC．cbaD．cab

6.已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x）,且当x2时其导函数f（x）

满足xf（x）2f（x）,若2a4则

aa

A.f

（2）f（3）f（log2a）B.f（3）f（log2a）f

（2）

aa

C.f（log2a）f（3）f

（2）D.f（log2a）f

（2）f（3）

解：

由f（x）=f（4x）,可知函数关于x2对称.由xf（x）2f（x）,得（x2）f（x）0,

所以当x2时,f（x）0,函数递增,所以当x2时,函数递减.当

..

...

2a4,1log2a2,

24

a,即42a16.所以

222

f（loga）f（4loga）,所以

22

aa

24loga3,即24log2a32,所以f（4log2a）f（3）f

（2）,即

2

a

f（loga）f（3）f

（2）,选C.

2

7.已知函数

2

f（x）=x-cosx，则f（0.6）,f（0）,f（-0.5）的大小关系是

A、f（0）

C、f（0.6）

解：

因为函数f（x）=x2cosx为偶函数，所以f（0.5）f（0.5），f'（x）=2xsinx，当

0

x时，f'（x）=2xsin，x0所以函数在0

2

x递增，所以有

2

fff，即f（0）

（0）<（0.5）<（0.6）

4．[2013·太原三模]已知函数f（x＋1）是偶函数，且x>1时，f′（x）<0恒成立，

又f（4）＝0，则（x＋3）f（x＋4）<0的解集为（）

A．（－∞，－2）∪（4，＋∞）B．（－6，－3）∪（0，4）

C．（－∞，－6）∪（4，＋∞）D．（－6，－3）∪（0，＋∞）

解：

函数f（x＋1）是偶函数，其图象关于y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数

y＝f（x）的图象，可得函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，x>1时，f′（x）<0恒成立，说明

函数在（1，＋∞）上单调递减，根据对称性可得函数在（－∞，1）上单调递增．根据f（4）＝0可

得当x>4时，f（x）<0，根据对称性可得当x<－2时，f（x）<0，当－20.

x＋3>0，x＋3<0，x＋3>0，不等式（x＋3）f（x＋4）<0等价于

或当时，

f（x＋4）<0f（x＋4）>0.f（x＋4）<0

x>－3，

解得x>0；当

x＋4>4或x＋4<－2，

x＋3<0，

f（x＋4）>0

时，

x<－3，

－2

解得－6

5.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f'（x）0，且

1

f（）0，则不等式

2

f（x）0的解集为____．

解：

因为函数f（x）为奇函数。

当x0时，f'（x）0，函数单调递增，所以

11

f（）f（）0，由图象可知不等式f（x）0的解为

22

1

x或

2

0

1

x，即不等式的

2

解集为

11

（,）（0,）

22

。

..

...

2

8.函数f（x）x1nxaxxaR。

（I）若函数f（x）在x1处取得极值，求a的值；

（II）若函数f（x）的图象在直线yx图象的下方，求a的取值范围；

9.已知函数

2

f（x）axbx（a,bR），函数g（x）lnx．

⑴当a0时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有公共点，求实数b的最大值；

⑵当b0时，试判断函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的公共点的个数；

⑶函数f（x）的图象能否恒在函数ybg（x）的图象的上方？

若能，求出a,b的取值范围；

若不能，请说明理由．

解：

⑴a0f（x）bx,

由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值，⋯⋯1分

设切点横坐标为x0，

f（x）b,g（x）

1

x

，

1

b

xxeb

,

00

bxlnx

00

1

e

即实数b的最大值为

b

1

e

；⋯⋯4分

⑵

b0,x0,f（x）g（x）a

ln

x

2

x

，

即原题等价于直线ya与函数

r（x）

ln

x

2

x

的图象的公共点的个数，⋯⋯5分

..

...

'

r（x）

x2xlnx12lnx

43

xx

，

1

r（x）在（0,e）递增且r（x）（,）

2e

1

，r（x）在（e,）递减且r（x）（0,）

2e

，

a

1

（,）

2e

时，无公共点，

a

1

（,0]{}

2e

时，有一个公共点，

a

1

（0,）

2e

时，有两个公共点；⋯⋯9分

⑶函数f（x）的图象恒在函数ybg（x）的上方，

即f（x）bg（x）在x0时恒成立，⋯⋯10分

①a0时f（x）图象开口向下，即f（x）bg（x）在x0时不可能恒成立，

②a0时bxblnx，由⑴可得xlnx，

b0时f（x）bg（x）恒成立，b0时f（x）bg（x）不成立，

③a0时，

alnxx

若b0则

2

bx

，由⑵可得

lnxx

2

x

无最小值，故f（x）bg（x）不可能恒成立，

20

若b0则ax，