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离散数学高教概念整理

数理逻辑

命题逻辑

命题p,q,r,s……

非真即假的陈述句

命题的真值01

命题的陈述句所表达的判断结果

原子命题（简单命题）

不能被分解成更简单的命题

简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题

命题的符号化p:

4是素数

用小写英文字母（如p:

4是素数）表示命题。

用小写英文字母（如p:

4是素数）表示原子命题，用联结词联结原子命题表示复合命题。

联结词

否定连接词￢

否p为真当且仅当p为假

合取联结词∧

p合取q为真当且仅当p，q同时为真（复合命题“p并且q”称为p与q的合取式）

析取联结词∨

p析取q为假当且仅当p，q同时为假（复合命题“p或q”称为p与q的析取式）

蕴含连接词→

p蕴含q为假当且仅当p为真，q为假。

（复合命题“如果p,则q”（因为p所以q，除非q才p）称为p与q的蕴含式，p是蕴含式的前件，q是蕴含式的后件）q是p的必要条件。

等价联结词↔

p等价q当且仅当，同时为真或假。

（复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式）

真值表

命题公式及其赋值

命题常项

原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定

命题变项

真值可以变化的陈述句

合式公式（命题公式）A，B……

命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式

赋值（解释）

给公式A中的每个命题变项各指定一个真值。

这组值使A为1，则称为成真赋值。

含n个命题变项的公式有2的n次方个不同赋值。

含n个命题变项的公式有2的2的n次方个不同真值表情况。

重言式（永真式）

命题公式A在各种赋值下取值均为真

矛盾式（永假式）

命题公式A在各种赋值下取值均为假

可满足式

命题公式A至少存在一个成真赋值

哑元

对公式A和B进行比较讨论，可知A和B共含有n个命题变项，其中A不含有的命题变项称为A的哑元，其取值不影响A的值

命题逻辑等值演算

等值式⇔

如果命题A和B有相同的真值表，则有命题A↔B为重言式，这种情况下称A与B是等值的，记作A⇔B

（重要）等值式模式

常用的16条命题间的等值模式，书p18

析取范式与合取范式

文字

命题变项及其否定的统称

简单析取式，简单合取式

由有限个文字构成的析取式，合取式

析取范式，合取范式

由有限个简单合取式的析取构成的命题公式，称为析取范式。

同理为合取范式。

命题公式的析取或合取范式一般不唯一

极小项，极大项

简单合取式中的命题变项及它的否定式恰好出现一次，并按照下标拍好，这样的简单合取式叫做极小项。

同理为极大项。

n个命题变项可以产生2的n次方个极小项，每个极小项都有且仅有一个成真赋值，这一组成真赋值（01组成）转化为对应的十进制数i，将这个极小项表示为

类似的，极大项为

主析取范式

主合取范式

所有简单合取式都是极小项的析取式，这是唯一的主析取范式。

同理。

联结词的完备集

n元真值函数F

函数F的自变量为n个命题变项，值域为{0,1},这样的函数叫n元真值函数。

n个命题变项一共可以构成2的2的n次方个不同的真值函数。

每个真值函数与唯一的一个主析取范式（主合取范式）等值，同时它们都等值于无穷多个等值的命题公式。

联结词完备集S={￢,∨}

s是一个联结词集合，任何n元真值函数都可以仅用s中的联结词构成的公式表示.s就是联结词完备集。

命题逻辑的推理理论

推理{

…

}┠B

是指从前提触发推出结论的思维过程。

前提是已知的命题公式集合，结论是推出的命题公式。

有效的结论

命题集合

的合取式有0和1两种取值，只要不出现某一种赋值情况下命题集合为假，结论B为真。

那么就称结论B是有效的结论。

称这一种推理是正确的。

证明

是由一个描述推理过程的命题公式序列

形式系统I

书p46

自然推理系统P

数p47

主要是用来在这个系统下构造推理的证明

附加前提证明法

结论为蕴含式时，可以把前件作为推理前提，使结论为后件

归谬法

使结论的否命题作为前提能退出矛盾，则证明

一阶逻辑基本概念

一阶命题符号化

1个体词a,b,x,y……

研究对象中独立存在的客体。

取值范围叫做“个体域”。

默认个体域为“全总个体域”

2谓词F（ａ）　G（ａ，ｂ）　Ｈ……

刻画个体词性质或关系的词。

比如说“是无理数”。

含有ｎ个命题变项的谓词叫做ｎ元谓词。

以个体域为定义域，｛０,１｝为值域的ｎ元函数或关系。

３量词∀

全称量词“任意”∀

存在量词“存在”

一阶语言（花体Ｉ）

由抽象符号构成的用于一阶逻辑的形式语言。

项

个体常项，个体变项，ｎ元函数（自变量为项）是花体Ｉ的项。

指导变元　量词的辖域

例如∀ｘＡ，ｘ就叫做指导变元，Ａ是量词的辖域，在辖域中ｘ的所有出现称为约束出现，其他变项叫自由出现

合式公式（谓词公式）

一阶语言下的合式公式。

闭式（封闭的公式）

公式中不含自由出现的个体变项.

