二次函数知识点总结归纳.docx

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二次函数知识点总结归纳

二次函数知识点总结归纳

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

〔a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.〕那么称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：

y=ax^2+bx+c〔a，b，c为常数，a≠0〕

顶点式：

y=a（x-h）^2+k [抛物线的顶点P〔h，k〕]

交点式：

y=a（x-x₁）（x-x ₂） [仅限于与x轴有交点A〔x₁ ，0〕和     B〔x₂，0〕的抛物线]

注：

在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a   k=（4ac-b^2）/4a   x₁,x₂=（-b±√b^2-4ac）/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线    x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴〔即直线x=0〕

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：

P （ -b/2a ，（4ac-b^2）/4a ）当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，那么抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左；

当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于〔0，c〕

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数〔x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a〕

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数〔以下称函数〕y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程〔以下称方程〕，即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，那么向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2 +k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．

3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），假设a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．假设a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：

如果a>0（a<0），那么当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为图象经过三个点或x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c（a≠0）．

（2）当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）^2+k（a≠0）．

（3）当题给条件为图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

〔a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.〕那么称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：

y=ax^2+bx+c〔a，b，c为常数，a≠0〕

顶点式：

y=a（x-h）^2+k [抛物线的顶点P〔h，k〕]

交点式：

y=a（x-x₁）（x-x ₂） [仅限于与x轴有交点A〔x₁ ，0〕和     B〔x₂，0〕的抛物线]

注：

在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a   k=（4ac-b^2）/4a   x₁,x₂=（-b±√b^2-4ac）/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线    x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴〔即直线x=0〕

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：

P （ -b/2a ，（4ac-b^2）/4a ）当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，那么抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左；

当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于〔0，c〕

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数〔x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a〕

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数〔以下称函数〕y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程〔以下称方程〕，即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，那么向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2 +k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．

3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），假设a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．假设a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：

如果a>0（a<0），那么当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为图象经过三个点或x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c（a≠0）．

（2）当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）^2+k（a≠0）．

（3）当题给条件为图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．