利用导数研究函数的单调性的题型分析.docx

1、利用导数研究函数的单调性的题型分析.利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间例： 求下列函数的单调区间(1) y2x33x (2) f(x)3x22ln x.解： (1)由题意得 y6x2 3.令 y6x2 30，解得 x22或 x2，2当 x(，2)时，函数为增函数，当 x(222，)时，函数也为增函数令 y6x2 30， 解得2x22，2当 x(22，2)时，函数为减函数2故函数的递增区间为 (，22)和(2，)，递减区间为 (22，222)(2) 函数的定义域为 (0，)，f(x)6x2 3x21 2 .x x3x21令 f(x)0，即 2 0.且 x 0，可解得

2、 xx33；3x21令 f(x)0，即 2 0，由 x0 得， 0xx3，33 3 f(x)的增区间为 ( ，)，减区间为 (0，)3 3规律总结：1在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写2当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“， ”或“和”字等隔开，不要用符号“”连接，如(1) 题中的增区间变式训练： 求下列函数的单调区间：(1) 求函数 f(x)2x39x212x3 的单调区间；(2) 求函数 yx32x2x 的单调区间【解】 (1)此函数的定义域为 R，f(x)6x218x12 6(x1)( x2)令 6(

3、x1)( x 2)0，解得 1x 2，.所以函数 f(x)的单调递减区间是 (1,2) 令 6(x1)( x 2)0，解得 x2 或 x1，所以函数 f(x)的单调递增区间是 (2，)， (，1)(2) 此函数的定义域为 R.y3x24x1，令 3x24x10，解得 x1 或 x13.1 因此 y x32x2x 的单调递增区间为 (1，)，(， )3再令 3x2 4x10，解得13x1.13因此 y x32x2x 的单调递减区间为 (，1)例： 讨论函数 f(x)bxx21( 1x1，b0) 的单调性【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？ (2)若先讨论 x(0,1

4、)上的单调性，能否判断 f(x)在(0,1) 上的正负？ b 的取值对其有影响吗？解：因 f(x)的定义域为 (1,1) ；函数 f(x)是奇函数，只需讨论函数在 (0,1) 上的单调性f(x)(b(2x2x1)1)22(x 1)当 0 x1 时， x2 10，(x21)20， 02 2( x 1)当b0 时， f(x)0.函数 f(x)在 (0,1) 上是减函数；当 b 0 时， f(x)0，函数 f(x)在(0,1) 上是增函数；又函数 f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当 b 0 时， f(x)在 (1,1) 上是 减函数；当 b 0 时， f(x)在 (1,1)

5、上是增函数规律方法：1利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0)在给定区间上恒成立一般步骤为：求导数 f(x)；判断 f(x)的符号；给出单调性结论2导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论变式训练：求函数 yxbx(b0)的单调区间【解】 函数 yxb x(b0)的定义域为 x|x0 ，y1bx2x2b.x2.当 b0 时，在函数定义域内 y0 恒成立，所以函数的单调递增区间为 (，0)和(0，)；当 b0 时，令 y0，解得 x b或 x b，所以函数的单调递增区间为 (， b)和( b，)；令 y0

6、，解得 bx b且 x0，所以函数的单调递减区间为 ( b， 0)和(0， b).题型二：利用函数单调性求参数1 1例： (2013 郑州模拟)函数 f(x)ax xln x，且图象在点( , f ( )e e处的切线斜率为 1(e 为自然对数的底数 )(1)求实数 a 的值； (2)设g( x)f (x) xx 1，研究函数 g(x)的单调性1解： (1)f(x)axxln x，f(x)a1ln x，依题意f ( ) a1，所以 a1.e(2) 因为g( x)f (x) xx 1xln x，所以 g(x)x1x1ln x x1 2.设(x)x1ln x，则(x) 11 x.1当 x1 时，

7、(x)1 0 ，(x)是增函数，x对?x1，(x)(1)0，即当 x1 时， g(x)0 ，故 g(x)在 (1， )上为增函数；当 0x1 时， (x)11x(1)0，即当 0x0 ，故 g(x)在 (0,1) 上为增函数方法规律： 1导数法求函数单调区间的一般步骤(1) 确定函数 f(x)的定义域； (2) 求导数 f(x)；(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和f(x)0 时为增函数； f(x)1 时， f(x)是增函数， f(x)2x2a7x0 在 x1 时恒成立即 a7 x 在 x1 时恒成立2x当x1 时， y7 7 5x 是减函数，当 x1 时， y x0 时，

8、 f(x)0 ，得 xa 或 x2a，故 f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a， )；当 a0，得 x2a 或 x0) 当 f(x)0 ，x(0,1) 时，函数 f(x)3x2x2 ln x 单调递增当 f(x)0 ，x(1， )时，函数 f(x)3x2x2ln x 单调递减故函数 f(x)的单调递增区间为 (0,1) ，单调递减区间为 (1， )(2) f(x)3 1 4x ， 若函数 f(x)在区间1,2 上为单调函数，即在 1,2 上，a xf(x)3a4x1x 0 或 f(x)3 14x 0，a x.3 a即4x1 3 0 或 4xx a1x 0 在1,2 上恒成立即3a 4x1

9、 x或3a 4x1x.令 h(x)4x1x，因为函数 h(x)在1,2 上单调递增，所以3a h(2)或3a h(1) ，3即 a15 2或3a 3，解得 a0 或 0a25或 a 1.题型三：利用导数解决不等式例： 定义在 R 上的函数 f (x) 的导函数为 f ( x) ,已知 f ( x 1) 是偶函数且 (x 1) f ( x) 0.若x x ,且 x1 x2 2,则 f (x1) 与 f (x2 ) 的大小关系是1 2A. f (x1) f (x2) B. f (x1) f ( x2 ) C. f (x1) f (x2 ) D. 不确定解析： 由 (x 1) f (x) 0 可知

