分段线性插值.docx
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分段线性插值
学生牛彦坡陈彬冯梦雨
三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资料等）：
来源与意义:
本课题来源于教材第二章插值法，目的是从几何意义掌握分段线性插值的思想，加深对其的理解以及掌握用计算机与Matlab解决相关问题的能力。
基本要求:
要求自编程序；掌握编程思想，学会一门编程语言；报告要有较强的理论分
析；有较强说服力的数据表或图像；对结果进行分析；给出相应结论；鼓励创新；参考资料:
1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。
2.数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。
3.数值分析与实验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。
4.数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社。
指导教师签字：
教研室主任签字：
天津工程师范学院
课程设计评审表
理学院数学0702班学生牛彦坡陈彬冯梦雨
设计任务完成情况及指导教师评语
答辩情况
评定成绩
成绩：
指导教师签字：
日期：
教研室主任：
主任签字：
日期：
日期：
一、问题提出：
考察分段线性插值：
对f（x）
1
1x2
在（-5，5）上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同
分段线性插值函数。
（要求：
自编程序，报告有数据表、图像、分析、结论。
）
虽然matlab里有直接分段线形插值的函数，但为了对分段插值算法有更明确的理解，编写该程序是有必要的
需要解决的问题：
1、由已知数据节点编写分段线形插值函数，从而能由所编函数得到非节点的函数值。
2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系
二、理论基础
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f（x）。
设已知节点a=x01oIh（x）
C[a,b],
2oIh（x）
fk（k
0,1,
n）,
3oIh（x）在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数。
则称Ih（x）为分段线性插值函数。
模型一：
由定义可知Ih（x）在每个小区间[xk,xk+1]上可表示为
x
Ih（x）=
xk
xk1
f
k
xk1
xxk
xk1xk
fk1
（xk
xxk1）
模型二：
首先确定间隔序列k，使得：
xkx
xk1
第二个量是局部变量s，其定义为：
sxxk
最后一个量是一阶均差
yk1yk
k
xk1xk
则插值基函数可表示为
L（x）
yk（x
yk1yk
xk）
xk1xk
yksk.
三、实验内容
1、模型一：
用MATLAB分别建立m文件：
（1）原函数fd1.m
（2）分段线性插值函数fd2.m
（3）比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m2、选取插值节点数为偶数
在MATLAB窗口中执行：
fd3n=2的数据见附录，图像如下：
y0.5
0
-5-4-3-2-1012345
x
误差分析
0
x）
（-0.5
R
-1
-5-4-3-2-1012345
x
n=8的图如下:
原函数（实线）-插值函数（虚线）
1
y0.5
0
-5-4-3-2-1012345
x
误差分析
0.4
0.2
x）
0
（
R
-0.2
-0.4
-5-4-3-2-1012345
x
n=20的图
y0.5
0
-5-4-3-2-1012345
x
误差分析
0.1
0.05
x）
（0
R
-0.05
-0.1
-5-4-3-2-1012345
x
3、模型二：
用MATLAB分别建立m文件：
（1））分段插值函数fd22
（2））插值效果比较函数fd32（选取插值节点数为奇数）程序代码（参见附录）
在MATLAB窗口中执行：
fd32
得下图：
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像
1
0.8
0.6
0.4
n=3n=5n=7n=9
n=11
0.2
0
-5-4-3-2-1012345
0.6
0.4
0.2
n=3n=5n=7n=9n=11
0
-0.2
-5-4-3-2-1012345
3、由上所有的图可看出，由于原函数是偶函数，等距节点所得插值函数有很强对称性，下任取节点，
编写程序fd33.m，得图
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像
1
0.8
0.6
0.4
0.2
n=3n=5
n=7n=9n=11
0
-5-4-3-2-1012345
0.5
0
-0.5
n=3n=5
n=7n=9n=11
-1
-5-4-3-2-1012345
4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和，程序模板为d1.m
得下图:
红星由fd32得奇数节点误差平方和，绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和，圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录
140
120
100
和80
方
平
差60
e误
40
20
0
0510152025
n节点数
四、结果分析
1、不同插值节点数所得的分段线形插值函数，在节点处与原函数的函数值一定相同
2、所得的分段线形插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方，与原函数的误差比较大
3、由误差平方和e，插值节点个数越多，e有减小的趋势，最后趋于0。
单考虑奇数或偶数个节点，则随节点数增加e严格减小。
4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好。
