广州市越秀区学年八年级上期末数学试题含答案解析.docx
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广州市越秀区学年八年级上期末数学试题含答案解析
2015-2016学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中，具有稳定性的是（）
A．长方形B．梯形C．钝角三角形D．正六边形
2．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
3．计算（2a2）3的结果是（）
A．6a5B．6a6C．8a5D．8a6
4．如果把分式
中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍
5．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）
A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6
6．如图，已知△AOC≌△BOD，∠A=30°，∠C=20°，则∠COD=（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，
），B（﹣2，﹣
），△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，则点C的坐标是（）
A．（2，﹣
）B．（﹣2，
）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）
8．已知（x+y）2=13，且（x﹣y）2=5，则xy的值是（）
A．8B．4C．2D．1
9．如图，在正五边形ABCDE中，连结AD、BD，则∠ADB的度数是（）
A．18°B．36°C．54°D．72°
10．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是线段AD上的一个动点，点P是点A关于直线BE的对称点，在点E的运动过程中，使△PBC为等腰三角形的点E的位置共有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.
11．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=x，则x的取值范围是__________．
12．若分式
的值为0，则x的值是__________．
13．如图，OA=OB，要使△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是__________．（只需填写一个条件即可）
14．计算（1+
）•
的结果是__________．（结果化为最简形式）
15．某学校有一块长方形活动场地，宽为xm，长是宽的2倍，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将活动场地的长和宽都增加了3m，则活动场地的面积增加了__________m2．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为__________．
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤，
17．先化简，再求值：
[（x+3y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x=
，y=
．
18．分解因式：
（1）xy2﹣2xy+x；
（2）a3﹣4a．
19．解分式方程：
﹣1=
．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，∠ACD=∠B，∠ADC=90°．
（1）作图，作∠BAC的平分线AO，交BC于点O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：
BC=2CD．
22．如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的△ABC是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：
△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的大小．
24．一辆汽车开往距离出发地320km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前30min到达目的地，求前一小时的汽车行驶速度．
25．如图，线段AB与CD相交于点E，AB⊥BD，垂足为B，AC⊥CD，垂足为C．
（1）如图1，若AB=CD，∠BDE=30°，试探究线段DE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB=BD，∠BDE=22.5°，试探究线段DE与AC的数量关系，并证明你的结论．
2015-2016学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列图形中，具有稳定性的是（）
A．长方形B．梯形C．钝角三角形D．正六边形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：
具有稳定性的是三角形．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．计算（2a2）3的结果是（）
A．6a5B．6a6C．8a5D．8a6
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：
（2a2）3
=23•（a2）3
=8a6．
故选：
D．
【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方法则．
4．如果把分式
中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：
由分式
中的x和y都扩大2倍，得
=
，
故选：
A．
【点评】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变．
5．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）
A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】常规题型．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：
0.0000025=2.5×10﹣6；
故选：
D．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．如图，已知△AOC≌△BOD，∠A=30°，∠C=20°，则∠COD=（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差得到∠AOC=∠BOC，由三角形外角的性质得到∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°，根据平角的定义即可得到结论．
【解答】解：
∵△AOC≌△BOD，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°，
∴∠COD=180°﹣∠AOD﹣∠BOC=80°．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，
），B（﹣2，﹣
），△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，则点C的坐标是（）
A．（2，﹣
）B．（﹣2，
）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）
【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质．
【分析】根据等边三角形的轴对称性质得到点C与点B关于y轴对称，由此求得点C的坐标．
【解答】解：
∵如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴点C与点B关于y轴对称，
又∵B（﹣2，﹣
），
∴C（2，﹣
）．
故选：
A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和坐标与图形性质．熟练掌握等边三角形的轴对称性质是解题的关键．
8．已知（x+y）2=13，且（x﹣y）2=5，则xy的值是（）
A．8B．4C．2D．1
【考点】完全平方公式．
【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可解答．
【解答】解：
因为（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy=13﹣5=8，
所以xy=2，
故选C
【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2．
9．如图，在正五边形ABCDE中，连结AD、BD，则∠ADB的度数是（）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【考点】多边形内角与外角；等腰三角形的性质．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ADE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AD=BD，AE=DE=BC=CD，先求出∠ADE和∠BDC的度数，即可求出∠ADB的度数．
【解答】解：
在正五边形ABCDE中，
∵AE=DE=BC=CD，∠E=∠EDC=∠C=108°，
在△AED与△BCD中，
，
∴△ABC≌△AED，
∴∠ADE=∠BDC=
（180°﹣108°）=36°，
∴∠ADB=108°﹣36°﹣36°=36°．
故选B．
【点评】本题考查了正五边形的性质：
各边相等，各角相等，内角和为540°．同时考查了多边形的内角和计算公式，及角相互间的和差关系，有一定的难度．
10．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是线段AD上的一个动点，点P是点A关于直线BE的对称点，在点E的运动过程中，使△PBC为等腰三角形的点E的位置共有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【考点】等腰三角形的判定；轴对称的性质．
【分析】分为三种情况：
①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，因为是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．
【解答】解：
分为三种情况①以BC为底时，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；此时的情况交点只有一个，且在BC边上，不能组成三角形．
②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；
③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点；
综上满足要求的P有2个，
故选：
B．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.
