高中数学课本中的定理、公式、结论的证明.doc
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数学课本中的定理、公式、结论的证明
数学必修一
第一章集合（无）
第二章函数（无）
第三章指数函数和对数函数
1．对数的运算性质：
如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么
（1）；
》
（2）；
（3）．
根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质
证明：
（性质1）设，，由对数的定义可得，，
∴，
∴，
即证得．
证明：
（性质2）设，，由对数的定义可得，，
）
∴，
∴，
即证得．
证明（性质3）设，由对数的定义可得，
∴，
∴，
即证得．
—
第四章函数应用（无）
数学必修二
第一章立体几何初步
直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．
1、直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．
2、平面与平面平行的判定定理
&
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
3、直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
4、平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
、
证明：
设直线的方向向量为a,平面的法向量分别为u，r（建立立体几何问题与向量之间的联系），
因为，所以a||r，即a=r（）（把立体几何问题转化为空间向量问题）,
又所以auau=0（把立体几何问题转化为空间向量问题），
所以ur=0ur（把空间向量的结果转化为几何结论），
所以平面与平面互相垂直，
5、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．
（
6、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
7、直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
}
另法
】
8、平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，
、
、
9三垂线定理及逆定理
另法证明：
已知：
如图，直线与平面相交与点A，在上的射影OA垂直于
求证：
⊥
证明：
过P作PO垂直于
∵PO⊥α
∴PO⊥
】
又⊥OA，PO∩OA=O
∴⊥平面POA
∴⊥
（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影
第二章解析几何初步（无）
数学必修三
数学必修四
'
第一章三角函数
诱导公式
公式：
如图：
设的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交
于点P（x，y），则角-的终边与单位圆的交点必为
P´（x，-y）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得
sin=y，cos=x,sin（-）=-y,cos（-）=x,
所以：
sin（-）=-sin,cos（-）=cosα
·
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式，
公式：
它刻画了角+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：
以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）关系，设角终边圆交于点P（x，y），则角终边的反向延长线，即+角的终边与单位圆的交点必为P´（-x，-y）（如图4-5-1）．
由正弦函数、余弦函数的定义，即可得
sin=y， cos=x,sin（+）=-y, cos（+）=-x,
所以:
sin（+）=-sin，cos（+）=-cos．
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。
@
相关诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈z tan（2kπ+α）=tanαk∈z
公式二：
sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanα公式三：
sin（－α）=－sinα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα
—
公式六：
π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotα
第二章平面向量
1、共线向量定理（p82例3）
内容：
如图A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有
证明：
由题意，与共线，
-
化简为：
2、平面向量基本定理（p83）
内容：
如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数，使得
证明：
如图过平面内一点O，作，过点C分别作直线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使
得
即
>
3、平行向量定理（p88）
内容：
若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；
若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，
证明：
设是非零向量，且
若，则存在实数使，且由平面向量基本定理可知
①，②①②得：
若（即向量不与坐标轴平行）则
`
4、余弦定理证明（p93）
内容：
在中，分别为角的对边，则
证明：
如图在中，设则
同理可证：
所以
5、点到直线距离公式证明（p99）
、
向量法
定义法
证：
如图,根据定义，点M到直线的距离是点M到直线的垂线段的长，如图1，
|
设点M到直线的垂线为，垂足为Q，由可知的斜率为
的方程：
与联立方程组
解得交点
第三章 三角恒等变形
1、两角差的余弦公式证明cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
证明 ：
如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β，且α＞β．若α，β均为锐角时，
设它们的终边分别交单位圆于点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），即有两单位向量，它们的所成角是α﹣β，
根据向量数量积的性质得：
①
又根据向量数量积的坐标运算得：
=cosαcosβ+sinαsinβ ②
由①②得cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ③
【
由诱导公式可证明当α，β均为任意角时③式仍成立，
2、两角和的余弦公式证明
=（略）
3、两角和（差）的正弦公式证明
内容：
证明：
;
4、两角和（差）的正切公式证明
内容：
，
证明：
?
考题（2010四川理19）
证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
解：
①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα），
P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2
展开并整理得：
2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由①易得cos（π-α）=sinα，sin（π2-α）=cosα
sin（α+β）=cos[-（α+β）]=cos[（-α）+（-β）]
=cos（-α）cos（-β）-sin（-α）sin（-β）
·
=sinαcosβ+cosαsinβ；
数学必修五
第一章数列
1、等差数列通项公式
已知等差数列{}的首项为，公差为d，证明数列{}的通项公式为-+=
证明：
由等差数列的定义可知:
说明：
用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对同样成立
2、￥
3、等差数列前项和
内容：
是等差数列，公差为，首项为，为其前n项和，则
证明：
由题意，①
反过来可写为：
②
①+②得：
2
所以，③，
把代入③中，得
3、等比数列通项公式
|
已知等比数列{}的首项为，公比为q，证明数列{}的通项公式为-+=
类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明
4、等比数列前n项和
内容：
是等比数列，公比为，首项为，为其前项和，则=
证明：
①
②
①—②得：
，
当时，③把代入③中，得
[
当时，很明显
所以，=
考题（2013陕西文）17.设Sn表示数列的前n项和.
（Ⅰ）若为等差数列,推导Sn的计算公式;
（Ⅱ）若,且对所有正整数n,有.判断是否为等比数列.
解：
（Ⅰ）设公差为d,则
.
（北师大版数学必修五---课本证明方法）
，
（Ⅱ），
.
所以,是首项,公比的等比数列，
2、（2013陕西理）17.设是公比为q的等比数列.
（Ⅰ）推导的前n项和公式;
（Ⅱ）设q≠1,证明数列不是等比数列.
）
解：
（Ⅰ）分两种情况讨论，
①
②.
上面两式错位相减:
，
③综上，
（北师大版数学必修五---课本证明方法）
—
（Ⅱ）使用反证法，
设是公比q≠1的等比数列,假设数列是等比数列.则
①当=0成立，则不是等比数列，
②当成立，则
，这与题目条件q≠1矛盾，
③综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q≠1时,数列不是等比数列，
:
a
b
D
A
B
C
第二章 解三角形
1、正弦定理证明（p45）
内容：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即
-
已知：
在中，分别为角的对边，
求证：
证明：
方法1利用三角形的高证明正弦定理
（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据锐角三角函数的定义，有，
由此，得，同理可得，
故有.A
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