河南省中考数学试题精品解析.docx

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河南省中考数学试题精品解析

2015年河南省中招数学试卷精品解析

河南省信阳市息县五中敖勇2015年7月1日

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1.下列各数中最大的数是（）

A.5　　　　B.

　　　　C.π　　　　D.－8

【答案】A

【评析】作为整张试卷的第一题，直接考查“数的大小”，不偏不难，有利于学生稳定情绪，增强信心，进入考试的正常状态，发挥水平。

【课标】借助数轴掌握有理数的大小

2.如图所示的几何体的俯视图是（）

【答案】B

【评析】本题以三视图知识为载体，灵活考查考生的空间观念。

本题采用选择题，对于考生解答具有一定的提示性，从而适当降低了题目的难度，较为有效的提高了考试结果的信度。

3.据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）

A.4.0570×109B.0.40570×1010C.40.570×1011D.4.0570×1012

【答案】D

【评析】该知识点自2005年实行课改以来，除2009年以外，每年都要考查，这里结合我国高新技术产品出口总额情况，旨在使学生在解题过程成为一个知识信息生成的过程，具有教育性和现实意义，该知识点需要注意数位与指数的关系。

HHH

【课标】了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）

4.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，

则∠4的度数为（）

A.55°　B.60°　　C.70°　　D.75°

【答案】A

【评析】该题考查学生对平行线的判定和性质的综合运用，综合性不强，难度又不大，因此常被命题人眷顾，是一道非常好的题目．

【课标】掌握平行线的判定和性质

5.不等式组

的解集在数轴上表示为（）

【答案】C

【评析】本题考查不等式组的解法，及范围的确定，与高中数学相接轨，是初中阶段的核心知识。

【课标】要求掌握并灵活运用。

6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:

3:

5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）

A.255分B.84分　　　C.84.5分　　D.86分

【答案】D

【评析】通过某企业招聘这样一个每位学生都熟知的生活情景进行设置，极具公平性，直接考查加权平均数统计知识，具有一定的概括性，体现了统计来源于生活，应用于于生活的思想。

【课标】要求了解并掌握。

7.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）

A.4　　B.6　　C.8　　D.10

【答案】C

【评析】此题简洁、明快、美观，难易适中，较好地考查了考生对角平分线作图的认识能力，菱形特征的理解及基本的推理证明能力。

这种基础性的几何题，体现了《课标》对考生逻辑思维能力的基本要求。

8.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒

个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）

A.（2014,0）B.（2015，－1）

C.（2015,1）D.（2016,0）

【答案】B

【评析】本题较好地考查了学生探索规律、获取新知的能力

二、填空题（每小题3分，共21分）

9.计算：

（－3）0+3－1=.

【答案】

【评析】本题考查整数指数幂的基本性质，属于基础送分题。

10.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，

若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=.

【答案】

【评析】本题考查平行线等分线段成比例的理解与把握。

11.如图，直线y=kx与双曲线

交于点

A（1，a）,则k=.

【答案】2

【评析】本题将一次函数、反比例函数知识交汇在一起，并渗透待定系数法、数形结合等数学思想方法的考查，是一个综合性的好题目。

12.已知点A（4，y1），B（

，y2），C（－2，y3）都在二次函数

y=（x－2）2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是

【答案】y3＞y1＞y2

【课标】本题考查考生对二次函数图像的增减性的理解。

图草图后，以对称轴为基本思考点可快速得到答案，如果代入求值则小题大做了。

13.现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.

【答案】

【评析】概率与统计在人们生活中的重要作用决定了它成为《数学课程标准》中不可缺少的组成部分．本题从以下两方面体现了课标的要求：

一是按照概率这个数学分支发展起源的特点，本题背景“抽数字卡片”具有明显的游戏色彩，符合概率的定义；二是解答本题需要用到列表或画树状图的基本方法．背景为考生所熟悉，问题设置难易适中．

14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交

于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作

交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为

.

【答案】

【评析】解答本题要连结AE、OE，判定扇形的度数，该题将扇形、直角三角形、等边三角形结合在一起，涉及到等边三角形、直角三角形、扇形性质及其面积计算，考察了学生的观察、分析、转化能力和对立统一、数形结合等思想方法的运用．

此题出错的原因有两点，一是不会添加辅助线；二是结论合成化简（通分没必要）出错．

15.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，

点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿

EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则

DB′的长为.