10、,当 x 1时, f (x) 0函数递减 .当 x 1时 , f ( x) 0 函数递增.因为函数 f (x 1) 是偶函数 ,所以 f (x 1) f (1 x) , f (x) f (2 x) ,即函数的对称轴为 x 1.所以若 1 x1 x2 ,则 f (x1) f (x2) .若 x1 1,则必有 x2 2,则 x2 2 x1 1,此时由f (x ) f(2 x) ,即 f (x2) f (2 x1) f(x1),综上 f (x1) f (x2),选C.2 1变式训练：5. 函 数 f (x) 在 定 义 域 R 内 可 导 ， 若 f (1 x) f (1 x) ， 且 当 x (

11、,1) 时 ，1(x 1) f (x) 0 ，设a f (0) ， b f ( )， c f (3)，则（D）2A a b c B b c a C c b a D c a b6.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x都有 f (x) = f (4 x) ,且当 x 2时其导函数 f (x)满足xf (x) 2 f ( x), 若 2 a 4则a aA. f (2 ) f (3) f (log 2 a) B. f (3) f (log2 a) f (2 )a aC. f (log2 a) f (3) f (2 ) D. f (log2 a) f (2 ) f (3)解： 由 f (x

12、) = f (4 x) ,可知函数关于 x 2对称.由 xf (x) 2 f ( x), 得 (x 2) f (x) 0 ,所 以 当 x 2 时 , f (x) 0 , 函 数 递 增 , 所 以 当 x 2 时 , 函 数 递 减 . 当.2 a 4,1 log2 a 2,2 4a ,即 4 2a 16.所以2 2 2f (log a) f (4 log a) ,所以2 2a a2 4 log a 3 , 即 2 4 log 2 a 3 2 , 所 以 f (4 log 2 a) f (3) f (2 ) , 即2af (log a) f (3) f (2 ) ,选 C.27.已知函数2f

13、 (x)= x - cos x ，则 f (0.6),f (0), f (-0.5) 的大小关系是A、 f (0) f (0.6) f (-0.5) B、 f (0) f (-0.5) f (0.6)C、 f (0.6) f (-0.5) f (0) D、 f (-0.5) f (0) f (0.6)解：因为函数 f (x)=x2 cos x为偶函数，所以 f ( 0.5) f (0.5) ， f (x)=2 x sin x ，当0x 时 ， f ( x) = 2x s i n ，x0 所 以 函 数 在 02x 递 增 ， 所 以 有2f f f ，即 f (0) f ( 0.5) f (0

14、.6) ，选 B.(0) (0.5)1 时，f(x)0 恒成立，又 f(4)0， 则(x3)f(x4)1 时，f(x)4 时，f(x)0 ，根据对称性可得当 x2 时，f(x)0 ，当2x1 或 1x0.x30 ， x30 ， 不 等 式 (x 3)f(x 4)0 等 价 于或 当 时 ，f（x4）0. f（x4）3，解得 x0；当x44 或x4 2，x30时，x3，2 x41 或1x44 ，解得 6x3.故不等式 (x3)f(x4)0 的解集为 (6，3)(0， )5.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f ( x) 0 ，且1f ( ) 0 ，则不等式2f (x)

15、0的解集为 _解 ： 因 为 函 数 f (x) 为 奇 函 数 。 当 x 0 时 ， f (x ) 0， 函 数 单 调 递 增 ， 所 以1 1f ( ) f ( ) 0，由图象可知不等式 f ( x) 0的解为2 21x 或201x ，即不等式的2解集为1 1( , ) (0, )2 2。.28. 函数 f (x) x1n x ax x a R 。（I）若函数 f (x) 在 x 1处取得极值，求 a 的值；（II）若函数 f (x) 的图象在直线y x图象的下方，求 a的取值范围；9.已知函数2f (x) ax bx( a, b R) ，函数 g( x) ln x 当 a 0时，函数

16、 f (x) 的图象与函数 g( x) 的图象有公共点，求实数 b的最大值；当 b 0时，试判断函数 f (x) 的图象与函数 g( x) 的图象的公共点的个数；函数 f (x) 的图象能否恒在函数 y bg( x) 的图象的上方？若能，求出a, b 的取值范围；若不能，请说明理由解： a 0 f (x) bx ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时 b取最大值， 1 分设切点横坐标为x0 ，f ( x) b, g (x)1x，1bx x e b, ,0 0bx ln x0 01e, 即实数 b的最大值为b1e； 4 分b 0,x 0, f (x) g(x) alnx2x，即原题等价于直线

17、y a 与函数r (x)lnx2x的图象的公共点的个数， 5 分.r (x)x 2x ln x 1 2ln x4 3x x， 1r (x) 在 (0, e) 递增且r(x) ( , ) 2e 1， r (x) 在 ( e, ) 递减且r (x) (0, ) 2e，a1( , )2e时，无公共点，a1( ,0 2e时，有一个公共点，a1(0, )2e时，有两个公共点； 9 分函数 f (x) 的图象恒在函数 y bg (x) 的上方，即 f (x) bg(x)在 x 0时恒成立， 10 分 a 0时 f (x) 图象开口向下，即 f (x) bg( x) 在 x 0时不可能恒成立， a 0时 bx bln x，由可得 x ln x ，b 0 时 f (x) bg(x) 恒成立， b 0时 f (x) bg (x) 不成立， a 0时，a ln x x若 b 0则2b x，由可得ln x x2x无最小值，故 f ( x) bg( x) 不可能恒成立，2 0若 b 0则ax ，