福建专用高考数学总复习课时规范练55不等式选讲文新人教A版03154110.docx
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福建专用高考数学总复习课时规范练55不等式选讲文新人教A版03154110
课时规范练55 不等式选讲
基础巩固组
1.(2017山西吕梁二模,23)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.
2.(2017辽宁鞍山一模,文23)设函数f(x)=+|x-a|,x∈R.
(1)当a=-时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.
3.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
4.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
5.(2017山西临汾三模,23)已知函数f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集为[-3,-1].
(1)求m的值;
(2)设a,b,c为正数,且a+b+c=m,求的最大值.
〚导学号24190847〛
综合提升组
6.(2017辽宁沈阳一模,23)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M,
(1)证明:
;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
7.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
8.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)≥1.
〚导学号24190848〛
创新应用组
9.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
10.(2017河北邯郸二模,文23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.
(1)若关于x的不等式f(x)(2)若关于x的不等式f(x)
答案:
1.解
(1)若a=-1,f(x)≥3,
即为|x-1|+|x+1|≥3,
当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-;
当-1当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥.
综上可得,f(x)≥3的解集为;
(2)∃x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,
由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,
当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,
则|a-1|<2,即-2则实数a的取值范围为(-1,3).
2.解
(1)f(x)=
由f(x)≥4得
解得x≤-1或x≥3,
所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}.
(2)由绝对值的性质得f(x)=+|x-a|≥,
所以f(x)的最小值为,从而≥a,解得a≤,因此a的最大值为.
3.解
(1)当a=-3时,f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
4.解
(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,
解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
5.解
(1)由题意,|x+2|≤m⇔
由f(x)≤0的解集为[-3,-1],得解得m=1.
(2)由
(1)可得a+b+c=1,
由柯西不等式可得(3a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)≥()2,
∴≤3,
当且仅当,即a=b=c=时等号成立,
∴的最大值为3.
6.
(1)证明记f(x)=|x-1|-|x+2|=
由-2<-2x-1<0解得-∵a,b∈M,∴|a|<,|b|<.
∴|a|+|b|<.
(2)解由
(1)得a2<,b2<.
因为|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)
=(4a2-1)(4b2-1)>0,
所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.
7.解
(1)f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,
解得x>-1;
当-当x≥时,由f(x)<2得2x<2,
解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1(2)由
(1)知,当a,b∈M时,-1从而(a+b)2-(1+ab)2
=a2+b2-a2b2-1
=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
8.证明
(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+(a+b+c)≥2(a+b+c),
即≥a+b+c.所以≥1.
9.解
(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得当x≥1时,不等式化为-x+2>0,
解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).
10.解
(1)当x=2时,g(x)=a-|x-2|取最大值为a,
∵f(x)=|x+1|+|x-3|≥4,当且仅当-1≤x≤3,f(x)取最小值4,
又关于x的不等式f(x)4,即实数a的取值范围是(4,+∞).
(2)当x=时,f(x)=5,
则g=-+a=5,
解得a=,
∴当x<2时,g(x)=x+,令g(x)=x+=4,得x=-∈(-1,3),∴b=-,则a+b=6.