高三上学期第一次诊断考试数学试题 含答案.docx
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高三上学期第一次诊断考试数学试题含答案
2021年高三上学期第一次诊断考试数学试题含答案
一、填空题（每小题5分，计70分）
1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为▲.
2．已知复数满足（为虚数单位），则的模为▲.
3．已知命题，．若命题是真命题，则实数的取值范围是▲
4.在平面直角坐标系中，已知向量a=（1，2），（3，1），则▲.
5．函数的最小正周期为▲.
6．已知直线：
和：
，则的充要条件是▲．
7．已知为锐角，，则▲．
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为▲.
9．在中,,,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为▲.
10.如图，四边形ABCD是边长为1的菱形，，E是BC的中点，则＝▲．
11.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为▲.
12．已知，若实数满足，则的最小值是▲.
13.已知曲线存在垂直于轴的切线，函数在上单调递增，则的范围为▲．
14．已知函数是定义域为上的偶函数，当时，
若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是▲.
二、解答题（共6道题，计90分）
15．（本题满分14分）
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=2．
（1）求a·b的值；
（2）求|a+b|的值．
16.（本题满分14分）
已知函数
（1）求的值；
（2）求的最大值及相应的值．
17．（本题满分15分）
已知命题:
关于实数的方程有两个不等的负根；命题:
关于实数的方程无实根．
（1）命题“或”真，“且”假，求实数的取值范围．
（2）若关于的不等式的解集为M；命题为真命题时，的取值集合为N．当时，求实数的取值范围．
18．（本题满分15分）
给定椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0），称圆C1：
x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为
，且经过点（0，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2
，求实数m的值．
19．（本题满分16分）
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：
m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：
m2）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？
20．（本题满分16分）
设是定义在上的奇函数，函数与的图象关于轴对称，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意的，都有成立，求实数的取值范围．
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学答题纸
一、填空题：
本大题共14小题，共计70分
1．________________2．_____________3．_______________4．____________
5．_______________6．______________7．_______________8．____________
9．_______________10．____________11．______________12．___________
13．_______________14．_______________
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
16．（本小题满分14分）
17.（本小题满分15分）
18.（本小题满分15分）
19．（本小题满分16分）
20．（本小题满分16分）
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学附加题
（满分40分，考试时间30分钟）
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：
几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
B．选修4-2：
矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝
，属于特征值1的一个特征向量为α2＝
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
C．选修4-4：
坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立
平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
D．选修4-5：
不等式选讲（本小题满分10分）
设x，y，z为正数，证明：
【必做题】（第22、23题每题10分．共20分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某部队进行射击训练，每个学员最多只能射击4次，学员如果2次命中目标，那么就不
再进行射击，假设某学员每次命中的概率都是，每次射击互相独立．
（1）求该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率；
（2）记该学员射击的次数为，求的分布列及的数学期望．
23．（本小题满分10分）
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1．
（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值；
（2）求二面角C－DE－C1的平面角的正切值．
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学附加题（答题纸）
（满分40分，考试时间30分钟）
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：
几何证明选讲（本小题满分10分）
B．选修4-2：
矩阵与变换（本小题满分10分）
C．选修4-4：
坐标系与参数方程（本小题满分10分）
D．选修4-5：
不等式选讲（本小题满分10分）
【必做题】（第22、23题每题10分．共20分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
23．（本小题满分10分）
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学试题答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1、6．2、1-i3、4、05、6、7、
8、9、10、111、12、7
13、14.
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：
（1）由|a－b|=2，得|a－b|a2a·bba·b，∴a·b．
（2）|a+b|aa·bb，∴|a+b|．…14分
16、
（1）
……………………2分
…………6分
（1）
………10分
，………………………12分
当时，，
此时，即，………………14分
17、解：
（1）若方程有两不等的负根，则解得即命题:
，
若方程无实根，则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0
解得：
1＜m＜3.即命题:
1＜m＜3.
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴
解得：
m≥3或1＜m≤2.
（2）
（2）∵∴
，解得：
．
18、解：
（1）记椭圆C的半焦距为c．
由题意，得b＝1，
＝
，c2＝a2＋b2，
解得a＝2，b＝1．………………4分
（2）由
（1）知，椭圆C的方程为
＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．………………6分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组
（*）有且只有一组解．
由（*）得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
从而△＝（8km）2－4（1＋4k2）（4m2－4）＝0．
化简，得m2＝1＋4k2．①……………………10分
因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为2
，
所以圆心到直线l的距离d＝
＝
．
即
＝
．②…………………14分
由①②，解得k2＝2，m2＝9．
因为m＞0，所以m＝3．…………………16分
19、解：
（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．
（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．
即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝
．
…………4分
（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．
在Rt△ONF中，NF＝
＝
＝
．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝
，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x
．
即所求函数关系是S＝x
，0＜x＜6.5．…………8分
（2）方法一：
选择（i）中的函数模型：
令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），
则f′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分
由f′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝
，或cosθ＝－
．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝
．
设cosα＝
，且α为锐角，
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝
时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………16分
方法二：
选择（ii）中的函数模型：
因为S＝
，令f（x）＝x2（351－28x－4x2），
则f′（x）＝－2x（2x－9）（4x＋39）．………10分
因为当0＜x＜
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当
＜x＜
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝
时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………16分
20、解：
（1）∵的图象与的图象关于y轴对称，
∴的图象上任意一点关于轴对称的对称点在的图象上．
当时，，则．…2分
∵为上的奇函数，则．…………4分
当时，，．……6分
∴………………7分
（1）由已知，．
①若在恒成立，则．
此时，，在上单调递减，，
∴的值域为与矛盾．……………11分
②当时，令，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴
．
由，得．……………15分
综上所述，实数的取值范围为．……………16分
江苏省运河中学xx学年度高三第一次诊断考试
数学试题附加题答案
21A.⑴BE平分∠ABC.………1分
∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.
∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.……………………4分
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.……………………6分
⑵由⑴知∠CAD=∠EBC=∠ABE.
∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.……………………8分
∴，∵AE=6，BE=8.
∴EF=.……………………10分
21B、解：
由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝
可得，
＝6
，
即c＋d＝6；………………………………………3分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝
，可得
＝
，
即3c－2d＝－2，…………………………………………6分
解得
即A＝
，…………………………8分
A逆矩阵是
21C．解：
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，2为半径的圆，…………………………4分
直线方程的普通方程为，………………………………6分
圆C的圆心到直线l的距离，…………………………………………………8分
故直线被曲线截得的线段长度为．…………………10分
21D．因为
所以…………………4分
同理,…………………6分
三式相加即可得
又因为
所以
…………10分
22．
（1）记“该学员在前两次射击中至少有一次命中”的事件为事件A，则
P（A）=． …………………………………………………3分
答：
该学员在前两次射击中至少有一次命中的概率为．…………………4分
（2）学员射击次数的可能取值为2，3，4，且
，，，
2
3
4
P
故的分布列为：
………7分
∴的数学期望为：
．………………10分
23．以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A－xyz，
则有D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C1（4，3，2）．
∴，．…2分
（3）设EC1与FD1所成角为β，则
．……… 4分
（2）设向量为平面C1DE的法向量，则有
．
∴，取n0=（－1，－1，2），
则n0是平面C1DE的一个法向量．…………………………………6分
又向量=（0，0，2）是平面CDE的一个法向量．
经检验，n0与所成的角θ即为二面角C－DE－C1的平面角．…………8分
∵
，∴．………10分
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