分段线性插值.docx

1、分段线性插值学 生 牛彦坡 陈彬 冯梦雨三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资料等）：来源与意义 :本课题来源于教材第二章插值法， 目的是从几何意义掌握分段线性插值的思想，加深对其的理解以及掌握用计算机与 Matlab 解决相关问题的能力。基本要求 :要求自编程序；掌握编程思想，学会一门编程语言；报告要有较强的理论分析；有较强说服力的数据表或图像； 对结果进行分析； 给出相应结论； 鼓励创新； 参考资料 :1. 数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001 ，清华大学出版社 （第四版）。2. 数值方法，关治，陆金甫， 2006 ，清华大学出版社。3. 数值分析与实

2、验学习指导，蔡大用， 2001 ，清华大学出版社。4. 数值分析与实验，薛毅， 2005 ，北京工业大学出版社。指导教师签字： 教研室主任签字：天津工程师范学院课 程 设 计 评 审 表理学 院 数学 0702 班 学生 牛彦坡 陈彬 冯梦雨设计任务完成情况及指导教师评语答辩情况评定成绩成绩： 指导教师签字： 日期：教研室主任： 主任签字：日期： 日期：一、 问题提出：考察分段线性插值 ：对 f (x)11 x2在(-5 ，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数 n ，得到不同分段线性插值函数。（要求：自编程序，报告有数据表、图像、分析、结论。 ）虽然 matlab 里有直接分段线形插值的函数

3、， 但为了对分段插值算法有更明确的理解，编写该程序是有必要的需要解决的问题：1、 由已知数据节点编写分段线形插值函数， 从而能由所编函数得到非节点的函数值。2、 比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差， 从而得出节点数与插值效果的关系二、理论基础所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 f（x）。设已知节点 a=x 0x1 xn=b 上的函数值 f0，f1， ， fn ，求一折线函数满足：1o I h ( x)Ca, b,2o I h ( x)f k (k0,1,n) ,3o I h ( x) 在每个小区间 xk,xk+1 上是线性函数。则称 I h ( x) 为分段线性插值函

4、数 。模型一：由定义可知 I h ( x) 在每个小区间 xk,xk+1 上可表示为xI h (x) =xkxk 1fkxk 1x xkxk 1 xkf k 1( xkx xk 1 )模型二：首先确定间隔序列 k，使得：xk xxk 1第二个量是局部变量 s，其定义为 ：s x xk最后一个量是一阶均差yk 1 ykkxk 1 xk则插值基函数可表示为L( x)yk (xyk 1 ykxk )xk 1 xkyk s k .三、实验内容1、模型一： 用 MATLAB 分别建立 m 文件：（1） 原函数 fd1.m（2） 分段线性插值函数 fd2.m（3） 比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值

5、效果 fd3.m 2、选取插值节点数为偶数在 MATLAB 窗口中执行： fd3 n=2 的数据见附录，图像如下：y 0.50-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x误 差 分 析0x）（ -0.5R-1-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xn=8 的图如下 :原 函 数 (实 线 )-插 值 函 数 （ 虚 线 ）1y 0.50-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x误 差 分 析0.40.2x）0（R-0.2-0.4-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xn=20 的图y 0.50-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6、x误 差 分 析0.10.05x）（ 0R-0.05-0.1-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x3、模型二：用 MATLAB 分别建立 m 文件：（1） ）分段插值函数 fd22（2） ）插值效果比较函数 fd32 （选取插值节点数为奇数）程序代码（参见附录）在 MATLAB 窗口中执行： fd32得下图：上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像10.80.60.4n=3 n=5 n=7 n=9n=110.20-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50.60.40.2n=3 n=5 n=7 n=9 n=110-0.2-5 -4 -3 -2 -1 0

7、 1 2 3 4 53、 由上所有的图可看出，由于原函数是偶函数，等距节点所得插值函数有很强对称性，下任取节点，编写程序 fd33.m ，得图上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像，下图为误差图像10.80.60.40.2n=3 n=5n=7 n=9 n=110-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50.50-0.5n=3 n=5n=7 n=9 n=11-1-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 54、 比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和，程序模板为 d1.m得下图:红星由 fd32 得奇数节点误差平方和，绿星加圈由 fd3 得偶数节点误差平方和，圈由 f3