11．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=x，则x的取值范围是2＜x＜8．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．
【解答】解：
根据三角形的三边关系，得
5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
故答案为：
2＜x＜8．
【点评】考查了三角形的三边关系：
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12．若分式
的值为0，则x的值是﹣1．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：
（1）分子为0；
（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：
由分式
的值为0，得
x+1=0且x﹣1≠0．
解得x=﹣1，
故答案为：
﹣1．
【点评】本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．如图，OA=OB，要使△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是OC=OD答案不唯一．（只需填写一个条件即可）
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△OAC≌△OBD，已知OA=OB，∠AOC=∠DOB，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【解答】解：
OC=OD（或∠A=∠B或∠OCA=∠ODB）
理由如下：
加OC=OD，利用SAS证明；
加∠A=∠B，利用ASA证明；
加∠OCA=∠ODB，利用ASA或AAS证明．
故答案为OC=OD，答案不唯一．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
14．计算（1+
）•
的结果是3．（结果化为最简形式）
【考点】分式的混合运算．
【分析】先算括号里面的，再算乘法即可．
【解答】解：
原式=
•
=3．
故答案为：
3．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
15．某学校有一块长方形活动场地，宽为xm，长是宽的2倍，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将活动场地的长和宽都增加了3m，则活动场地的面积增加了（9x+9）m2．
【考点】列代数式．
【专题】应用题．
【分析】先求出原场地的长以及扩建后长度的长和宽，然后根据矩形的面积公式列出代数式，最后进行化简即可．
【解答】解：
扩建前长方形的长为2xm，扩建后长方形的长为（2x+3）m，宽为（x+3）m．
活动场地增加的面积=（2x+3）（x+3）﹣2x•x
=2x2+3x+6x+9﹣2x2．
=9x+9．
故答案为；9x+9．
【点评】本题主要考查的是列代数式、多项式乘多项式，根据题意列出代数式是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为6．
【考点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理．
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED=CD，从而BC=BD+CD=DE+BD=5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED=CD，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=（5﹣3）+4=6．
故答案为：
6．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤，
17．先化简，再求值：
[（x+3y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x=
，y=
．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：
[（x+3y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y
=[x2+6xy+9y2﹣x2+y2]÷2y
=（6xy+10y2）÷2y
=3x+5y，
当x=
，y=
时，原式=3×
+5×
=2．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．分解因式：
（1）xy2﹣2xy+x；
（2）a3﹣4a．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】
（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：
（1）原式=x（y2﹣2y+1）=x（y﹣1）2；
（2）原式=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．解分式方程：
﹣1=
．
【考点】解分式方程．
【分析】首先得出最简公分母再去分母，进而解方程得出答案．
【解答】解：
去分母得：
（x﹣3）x﹣（x+3）（x﹣3）=18，
整理得：
﹣3x+9=18，
解得：
x=﹣3，
检验：
当x=﹣3时，（x+3）（x﹣3）=0，故此方程无实数根．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确去分母是解题关键．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE，再求解即可．
【解答】解：
∵∠B=50°，AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°﹣50°=40°，
∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=
∠BAC=
×60°=30°，
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=40°﹣30°=10°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，∠ACD=∠B，∠ADC=90°．
（1）作图，作∠BAC的平分线AO，交BC于点O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：
BC=2CD．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题．
【分析】
（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AO平分∠BAC；
（2）根据等腰三角形的性质可得AO⊥BC，BO=CO，则∠AOB=90°，于是可根据“AAS”判定△ABO≌△ACD，则BO=CD，所以BC=2CD．
【解答】
（1）解：
如图，AO为所作；
（2）证明：
∵AB=AC，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BO=CO，
∴∠AOB=90°，
在△ABO和△ACD中，
，
∴△ABO≌△ACD，
∴BO=CD，
∴BC=2CD．
【点评】本题考查了基本作图：
作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的△ABC是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）．
【考点】利用轴对称设计图案．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：
如图所示：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：
△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的大小．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】
（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．
【解答】
（1）证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD与△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE；
（2）解：
∵△ABD≌△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∵M、N分别是AB、CE的中点，
∴AM=DM，DN=CN，
∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，
∴∠ADM=∠CDN，
∵∠CDN+∠ADN=90°，
∴∠ADM+∠ADN=90°，
∴∠MDN=90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
24．一辆汽车开往距离出发地320km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前30min到达目的地，求前一小时的汽车行驶速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】由题意可知：
加速后用的时间+30分钟+1小时=原计划用的时间，首先求得加速后行驶的路程为320千米﹣前一小时按原计划行驶的路程，进一步求得时间，建立方程求得答案即可．
【解答】解：
设前一个小时的平均行驶速度为x千米/时．依题意得：
1+
+
=
，
解得：
x=80．
经检验：
x=80是分式方程的解．
答：
前一个小时的平均行驶速度为80千米/小时．
【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．
25．如图，线段AB与CD相交于点E，AB⊥BD，垂足为B，AC⊥CD，垂足为C．
（1）如图1，若AB=CD，∠BDE=30°，试探究线段DE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若AB=BD，∠BDE=22.5°，试探究线段DE与AC的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】
（1）由垂直的定义得到∠B=∠C=90°，根据直角三角形的性质得到DE=2BE，根据三角形的内角和得到∠A=∠D=30°，得到AE=2CE，由AB=CD，等量代换即可得到结论；
（2）连接AD，延长AC、BD交于F，根据已知条件得到∠CAE=∠BDE=22.5°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=45°，求得∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°，推出△ACD≌△FCD，即可根据全等三角形的性质得到AC=CF，AF=DE，等量代换即可得到结论．
【解答】解：
（1）DE=2CE，
理由：
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠BDE=30°，
∴DE=2BE，
∵∠AEC=∠BED，
∴∠A=∠D=30°，
∴AE=2CE，
∵AB=CD，
∴AE+BE=CE+DE，
∴2CE+
DE=CE=DE，
即DE=2CE；
（2）DE=2AC，
理由：
连接AD，延长AC、BD交于F，
∵∠ACE=∠DBE=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠BDE=22.5°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°，
在△ACD与△FC
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