－＝1知实轴长为2sinθ，虚轴长为2cosθ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：
－＝1知实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率为.选D.
4.解析：
由双曲线方程知a＝4.又e＝＝，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.
5.解析：
由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.答案：
C
第7讲抛物线
例1[解析]
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得x1＋x2＋p＝8，又AB中点到y轴的距离为2，∴x1＋x2＝4.∴p＝4，故选B.
（2）对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为（0，－3）或（4,0）．
当焦点为（0，－3）时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为（4,0）时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
学1解析：
y2＝4mx的焦点为（m,0），双曲线的一条渐近线方程为3x－4y＝0，由d＝＝3，得m＝5，∴抛物线方程为y2＝20x.
学2解：
用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论．
很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．
当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px（p>0），把点P（－2，－4）的坐标代入得（－4）2＝－2p×（－2），
解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；
当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py（p>0），把点P（－2，－4）的坐标代入得（－2）2＝－2p×（－4），解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.
综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.
例2[解析]
（1）设直线MF的倾斜角为α，则tanα＝－.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以＝＝sinα＝.故选C.
（2）焦点F（1,0），设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：
x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2（x－1），与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－，S△AOB＝×1×（2＋）＝.
学3解析：
如图，设点P的坐标为（x0，y0），由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.
学4解：
（1）将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：
x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为（2,2）．
（2）由于直线x＝－为抛物线的准线，故|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，
当且仅当B、P、F共线时取等号．而|BF|＝＝.
∴|PB|＋d的最小值为.
例3[解]
（1）抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.
由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1,2），所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝，所以|MN|＝2＝2＝2.
（2）设C，则圆C的方程为2＋（y－y0）2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，设M（－1，y1），N（－1，y2），则
由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2＝，|CO|＝，即C的半径为.
学5解：
（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为y＝（x＋4），即x＝2y－4，
联立得2y2－（8＋p）y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，
由已知＝4，∴y2＝4y1，由韦达定理及p>0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，
∴抛物线G的方程为x2＝4y.
（2）由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：
y＝k（x＋4），BC中点坐标为（x0，y0），
由得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0，
∴x0＝＝2k，y0＝k（x0＋4）＝2k2＋4k，BC中垂线方程为y－2k2－4k＝－（x－2k），
∴b＝2（k＋1）2，∴b>2.
04迎战2年高考模拟
1.解析：
本题考查抛物线的方程．设抛物线的方程为y2＝2px（p>0），由题意得＝2，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.答案：
B
2.解析：
由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F（2,0），由点到直线的距离公式知，F到直线x－y＝0的距离d＝＝1.故选D.
3.解析：
设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F（，0），又点A（，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.答案：
C
4.解析：
抛物线的准线方程为y＝－，设A，B的横坐标分别为xA，xB，则|xA|2＝|xB|2＝3＋，所以|AB|＝|2xA|.又焦点到准线的距离为p，由等边三角形的特点得p＝|AB|，即p2＝×4×（3＋2），所以p＝6.答案：
6
5.解析：
F点坐标为（，0），设A，B两点的横坐标为x1，x2.因|AF|<|BF|，故直线AB不垂直于x轴．
设直线AB为y＝k（x－），联立直线与抛物线的方程得k2x2－（k2＋2）x＋＝0，①
则x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋1＝，可解得k2＝24，代入①式得12x2－13x＋3＝0，即（3x－1）（4x－3）＝0.而|AF|<|BF|，所以x1＝.由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋＝.答案：
第8讲曲线与方程
例1[解] 设M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；
当x＝1时，直线MB的斜率不存在．于是x≠1且x≠－1，此时，MA的斜率为，MB的斜率为，由题意，有·＝4，化简可得，4x2－y2－4＝0.
故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0（x≠1且x≠－1）．
学1解：
（1）点M（x，y）到直线x＝4的距离是到点N（1,0）的距离的2倍，则
|x－4|＝2⇒＋＝1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为＋＝1.
（2）P（0,3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知：
2x1＝0＋x2,2y1＝3＋y2，
椭圆的上下顶点坐标分别是（0，）和（0，－），经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在．设直线m方程为：
y＝kx＋3.联立椭圆和直线方程，整理得：
（3＋4k2）x2＋24kx＋24＝0⇒x1＋x2＝，x1·x2＝，Δ＝96（2k2－3）>0，
＋＝＋2⇒＝⇒＝⇒k＝±，满足Δ>0，
所以，直线m的斜率k＝±.
例2[解] 由已知得圆M的圆心为M（－1,0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1,0），半径r2＝3.
设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.
（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为＋＝1（x≠－2）．
（2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为（x－2）2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q（－4,0），
所以可设l：
y＝k（x＋4）．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝.所以|AB|＝|x2－x1|＝.当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或|AB|＝.