8、3 得随机节点误差平方和 ,数据见附录140120100和 80方平差 60e误402000 5 10 15 20 25n 节 点 数四、结果分析1、不同插值节点数所得的分段线形插值函数， 在节点处与原函数的函数值一定相同2、所得的分段线形插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方， 与原函数的误差比较大3、由误差平方和 e，插值节点个数越多， e 有减小的趋势，最后趋于 0。单考虑奇数或偶数个节点，则随节点数增加 e 严格减小。4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好。五、结论插值节点个数越多，分段线形插值函数与原函数误差平方和有减小趋势 ,插值效果越好。六、参考文献数值分析与实验 薛 毅 编

9、著 北京工业大学出版社附录代码如下：% fd1.m 线性插值原函数function y=fd1(x) y=1./(1+x.2);% fd2.m 分段线性插值函数function yi=fd2(x,y,xi) n=length(x);m=length(y); if n=merror(X 和Y向量的长度必须相同 ); return;endfor k=1:n-1if abs(x(k)-x(k+1)eps % x(k)-x(k+1) 的绝对值 必须大于 e error( 数据有误 );return; endif x(k)=xi&xi=x(k+1) % 保证 x(k) xi x(k+1)temp=x(k

10、)-x(k+1);yi=(xi-x(k+1)/temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1) return;end end% fd3.m 比较插值效果a=-5; b=5;n=input( 请输入分端节点数： ); if n=0error( 你输入的数据有误！ ); break;endh=(b-a)/(n-1); % 求节点x=a:h:b;y=fd1(x);xx=a:0.1:b; % 用分段线性插值函数求非节点函数值yyi=fd1(xx); m1=length(xx); z=zeros(1,m1); for k1=1:m1z(k1)=fd2(x,y,xx(k1); endw=

11、z-yyi; % 计算误差subplot(2,1,1);plot(x,y,o,xx,yyi,-,x,y,k:);% 插值图像xlabel(x);ylabel(y);title( 原函数(实线)-插值函数（虚线） ); hold onsubplot(2,1,2);plot(xx,w,k:); % 误差的图像xlabel(x);ylabel(R （ x）);title( 误差分析 ); hold onxx=xx;yyi=yyi; z=z;w=w;% fd22.m 分段线性插值函数function v=fd22(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x);n=length(x); k

12、=ones(size(u); for j=2:n-1 k(x(j)=u)=j; ends=u-x(k); v=y(k)+s.*delta(k);% fd32.m 同时画不同节点的插值函数图像和误差图像clear closet=-5:0.01:5; a=k g r c m;for i=1:5 n=2*i+1;x=linspace(-5,5,n); % 把区间-5 5 分为（ n 1）份，算插值节点y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);p=p; % 计算以（ x， y）为插值点的插值函数在 t处的各个值y1=fd1(t);y1=y1;e=p-y1; %计算误差subplot(2,1,1);

13、plot(x,y,a(i);hold on; % 画出插值函数图像及误差图像subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);hold on; endsubplot(2,1,1); legend(n=3,n=5,n=7,n=9,n=11)subplot(2,1,2);legend(n=3,n=5,n=7,n=9,n=11)subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,k); % 画出原函数图像hold off%fd33.m 插值节点非等分区间获得closet=-5:0.01:5;a=k g r c m; for i=1:5n=2*i+1;x=-5 rand(1,n-2)*

14、10-5 5; % 得（ -5， 5）上的n维随机向量x=sort(x);y=fd1(x); p=fd22(x,y,t);p=p; y1=fd1(t);y1=y1; e=p-y1;subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);hold on;subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);hold on; endsubplot(2,1,1);legend(n=3,n=5,n=7,n=9,n=11)subplot(2,1,2); legend(n=3,n=5,n=7,n=9,n=11)subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,k); hold off%fd