五、结论
插值节点个数越多，分段线形插值函数与原函数误差平方和有减小趋势,
插值效果越好。
六、参考文献
《数值分析与实验》薛毅编著北京工业大学出版社
附录
代码如下：
%fd1.m线性插值原函数functiony=fd1（x）y=1./（1+x.^2）;
%fd2.m分段线性插值函数functionyi=fd2（x,y,xi）n=length（x）;
m=length（y）;ifn~=m
error（'X和Y向量的长度必须相同'）;return;
end
fork=1:
n-1
ifabs（x（k）-x（k+1））
return;end
ifx（k）<=xi&xi<=x（k+1）%保证x（k）temp=x（k）-x（k+1）;
yi=（xi-x（k+1））/temp*y（k）+（xi-x（k））/（-temp）*y（k+1）return;
endend
%fd3.m比较插值效果
a=-5;b=5;
n=input（'请输入分端节点数：
'）;ifn<=0
error（'你输入的数据有误！
！
！
'）;break;
end
h=（b-a）/（n-1）;%求节点
x=a:
h:
b;
y=fd1（x）;
xx=a:
0.1:
b;%用分段线性插值函数求非节点函数值
yyi=fd1（xx）;m1=length（xx）;z=zeros（1,m1）;fork1=1:
m1
z（k1）=fd2（x,y,xx（k1））;end
w=z-yyi;%计算误差subplot（2,1,1）;plot（x,y,'o',xx,yyi,'-',x,y,'k:
'）;%插值图像xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
title（'原函数（实线）-插值函数（虚线）'）;holdon
subplot（2,1,2）;plot（xx,w,'k:
'）;%误差的图像
xlabel（'x'）;
ylabel（'R（x）'）;
title（'误差分析'）;holdon
xx=xx';
yyi=yyi';z=z';
w=w';
%fd22.m分段线性插值函数functionv=fd22（x,y,u）delta=diff（y）./diff（x）;
n=length（x）;k=ones（size（u））;forj=2:
n-1k（x（j）<=u）=j;end
s=u-x（k）;v=y（k）+s.*delta（k）;
%fd32.m同时画不同节点的插值函数图像和误差图像
clearclose
t=[-5:
0.01:
5];a=['k''g''r''c''m'];
fori=1:
5n=2*i+1;
x=linspace（-5,5,n）;%把区间[-55]分为（n－1）份，算插值节点
y=fd1（x）;
p=fd22（x,y,t）;p=p';%计算以（x，y）为插值点的插值函数在t处的各个值y1=fd1（t）;y1=y1';
e=p-y1;%计算误差
subplot（2,1,1）;plot（x,y,a（i））;holdon;%画出插值函数图像及误差图像
subplot（2,1,2）;plot（t,e,a（i））;holdon;end
subplot（2,1,1）;legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,2）;
legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,1）;
fplot（@fd1,[-55],'k'）;%画出原函数图像
holdoff
%fd33.m插值节点非等分区间获得
close
t=[-5:
0.01:
5];
a=['k''g''r''c''m'];fori=1:
5
n=2*i+1;
x=[-5rand（1,n-2）*10-55];%得（-5，5）上的n维随机向量x=sort（x）;
y=fd1（x）;p=fd22（x,y,t）;p=p';y1=fd1（t）;y1=y1';e=p-y1;
subplot（2,1,1）;plot（x,y,a（i））;holdon;
subplot（2,1,2）;plot（t,e,a（i））;holdon;end
subplot（2,1,1）;
legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,2）;legend（'n=3','n=5','n=7','n=9','n=11'）
subplot（2,1,1）;
fplot（@fd1,[-55],'k'）;holdoff
%fd1.m比较不同节点数误差平方和
clear
t=[-5:
0.01:
5];a=[];b=[];
fori=1:
10
n=2*i;%n=2*i+1则是奇数节点
x=linspace（-5,5,n）y=fd1（x）;p=fd22（x,y,t）;y1=fd1（t）;
e=p-y1;e=e*e';a=[ae];
b=[bn];end
plot（b,a,'go'）xlabel（'n节点数'）
ylabel（'e误差平方和'）
holdon
n=2的数据：
X
Y
YI（原函数）
W
-5.0000
0.0385
0.0385
0
-4.9000
0.0400
0.0577
-0.0177
-4.8000
0.0416
0.0769
-0.0353
-4.7000
0.0433
0.0962
-0.0528
-4.6000
0.0451
0.1154
-0.0703
-4.5000
0.0471
0.1346
-0.0876
-4.4000
0.0491
0.1538
-0.1047
-4.3000
0.0513
0.1731
-0.1218
-4.2000
0.0536
0.1923
-0.1387
-4.1000
0.0561
0.2115
-0.1554
-4.0000
0.0588
0.2308
-0.1719
-3.9000
0.0617
0.2500
-0.1883
-3.8000
0.0648
0.2692
-0.2045
-3.7000
0.0681
0.2885
-0.2204
-3.6000
0.0716
0.3077
-0.2361
-3.5000
0.0755
0.3269
-0.2515
-3.4000
0.0796
0.3462