【答案】16或

【评析】此题具有开放性和综合性，需要学生有很好的数学意识，有很好的“定力”，能够静下心仔细读题，找出解题的关键，对学生的心理也是一个极大的挑战。

解题的关键在于：

①抓住折叠前与折叠后不变的量．叠前后哪些量（边、角）变了，哪些量（边、角）不变②折叠后与原图之间形成什么新的图形关系。

③折痕是对折两点连线的中垂线，这是解该类问题的突破口．把分散的条件集中到一个三角形中，再利用勾股定理建立等式进行解答，答案不唯一，体现了分类讨论的数学思想。

三、解答题（本大题共8个，满分75分）

16.（8分）先化简，再求值：

，其中

，

.

【答案】解：

…………………………………………………4分

=

=

…………………………………………………6分

当a=

…………8分

【评析】代数中的化简求值是数学课程标准所规定的一项基本内容，它涉及到对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面．同时也不失对分解因式、完全平方公式、分式的四则运算、分式的基本形式等核心知识的考查．

17.（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.

（1）求证：

△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；

②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形.

解：

（1）D是AC的中点，且PC=PB.

∴DP∥AB，DP=

AB，∴∠CPD=∠PB0.………………………………………3分

∵OB=

AB，∴DP=OB，△CDP≌△POB………………………………………5分

（2）①4………………………………………………7分

②600…………………………………………………9分

【评析】本题容易在教材中找到原形，属于基本题型，通过对圆、菱形、正方形（本题要使四边形AOPD的面积最大，则四边形AOPD为正方形）等相关知识的运用，考查学生严密的逻辑思维能力和严谨的数学表达能力．（初中数学新课标修订稿增加和删除的内容中第（10）条为适当加强推理,增加了下列定理的证明:

相似三角形的判定定理和性质定理,垂径定理,圆周角定理、切线长定理等.） 

此题给我们启示是，在今后教学过程中要关注与圆有关证明题。

更加重视对双基的教学，重视引导学生加强对数学本质问题的理解，在改变学生学习方式的同时，对基础的常规题目仍然作为教学的重点．

18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

100

根据以上信息解答下列问题：

（1）这次接受调查的市民总人数是；

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.

【答案】（l）1000……………………………………………………………………2分

（2）540…………………………………………………………4分

（3）按人数100正确补全条形统计图。

…………………………………6分

（4）80×（26%+40%）=80×66%=52.8（万）这种说法不正确．

所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数

为52.8万…………………………………………………………………9分

【评析】本题设计的两个统计图信息相关，要求考生用统计的眼光去获取信息、发现规律，解释现象并做出判断．学生只有在对两种统计图的本质理解的基础上综合考虑，才能解答本题．发展学生的统计观念，提高统计技能是《数学课程标准》的一个重要目标，虽然统计过程十分繁琐，但由于笔试的局限性，目前的数学考试中无法涉及到数据的收集环节，只能把数据信息的提取、表示、分析以及分析结果的表达与运用等作为考查的重点．本题背景设置自然而新颖，依托“获取新闻的最主要途径”进行抽样调查。

背景为考生所熟悉，具有良好的现实性，体现了数学课标理念．本题的设计呈现了学生的数学活动的全过程，启发我们数学学习与社会生活关系密切，关注数学学习更要关注数学实践活动．

19.（9分）已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|.

（1）求证：

对于任意实数m，方程总有两个不想等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.

解：

（1）原方程可化为x2-5x+6-

=0.………………………………………1分

∴=（-5）2-4×1×（6-

）=25-24+4

=1+4

……………………………3分

∵

≥0，∴1+4

＞0

∴对于任意实数m,方程总有两个不相等实数根.………………………4分

（2）把x=1代入原方程，得

=2，∴m=±2.…………………………………6分

把

=2代入原方程，得x2-5x+4=0,∴x1=1,x2=4

∴m的值为±2，方程的另一个根是4.…………………………………9分

【评析】本题主要考查考生对能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等的掌握情况；了解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）.

20.（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°，求大树的高度.（结果保留整数，参考数据：

sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，

≈1.73）

解：

延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.

由题意知：

∠DAE=∠BGA=300，DA=6，∴GD=DA=6.

∴GH=AH=DA·cos300=6×

=

∴GA=

…………………………………2分

设BC的长为x米，在Rt△GBC中，GC=

……4分

在Rt△ABC中,AC=

………………………………6分

∵GC-AC=GA,∴

.…………………………………8分

∴x=13.即大树的高度约为13米.…………………………………9分

【评析】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；

②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.

暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.

（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.

21.

（1）银卡：

y=10x+150;………………………………1分

普通票：

y=20x.………………………………………2分

（2）把x=0代入y=10x+150,得y=150.∴A（0，150）.…………………………3分

由题意知

…………………………4分

把y=600代入y=10x+150,得x=45,∴C（45,600）…………………………5分

当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算

当x=15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；

当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；

当x=45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同。

当x＞45时，选择购买金卡更合算。

………………………………………10分

【评析】列方程（组）和不等式解应用题在《课程标准》中占有非常重要的地位，较之《大纲》要求，更强调应用题与实际问题的联系．本题是购买游泳票为背景，亲切自然，入题容易，旨在考查学生“根据具体问题中的数量关系列出方程和不等式解决简单问题”的能力，要求考生在理解题意的基础上，将所需解决的问题转化为相应的数学问题．立足于基本知识、基本技能，考查了学生的建模思想、分类讨论思想．本题学生在数学计算、推理、论证的基础上，做出科学决策，渗透方案优化问题，充分体现数学的应用价值．

22.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现

①当

时，

；②当

时，

（2）拓展探究

试判断：

当0°≤α＜360°时，

的大小有无变化？

请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决

当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

【答案】

（1）①

；②

.………………………………………………………2分

（2）无变化………………………………………………3分

（注：

若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）

在图1中，∵DE是△ABC的中位线，

∴

………………………………………………………4分

∵∠ACE=∠BCD=α,

∴△ACE∽△BCD.∴

.………………………………………………6分

在Rt△ABC中，AC=

.

.

∴

的大小不变。

………………………………………………………8分

（3）

.………………………………………………………10分

【评析】本题立意新颖，是整个试卷的亮点．“问题发现——拓展探究——问题解决”本题所呈现的是完整的探究性学习过程．本题改变了传统的逻辑证明形式，以旋转为载体，问题设计，层次清晰。

重点考查对旋转的性质、相似三角形、勾股定理本质理解与掌握，同时，较好地实现了对考生观察、猜想、验证与计算能力的考查，使得本题具有较好的效度和区分度。

本题的意义不仅在于考查学生数学能力，在很大程度上是检验学生的学习过程、学习方式、动手操作的能力，考查学生的数学思维活动过程，充分体现了新课标理念．

23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：

当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：

对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：

若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.

请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.

【答案】

（1）∴抛物线的解析式为y=-

x2+8．…………………………………………3分

（2）正确，理由：

设P的坐标为（x,－

x2＋8）,PE=8（-

x2＋8）=

x2………………………4分

过点P作PM⊥Y轴于点M，则

PD2=PM2+DM2=（-x）2+[6-（-

x2+8）]2

∴PD=

x2+2………………………………………………6分

∴PD-PF=

x2+2-

x2=2.∴猜想正确…………………………………………7分

（3）∴“好点“共有11个；………………………………………………9分

在点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小。

∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2。

当P，E，F三点共线时，PE+PF最小.

此时点P，E的横坐标都为-4.

将x=-4代入y=-

x2+8,得y=6.

∴P（-4，6）,此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”.

∴△PDE的周长最小时，“好点”的坐标为（-4，6）

【评析】本题将二次函数、方程、三角形和正方形的知识结合在一起，突出了待定系数法、转化的数学思想、数形结合思想、方程思想、函数思想、等重要的数学思想方法的考查．第⑴直接写出抛物线的解析式；（主要考查学生是否能根据图形和题意设适当抛物线解析式模型）第⑵问，考查定值问题，用勾股定理建等式求解，最后求出的结果是常数；（3）最值问题，抓住问题的“切入点“，因为E、D为定点，所以线段ED为定线段，只有当PE、PD最小时，三角形的周长才最小，所以点E、P、F三点共线时PE+PF最小。

然后用PF来表示PD，自然就“水到渠成”，（主要考查学生的转化的数学思想，在坐标系中化斜线为横平竖直的线）本设计有效考察学生的探究能力及学生数学思考的真实水平．本题设问自然流畅，且富有变化，层次感较好，随着解答过程中对学生能力要求的逐步提高，较好的考查了学生思维的严谨性、灵活性，有利于激发学生的思维激情和潜能，增强了中考的甄选功能．