18年高考数学二轮复习专题19排列组合二项式定理教学案理.docx
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18年高考数学二轮复习专题19排列组合二项式定理教学案理
专题19排列、组合、二项式定理
1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.
2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.
3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.
1．两个重要公式
（1）排列数公式
A＝＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）（n，m∈N*，且m≤n）．
（2）组合数公式
C＝＝（n，m∈N*，且m≤n）．
2．三个重要性质和定理
（1）组合数性质
①C＝（n，m∈N*，且m≤n）；
②C＝（n，m∈N*，且m≤n）；
③C＝1.
（2）二项式定理
（a＋b）n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.
（3）二项式系数的性质
①C＝C，C＝C，…，C＝C；
②C＋C＋C＋…＋C＝2n；
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
考点一排列与组合
例1．【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】D
【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24（B）48（C）60（D）72
【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
【变式探究】（2015·四川，6）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）
A．144个B．120个C．96个D．72个
解析由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.
答案B
考点二排列组合中的创新问题
例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1＋a）（1＋b）的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：
“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）
A．（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）（1＋b5）（1＋c）5
B．（1＋a5）（1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5）（1＋c）5
C．（1＋a）5（1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5）（1＋c5）
D．（1＋a5）（1＋b）5（1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5）
解析分三步：
第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有（1＋b5）种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有（1＋c）5种不同的取法，所以所求的取法种数为（1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5）（1＋b5）（1＋c）5，故选A.
答案A
【变式探究】设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为（）
A．60B．90C．120D．130
答案D
考点三二项展开式中项的系数
例3．【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
【答案】60.
【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。
【变式探究】（2015·新课标全国Ⅰ，10）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10B．20C．30D．60
解析Tk＋1＝C（x2＋x）5－kyk，∴k＝2.
∴C（x2＋x）3y2的第r＋1项为CCx2（3－r）xry2，∴2（3－r）＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.
答案C
考点四二项展开式中的常数项
例4．【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
（A）－15x4（B）15x4（C）－20ix4（D）20ix4
【答案】A
【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.
【变式探究】（2015·湖南，6）已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝（）
A.B．－C．6D．－6
解析的展开式通项Tr＋1＝Cx（－1）rar·x－＝（－1）rarCx－r，令－r＝，则r＝1，
∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.
答案D
考点五二项式定理的综合应用
例5．【2017课标1，理6】展开式中的系数为
A．15B．20C．30D．35
【答案】C
【变式探究】【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】－2
【解析】因为，所以由，因此
【变式探究】（2015·陕西，4）二项式（x＋1）n（n∈N＋）的展开式中x2的系数为15，则n＝（）
A．4B．5C．6D．7
解析由题意易得：
C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.
答案C
1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为
A．15B．20C．30D．35
【答案】C
【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.
2.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】D
3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】1080
【解析】
4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.
【答案】4
【解析】由二项式定理的通项公式，令得：
，解得．
1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
（A）24（B）18（C）12（D）9
【答案】B
【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.
2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
（A）－15x4（B）15x4（C）－20ix4（D）20ix4
【答案】A
【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.
3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24（B）48（C）60（D）72
【答案】D
4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：
共有项，其中项为0，项
为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有
（）
（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
5.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
【答案】60.
【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。
6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是.（用数字填写答案）
【答案】10
7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）
【答案】－56
【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56．
8.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】－2
【解析】因为，所以由，因此
9.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
（1）求的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.
【答案】
（1）0
（2）详见解析
1．（2015·广东，12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言（用数字作答）．
解析依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言．
答案1560
2．（2015·北京，9）在（2＋x）5的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）．
解析展开式通项为：
Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.
答案40
3．（2015·天津，12）在的展开式中，x2的系数为________．
解析的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；
当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为
C＝.
答案
1.【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【考点定位】计数原理
2.【2014高考湖北卷理第2题】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）
A.2B.C.1D.
【答案】C
【解析】因为，令，得，
所以，解得，故选C.
【考点定位】二项式定理的通项公式
3.【2014高考湖南卷第4题】的展开式中的系数是（）
A.B.C.5D.20
【答案】A
【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,则时,
所以的系数为,故选A.
【考点定位】二项式定理
4.【2014大纲高考理第5题】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种B．70种C．75种D．150种
【答案】C．
【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．
【考点定位】排列组合．
5.【2014大纲高考理第13题】的展开式中的系数为.
【答案】70.
【解析】设的展开式中含的项为第项，则由通项知
．令，解得，
∴的展开式中的系数为．
【考点定位】二项式定理．
6.【2014高考北京卷理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.
【答案】36
【考点定位】排列组合
7.【2014高考安徽卷理第13题】设是大于1的自然数
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