-0.2665
-3.3000
0.0841
0.3654
-0.2813
-3.2000
0.0890
0.3846
-0.2956
-3.1000
0.0943
0.4038
-0.3096
-3.0000
0.1000
0.4231
-0.3231
-2.9000
0.1063
0.4423
-0.336
-2.8000
0.1131
0.4615
-0.3484
-2.7000
0.1206
0.4808
-0.3601
-2.6000
0.1289
0.5000
-0.3711
-2.5000
0.1379
0.5192
-0.3813
-2.4000
0.1479
0.5385
-0.3905
-2.3000
0.1590
0.5577
-0.3987
-2.2000
0.1712
0.5769
-0.4057
-2.1000
0.1848
0.5962
-0.4113
-2.0000
0.2000
0.6154
-0.4154
-1.9000
0.2169
0.6346
-0.4177
-1.8000
0.2358
0.6538
-0.418
-1.7000
0.2571
0.6731
-0.416
-1.6000
0.2809
0.6923
-0.4114
-1.5000
0.3077
0.7115
-0.4038
-1.4000
0.3378
0.7308
-0.3929
-1.3000
0.3717
0.7500
-0.3783
-1.2000
0.4098
0.7692
-0.3594
-1.1000
0.4525
0.7885
-0.336
-1.0000
0.5000
0.8077
-0.3077
-0.9000
0.5525
0.8269
-0.2744
-0.8000
0.6098
0.8462
-0.2364
-0.7000
0.6711
0.8654
-0.1942
-0.6000
0.7353
0.8846
-0.1493
-0.5000
0.8000
0.9038
-0.1038
-0.4000
0.8621
0.9231
-0.061
-0.3000
0.9174
0.9423
-0.0249
-0.2000
0.9615
0.9615
0
-0.1000
0.9901
0.9808
0.0093
0
1.0000
1.0000
0
0.1000
0.9901
0.9808
0.0093
0.2000
0.9615
0.9615
0
0.3000
0.9174
0.9423
-0.0249
0.4000
0.8621
0.9231
-0.061
0.5000
0.8000
0.9038
-0.1038
0.6000
0.7353
0.8846
-0.1493
0.7000
0.6711
0.8654
-0.1942
0.8000
0.6098
0.8462
-0.2364
0.9000
0.5525
0.8269
-0.2744
1.0000
0.5000
0.8077
-0.3077
1.1000
0.4525
0.7885
-0.336
1.2000
0.4098
0.7692
-0.3594
1.3000
0.3717
0.7500
-0.3783
1.4000
0.3378
0.7308
-0.3929
1.5000
0.3077
0.7115
-0.4038
1.6000
0.2809
0.6923
-0.4114
1.7000
0.2571
0.6731
-0.416
1.8000
0.2358
0.6538
-0.418
1.9000
0.2169
0.6346
-0.4177
2.0000
0.2000
0.6154
-0.4154
2.1000
0.1848
0.5962
-0.4113
2.2000
0.1712
0.5769
-0.4057
2.3000
0.1590
0.5577
-0.3987
2.4000
0.1479
0.5385
-0.3905
2.5000
0.1379
0.5192
-0.3813
2.6000
0.1289
0.5000
-0.3711
2.7000
0.1206
0.4808
-0.3601
2.8000
0.1131
0.4615
-0.3484
2.9000
0.1063
0.4423
-0.336
3.0000
0.1000
0.4231
-0.3231
3.1000
0.0943
0.4038
-0.3096
3.2000
0.0890
0.3846
-0.2956
3.3000
0.0841
0.3654
-0.2813
3.4000
0.0796
0.3462
-0.2665
3.5000
0.0755
0.3269
-0.2515
3.6000
0.0716
0.3077
-0.2361
3.7000
0.0681
0.2885
-0.2204
3.8000
0.0648
0.2692
-0.2045
3.9000
0.0617
0.2500
-0.1883
4.0000
0.0588
0.2308
-0.1719
4.1000
0.0561
0.2115
-0.1554
4.2000
0.0536
0.1923
-0.1387
4.3000
0.0513
0.1731
-0.1218
4.4000
0.0491
0.1538
-0.1047
4.5000
0.0471
0.1346
-0.0876
4.6000
0.0451
0.1154
-0.0703
4.7000
0.0433
0.0962
-0.0528
4.8000
0.0416
0.0769
-0.0353
4.9000
0.0400
0.0577
-0.0177
5.0000
0.0385
0.0385
0
n
2
3
4
5
6
7
误差平方和
136.9209
79.1689
63.334
6.9775
23.7384
0.8329
n
8
9
10
11
12
13
14
误差平方和
9.0015
0.5726
3.6152
0.572
1.5676
0.4648
0.7472
n
15
16
17
18
19
20
21
误差平方和
0.3366
0.3945
0.2327
0.2291
0.1593
0.1438
0.1101
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