解释I

解释就是对抽象一阶语言的在I的具体含义，包括四个部分：

①非空个体域D1②每一个个体常项在D1中的对应③每一个n元函数在D1上的对应④每一个谓词符号在D1上的对应

永真式（逻辑有效式），永假式，可满足式

同上文。

在任何解释下均为真的公式为永真式。

这里不存在重言式的说法。

代换实例

用谓词公式A1，A2……代换命题公式A0中的命题变项p1,p2……得到的公式A叫做A0的代换实例。

重言式的代换实例都是永真式。

一阶逻辑等值验算

等值式⇔

这个等值式是一阶逻辑下的等值式。

定义同上。

当A等价B为永真式，称A⇔B是等值式。

等值式类型

书p69

比如说任意x有（A（x）→B）等价于存在x满足A（x）并且→B

一阶逻辑前束范式

就是要求把所有量词放到最前方。

去掉重名变量。

集合论

集合基本概念A={}

无序，唯一，确定

幂集P（A）或花体pA，

A的全体子集构成的集合

集合的运算

∪并集A∪B

∩交集A∩B

-相对补集A-B

x属于A但是不属于B的部分组成的集合

⊕对称差集A⊕B

x属于A和x属于B的部分，不包括既属于A又属于B

~绝对补集~A

给定全集中不属于A的部分

∪A广义并

A的元素（是个集合）的元素构成的集合

∩A广义交

A（非空）的所有元素的公共元素组成的集合

有穷集的计数

文氏图

容斥定理

p90

集合恒等式

p92

有序对和笛卡尔积

有序对

两个元素按一定顺序排列成的二元组，x叫第一元素，y叫第二元素

笛卡尔积A×B

集合A中的元素作为第一元素，集合B中的元素作为第二元素，构成有序对。

这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积

笛卡尔积，对并和交运算满足分配率

A包含于C并且B包含于D的时候可以推出，A×B包含于C×D

二元关系R（关系）是个集合

一个集合。

如果它是空集，或者他的元素都是有序对，则这个集合是一个二元关系，记作R。

如果∈R，可记作xRy.

从A到B的二元关系

A×B（A和B的笛卡尔积）的任何子集定义的二元关系（子集不止一个，这个就不止一个）

A=B时叫做A上的二元关系，A上有2的n平方次方个不同二元关系

R为A上的二元关系

即A的所有元素作第一元素组合A的所有元素作第二元素的有序对的集合.

空关系∅

空集∅是A×A的子集，叫做A上的空关系

全域关系

恒等关系

小于等于关系

关系矩阵，关系图

p105

关系的运算

R的定义域domR

R中所有有序对的第一元素构成的集合

R的值域ranR

R中所有有序对的第二元素构成的集合

R的域fldR

定义域和值域的并集

R的逆关系（R的逆）

这个集合的元素（有序对）为R中的有序对第一元素第二元素互换

G对F的右复合F°G

={|存在t∈F并且∈G}F和G是二元关系

右复合支持结合律

A上的二元关系和恒等关系的符合为A上的二元关系

R在A上的限制R↑A（半个箭头）

R为二元关系，A为集合，“R在A上的限制”也是个二元关系（集合），其中有序对的第一元素也是A的元素

A在R下的像R[A]