学2解：
设F（x，y）为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a（其中a表示椭圆的长半轴长）．∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2.
∴|FA|－|FB|＝2<14.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，
∴点F的轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）.
例3[解]
（1）因为抛物线C1：
x2＝4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为（－1，），故切线MA的方程为y＝－（x＋1）＋.
因为点M（1－，y0）在切线MA及抛物线C2上，所以y0＝－（2－）＋＝－，①
y0＝－＝－，②由①②得p＝2.
（2）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③
y＝.④
切线MA，MB的方程为y＝（x－x1）＋，⑤y＝（x－x2）＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标为
x0＝，y0＝.因为点M（x0，y0）在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
学3解：
（1）设椭圆的长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得，解得a＝4，c＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设M（x，y），P（x，y1），其中x∈[－4,4]．由已知得＝e2，又e＝，
故16（x2＋y）＝9（x2＋y2）．①由点P在椭圆C上得y＝，②
把②代入①并化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±（－4≤x≤4），其轨迹是两条平行于x轴的线段．
04迎战2年高考模拟
1.解析：
因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N（2,0）为端点向右的一条射线．答：
C
2.解析：
由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：
＋＝1（其中a>b>0）．连接MO，由三角形的中位线可得：
|F1M|＋|MO|＝a（a>|F1O|），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．答案：
B
3.解析：
设A点坐标为（x0，y0），则由题意，得S△AOB＝|x0|·|y0|＝.抛物线y2＝2px的准线为x＝－，所以x0＝－，代入双曲线的渐近线的方程y＝±x，得|y0|＝.由，得b＝a，所以|y0|＝p.所以S△AOB＝p2＝，解得p＝2或p＝－2（舍去）．答案：
C
4.
解析：
如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，则A（－1,0），B（1,0）．
设P（x，y），因为|PA|＝2|PB|，所以＝2.两边平方，得（x＋1）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]．
整理，得x2＋y2－x＋1＝0，即（x－）2＋y2＝.故动点P的轨迹方程为（x－）2＋y2＝.
5解析：
如图所示，设△ABC内切圆分别在AB，BC，AC上的切点为G，F，E，
由切线长定理知，|AG|＝|AE|，|CE|＝|CF|，|BG|＝|BF|，
∴|AC|－|BC|＝|AG|－|BG|＝6<|AB|，
可知，点C是以A，B为焦点的双曲线右支，由双曲线的定义可得所求轨迹方程为－＝1（x>3）．
第9讲圆锥曲线的综合问题
例1[解]
（1）依题意，可设椭圆方程为＋y2＝1，则右焦点为F（，0）．
由题意，知＝3，解得a2＝3.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
（2）设点M、N的坐标分别为M（xM，yM）、N（xN，yN），弦MN的中点为P（xP，yP）．
由得（3k2＋1）x2＋6mkx＋3（m2－1）＝0.
∵直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝（6mk）2－4（3k2＋1）×3（m2－1）>0⇒m2<3k2＋1.①
∴xP＝＝－.从而yP＝kxP＋m＝.∴kAP＝＝－.
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－＝－，即2m＝3k2＋1.②
把②代入①，得m2<2m，解得00，解得m>.综上，m的取值范围是（，2）．
学1解：
（1）设椭圆C：
＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件，知2b＝，＝，∴a＝1，b＝c＝.
∴椭圆C的标准方程为y2＋＝1.
（2）（i）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，∵＝3，此时若A（0,1），B（0，－1），
∴m－1＝3（－1－m），即m＝－；若A（0，－1），B（0,1），∴m＋1＝3（1－m），即m＝，∴m＝±满足题意．
（ii）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋m，k≠0（因为k＝0时明显不满足题意），与椭圆C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0，
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0，（*）
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＝3，∴－x1＝3x2，∴∴3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，即3（）2＋4×＝0.
整理，得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
当m2＝时，上式不成立；当m2≠时，k2＝.由（*），得k2>2m2－2，∵k≠0，∴k2＝>0.
∴－1综合（i）（ii），所求m的取值范围为（－1，－]∪[，1）．
例2[解]
（1）如图，设动圆圆心O1（x，y），由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x（x≠0）．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标（0,0）也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
（2）证明：
由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋（2bk－8）x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0.
由韦达定理得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，即y1（x2＋1）＋y2（x1＋1）＝0，
（kx1＋b）（x2＋1）＋（kx2＋b）（x1＋1）＝0，2kx1x2＋（b＋k）（x1＋x2）＋2b＝0，③
将①，②代入③得2kb2＋（k＋b）（8－2bk）＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k（x－1），
即直线l过定点（1,0）．
学2解：
（1）因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.
（2）设P（x0，y0），F1（－c,0），F2（c,0），其中
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