15、1.m 比较不同节点数误差平方和cleart=-5:0.01:5;a=;b=;for i=1:10n=2*i; %n=2*i+1 则是奇数节点x=linspace(-5,5,n) y=fd1(x); p=fd22(x,y,t); y1=fd1(t);e=p-y1; e=e*e; a=a e;b=b n; endplot(b,a,go) xlabel(n 节点数)ylabel(e 误差平方和 )hold onn=2 的数据：XYYI （原函数）W-5.00000.03850.03850-4.90000.04000.0577-0.0177-4.80000.04160.0769-0.0353-4.7

16、0000.04330.0962-0.0528-4.60000.04510.1154-0.0703-4.50000.04710.1346-0.0876-4.40000.04910.1538-0.1047-4.30000.05130.1731-0.1218-4.20000.05360.1923-0.1387-4.10000.05610.2115-0.1554-4.00000.05880.2308-0.1719-3.90000.06170.2500-0.1883-3.80000.06480.2692-0.2045-3.70000.06810.2885-0.2204-3.60000.07160.307

17、7-0.2361-3.50000.07550.3269-0.2515-3.40000.07960.3462-0.2665-3.30000.08410.3654-0.2813-3.20000.08900.3846-0.2956-3.10000.09430.4038-0.3096-3.00000.10000.4231-0.3231-2.90000.10630.4423-0.336-2.80000.11310.4615-0.3484-2.70000.12060.4808-0.3601-2.60000.12890.5000-0.3711-2.50000.13790.5192-0.3813-2.4000

18、0.14790.5385-0.3905-2.30000.15900.5577-0.3987-2.20000.17120.5769-0.4057-2.10000.18480.5962-0.4113-2.00000.20000.6154-0.4154-1.90000.21690.6346-0.4177-1.80000.23580.6538-0.418-1.70000.25710.6731-0.416-1.60000.28090.6923-0.4114-1.50000.30770.7115-0.4038-1.40000.33780.7308-0.3929-1.30000.37170.7500-0.3

19、783-1.20000.40980.7692-0.3594-1.10000.45250.7885-0.336-1.00000.50000.8077-0.3077-0.90000.55250.8269-0.2744-0.80000.60980.8462-0.2364-0.70000.67110.8654-0.1942-0.60000.73530.8846-0.1493-0.50000.80000.9038-0.1038-0.40000.86210.9231-0.061-0.30000.91740.9423-0.0249-0.20000.96150.96150-0.10000.99010.9808

20、0.009301.00001.000000.10000.99010.98080.00930.20000.96150.961500.30000.91740.9423-0.02490.40000.86210.9231-0.0610.50000.80000.9038-0.10380.60000.73530.8846-0.14930.70000.67110.8654-0.19420.80000.60980.8462-0.23640.90000.55250.8269-0.27441.00000.50000.8077-0.30771.10000.45250.7885-0.3361.20000.40980.

21、7692-0.35941.30000.37170.7500-0.37831.40000.33780.7308-0.39291.50000.30770.7115-0.40381.60000.28090.6923-0.41141.70000.25710.6731-0.4161.80000.23580.6538-0.4181.90000.21690.6346-0.41772.00000.20000.6154-0.41542.10000.18480.5962-0.41132.20000.17120.5769-0.40572.30000.15900.5577-0.39872.40000.14790.53

22、85-0.39052.50000.13790.5192-0.38132.60000.12890.5000-0.37112.70000.12060.4808-0.36012.80000.11310.4615-0.34842.90000.10630.4423-0.3363.00000.10000.4231-0.32313.10000.09430.4038-0.30963.20000.08900.3846-0.29563.30000.08410.3654-0.28133.40000.07960.3462-0.26653.50000.07550.3269-0.25153.60000.07160.307

23、7-0.23613.70000.06810.2885-0.22043.80000.06480.2692-0.20453.90000.06170.2500-0.18834.00000.05880.2308-0.17194.10000.05610.2115-0.15544.20000.05360.1923-0.13874.30000.05130.1731-0.12184.40000.04910.1538-0.10474.50000.04710.1346-0.08764.60000.04510.1154-0.07034.70000.04330.0962-0.05284.80000.04160.0769-0.03534.90000.04000.0577-0.01775.00000.03850.03850n234567误差平方和136.920979.168963.3346.977523.73840.8329n891011121314误差平方和9.00150.57263.61520.5721.56760.46480.7472n15161718192021误差平方和0.33660.39450.23270.22910.15930.14380.1101