R[A]是一个集合，元素是既是R中有序对的第一元素，又是A中元素的元素。

R的n次幂

首先，R是A上的二元关系，不是随便什么二元关系。

R的0次幂是A的恒等关系IA，即第一元素=第二元素的有序对组成的集合

R的第n+1次幂=R的n次幂°R

并且，必有s,t使得R的s次幂=R的t次幂

关系的性质（R为A上的关系）

自反性

任意x,如果x是A的元素可以推出∈R

对称性R=

任意x,y，如果x,y是A的元素并且属于R可以推出∈R

传递性R°R

任意x,y,z，如果x,y,z是A的元素并且属于R并且属于R可以推出∈R

关系的闭包

R的自反闭包R’r（R）

在R中添加尽可能少的有序对，得到R’，使R’具有自反性

对称闭包s（R）

传递闭包t（R）

等价关系与划分

等价（=自反，对称，传递）关系~

等价是一个对于关系的定语。

R为A上的关系，如果R是自反的，对称的，传递的，则称R为A上的等价关系。

若∈R，称x等价于y，记作x~y

x与y模n相等x≡y（modn）

x除以n的余数与y除以n的余数相等

在整数集上，模n是个等价关系。

x关于R的等价类

（[x]或

）

R为A上的等价关系。

x关于R的等价类（简称x的等价类）是A中所有与x等价的元素构成的集合。

A关于R的商集A/R

R为非空集合A上的等价关系，R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记作A/R,即={[x]|x∈A}。

也就是元素是集合的集合。

A的子集族π

P（A）,A的某些子集构成的集合

A的一个划分π

子集族π满足下面三个条件时，π叫做A的一个划分，π中的元素（就是A的子集）叫做A的划分块

①空集不属于π

②π中的任意两个元素（集合）交集为空

③π的广义并（π中的元素（A的子集）的元素的并集）就是A

商集就是一个划分

偏序关系

偏序（=自反，反对称，传递）关系≤

如果∈≤，记作x≤y，表示按照这个顺序x排在y的前边或者x就是y

恒等关系，小于或等于关系，乘除关系，包含关系都是偏序关系

x与y可比

x与y可比等价于，x≤y或者y≤x

全序关系（线序关系）

设R是非空集合A上的偏序关系，如果任意x,y属于A，x与y都是可比的（也就是A的所有元素都出现在这个R中）则称R为A上的全序关系

偏序集

A和A上的偏序关系一起组成的集合，记作

y覆盖x（y是x的后继）

x＜y且不存在z使得x＜z＜y，则称y覆盖x

偏序集的哈斯图

如果x＜y，就把x画在y的下方，并且如果y还覆盖x，就用一条线段连接xy

最小元，极小元，最大元，极大元

偏序集，B包含于A，y是B的元素

①对于任意B中的元素x都有y小于等于x，y为最小元

②对于任意B中的元素x并且x≤y使都推出x=y，y是极小元

最小元存在时，要求最小元和B中的其他元素都可比，所以不一定存在，如果存在一定是唯一的。

极小元不一定和B中所有元素都可比，所以一定存在，并且可能不唯一。

上界，下界

偏序集，B包含于A，y是A的元素（注意，上面y是属于B的）

①对于任意B中的元素x都有y小于等于x成立，y为B的下界

①对于任意B中的元素x都有x小于等于y成立，y为B的上界

B的上界可知可能不止一个，最小的叫最小上界（上确界），最大下界同理。

B的最大元一定是B的最小上界，反之不一定（因为可能不存在最大元）

函数

函数y=F（x）

函数是一种特殊的二元关系。

每一个定义域中的x有唯一的值域中的y与它构成关系xFy，F就是函数

从A到B的函数ff:

A→B

AB为集合，A=f定义域，f值域包含于B

B上A

所有从A到B的函数组成的集合

A1在f下的像f（A1）

A1是A的子集，集合f（A1）={f（x）|x∈A1}称为A1在f下的像

B1在f下的完全原像

（

）

集合

（

）是满足f（x）属于B1的x的集合

满射

函数f:

A→B只要值域包含于B，当值域等于B的时候称它是满射的

单射

对于函数本身要求每一个x有y与之对应（不要求y不相等），也即对于同一个y可能有不止一个x是它的第一元素。

当只有唯一的x（即不同的x）与它对应是，称为函数是单射的。

双射

函数既是满射又是单射时

常函数f（x）=c

A上的恒等函数

单调递增、减

当函数f:

A映射B，A，B为偏序集时，如果x1

注意这里的大小不是指数值而是二元关系的前后性

的特征函数

A→{0,1}

函数

（a）={1，当a是A’的元素0，当a不是

A到商集A/R的自然映射g

g是一个映射g（a）=[a]即a关于R的等价类（A中与a等价的元素构成的集合）

函数的复合与反函数

函数的复合F°G

函数是一种二元关系（元素为有序对的集合），函数的复合就是关系的右复合

函数的复合传递满射，单射，双射。

即比如函数f,g满射则f复合g也满射。

反函数

（双射函数才有反函数）

函数的逆运算不一定是函数，只是二元关系。

只有双射函数才有反函数，表示从B映射到A的函数。

函数和它反函数的复合为恒等关系IA

双射函数与集合的基数

集合的势

量度集合元素多少的量

等势A≈B

存在从A到B的双射函数，即A和B等势

B优势于AA≤·B

存在从A到B的单射函数

把自然数定义为集合

0=∅

后继

=n∪{n}（也就是说紧跟着n的自然数（n+1）定义的集合就是n定义的集合∪元素n组成的集合，类似于数学归纳法的概念）

举例3={0,1,2}

所以m=n（元素意义）等价于m≈n（集合等势）

有穷集，无穷集

一个集合是有穷的当且仅当他与（唯一的）某个自然数等势。

否则为无穷集。

有穷集合A的基数|A|（cardA）

与有穷集A等势的哪个唯一的自然数就是A的基数（由于等势就是存在双射函数，也就是一一对应，其实基数就是A中元素的个数）

集合的基数就是集合的势。

两个集合基数相等等价于他们等势。

自然数集合N的基数Х0阿列夫零

一个标记，即为自然数的基数。

是最小的无穷基数。

实数集R的基数Х阿列夫

可数集（可列集）

当cardA≤阿列夫零时，称A为可数集

代数结构

二元运算及其性质

S上的二元运算（简称二元运算）

函数f:

S×S→S称为S上的二元运算（也就是对S中的元素组成的有序对进行操作（也就是操作有序对的第一第二元素）映射到S上的元素）

比如说f:

N×N→N，f（）=x+y（加法可以，减法就不行，可能有负数就不是N的元素了，称N对减法“不封闭”）

算符°•*

用这些符号代表f对于有序对第一第二元素的操作

S上的一元运算

从S映射到S的函数叫做一元运算

运算在S上适合“交换律”

对于任意x,y有x•y=y•x，即说运算•在S上适合交换律

结合律

（x*y）*z=x*（y*z）,即说运算*在S上适合结合律

幂等律

S任意x,x•x=x,即说运算•在S上适合幂等律

幂等元

S中某些x满足幂等律，则称x为运算的幂等元

分配率

吸收率

单位元

如果e对于任意x都有e•x=x且x•e=x，则称e为关于运算的单位元（唯一），只成立其一为左单位元/右单位元

零元

如果Θ对任意x都有Θ•x=Θ且x•Θ=Θ，则称零元（唯一）只成立其一为左零元/右零元

逆元

y·x=e时，y为左逆元，同理为右逆元，同时成立为逆元（唯一），称x可逆

消去律

当x不是零元的时候，对于任意x,y,z，如果x·y=x·z的时候可以推出y=z，则运算满足左消去律，同理为满足右消去律，同时满足消去律

代数系统

代数系统（代数）V=

非空集合S和S上k个一元或二元运算组成的系统，称为一个代数系统，简称代数

模n加法x⊕y

x⊕y=（x+y）modn

模n乘法x⊙y（实际符号为×在内）

=（xy）modn

代数常数（特异元素）

在代数系统中比较重要的特定元素，比如说零元，单位元

同类型的代数系统（构成成分相同）

运算的个数相同：

比如说你是＋－我是×÷，都是两个

对应运算的元数相同：

都是二元运算

代数常数个数相同：

都有单位元和零元

则称两个代数系统具有相同的构成成分，运算性质（满不满足交换律，结合律等等性质）却不一定一样

子代数系统（子代数）B

B是个集合，元素包含于代数系统V的元素集合S，B对V的所有运算f1,f2……都封闭，代数常数也相同，就称是V的子代数系统，简称B

平凡的子代数

V最大和最小的子代数，一个是它自身，一个是它的所有代数常数组成的

积代数V=

V1和V2是同类型的代数系统，定义二元运算·，A和B的笛卡尔积中的有序对，两对作·运算，等于<第一元素○第一元素，第二元素*第二元素>

V1,V2,是V的因子代数

代数系统同态，同构

同态映射（同态）f：

A→B

A中两个元素的运算结果映射到B=A的两个元素映射到B对应两个元素的运算结果

如果f是单射，就叫单同态

如果f是满射，就叫满同态，V2叫V1的同态像V1~V2

同构V1

如果f是双射函数，就说明V1同构于V2

群的定义及其性质

群和半群都是具有一个二元运算的代数系统

半群V=

代数系统V唯一的二元运算，是可结合的，V就是半群

幺半群（独异点）V=

半群有关于运算的单位元e

群G（结合性，单位元，逆元）

运算有结合性，有单位元，每个元素有子集的逆元，V就是群，通常记为G

省略算符x○y变成xy

由于只有一个运算，所以省略算符表示，记住，这不是乘法简写

群G的阶（群的基数）

前面说过，集合元素的个数大致等同于集合的基数（等势概念），这里也叫阶

平凡群

只含单位元的群

阿贝尔群（交换群）

二元运算可交换

群G元素a的n次幂

a的0次幂=单位元e

其他的就是做运算一个个叠上去

负数次幂=a的逆元的正数次幂

G的元素a的阶a|k|（也叫a是k阶元）

使a的k次幂=e不是等于自身，是等于单位元的最小正整数k为a的阶（周期）

若不存在，a为无限阶元

对于单位元来说，它的阶是1，因为任何元素的1次幂是它本身

子群与群的陪集分解

子群H≤G

H是G的非空子集，如果H是群，它就是G的子群

平凡子群

G（最大）和{e}（最小），叫做G的平凡子群

非空子集是子群的判定定理

第一种：

a,b属于H的时候，ab属于H，并且a的逆元也属于H

第二种：

a,b属于H的时候，ab-1属于H

第三种：

H有穷集，a,b属于H的时候，ab属于H

概括的说，子群必须满足逆元和单位元存在

由a生成的子群

S是G的所有子群的集合，R是运算，ARB表示A是B的子群

因为是偏序集，所以可以画出哈斯图

陪集Ha={ha|h∈H}

a是G的元素，Ha是子群H在G中的右陪集

两个同子群的陪集要么相等，要么相交为空集

给定子群的所有右陪集的集合是G的一个划分

陪集的代表元素a

正规子群（不变子群）

对G的任何元素，比如说a,都有aH=Ha，则H叫正规子群

H在G中的指数[G:

H在G中的陪集数目，叫做H在G中的指数

拉格朗日定理|G|=|H|·[G:

n阶生成群生成元是有与n互素的数的个数

互素=两个数公约数只有1

比如n等于6，从0数到n-1,有1,5与n互素，所以有两个生成元

这两个生成元就是a的1次方，a的5次方

即互素数是a的幂

求循环群子群的的方法

G=是n阶循环群，求出n的所有正因子，是G唯一的d阶子群

S→S

理解一下轮换的意思就知道是怎么置换的了。

如果k=2,就叫做对换

任何n元置换可以表示成不交的轮换之积

轮换表示式σ=（1,5,2,3,6）（4）

举例的是一个六阶的S，其中1换到5,5换到2……

1阶轮换可以省略

n元对称群

所有的n元置换构成的集合Sn，置换的乘法满足结合律，

（1）是单位元，逆置换就是逆元，所以Sn关于置换的乘法构成一个群

环与域

环是具有两个二元运算的代数系统

环

构成交换群（结合，逆元，单位元，交换）

构成半群（结合）

·关于+适合分配率（1·（2+3）=1·2+1·3）

这就是个环

模n的整数环

Zn={0,1,2,……n-1}，后面那是模n加法，模n乘法

为了表述方便，以后都把+作为环的第一个运算，叫环中的加法，同理环中的乘法，同时把0作为环中加法单位元，1作为环中乘法单位元。

他们都不是常规意义上的+，×，0,1了

交换环

环中乘法满足交换律

含幺环

环中乘法存在单位元

无零因子环

要是ab=0，只可能是a为0或者b为0

R是整环

无序积A＆B={{a,b}|a∈A并且b∈B}

无向图G=

边集E=V＆V的有穷多重（元素可重复出现）的子集

元素称为无向边，简称边

有向图D=

E是笛卡尔积V×V的有穷多重子集

图的阶

顶点数就是图的阶，n个顶点的图叫n阶图

平凡图

空图∅

标定图

端点不同时，与某个端点关联次数为1

相同为2

点与点相邻

边与边相邻

孤立点

平行边

关联两个点的边多于一条，这些边叫平行边

简单图

度数d（v）

有向图按照作为起点和终点分为入度和出度，和为度数

悬挂顶点

握手定理

无向图：

度数之和=2边数

有向图：

出度=入度=边数

度数列d=（d1,d2,……dn）举例（5,3,3,1）

每一个对应点集中的一个点的度数

只有其中所有度数和为偶数时，d才是可图化的

对于n阶简单图来说，最大度数小于等于n-1（可以判断能不能简单图化）

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