第一单元三角形.docx

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第一单元三角形

初中几何第二册

第三章第一单元三角形

一、教法建议

【抛砖引玉】

从课本引言的画图上可发现有几种不同类型的三角形，启发学生想一想在他（她）们周围还发现有其它类型的三角形吗？

从同学们熟悉的三角形实例中引入三角形的一些概念，然后指导同学们画三角形的角的平分线及三角形的中线．从画图实践中，指导学生总结出三角形角平分线及三角形中线定义，以及角之间的倍数关系，线段之间倍数关系．对画三角形高线时，重点指导钝角三角形的高线画法，反复示范练习．在画图中熟练画法并概述出定义．引导同学们在画图中发现，三角形三条角平分线，或三条中线，三条高时总交于一点．这个结论很正确，以后还要研究或证明这个发现，以激发学生求知欲．

在数学中让学生实际测量P7图3—6

（1）~（3）三个三角形边长，通过测量数据让他（她）们总结出不等边三角形，等腰三角形，等边三角形概念，等腰三角形的腰，底边，顶角，底角定义，然后把三角形按边分类，突出分类思想，对三角形三边关系定理及推论，可先举出一个具体三角形，边长已知，推出具体关系，对研究定理及推论便直观易懂，学生易于接受，然后通过例题用代数法求解过程中，进一步强化定理应用，不满足定理的解要舍去．

三角形的内角和的教学，一定要与同学们一块做好P10的实验，使同学们亲自得出“三角形三个内角和等于180°”．通过三个内角的拼合所留下的痕迹启示他们如何证明这个结论．要证明这个结论，可以延长一边BC得到一个平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠ACE=∠A，再证∠ECD=∠B即可，这样就找到并想到这样添出辅助线，并也知道什么是辅助线和为什么要添加辅助线，再结合例1的教学，用学得的三角形内角和定理指导实践，使理论与实践密切结合，迅速打开思路，本例也体现了以数助形．

通过三角形内角和定理的教学，引导学生按角把三角形分类，再一次突出分类思想，了解分类要做到“不重”和“不漏”，强调分类方法在今后的学习中要用到，让学生从三角形内角和定理直接总结出推论1，并指出这个推论有重要应用．对于三角形外角教学，一定结合P13图3—11讲清外角定义，并揭示外角的三个特征：

（1）顶点在三角形的一个顶点上；

（2）一条边是三角形的一边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线，再画几个图让学生辨析，进一步巩固外角概念，进而结合三角形内角和定理推出推论2，推论3，再通过例题教学，强化这两个推论的应用，进一步熟悉它．

【指点迷津】

本单元是学生学习推理入门的初级阶段，担负着培养学生逻辑推理任务，一定要过好这一关，增强学生学好几何必胜信心．对于钝角三角形高的画法比较难，通过画图应知道两条高在三角形外部，并垂直钝角边的延长线．对于三角形按边或按角分进行分类，是分类思想的具体体现．应指出分类的原则，一定要做到不重不漏，以便今后更好地应用，三角形内角和定理的研究一定要做好三个角的拼凑试验，从实践上升到理论，证明思路便可找到．对三角形外角概念结合图形，突出它的三个特征，便容易掌握了．在教学中要求学生多动手，多思考，多与图形实物联系，做好括号证明依据的填写，摸仿证明方法，格式书写，学会证明．

二、学海导航

【基础思维】

1．三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的．在三角形中，连结一个顶点和它的的线段叫做三角形的中线．从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，之间的线段叫三角形的高．

2．三角形的三条角平分线，三条中线都在三角形而三角形的高不同，锐角三角形的三条高在三角形，直角三角形中有两条高恰好为，钝角三角形有两条高在．

3．三边都不相等的三角形叫三角形；有两条边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，底角，

叫等边三角形．

4．三角形的分类（按边）：

不等边三角形

三角形─────

──────

等边三角形

5．三角形两边的和第三边，两边的差第三边．

6．三个角都是锐角的三角形叫，有一个角是叫直角三角形，

叫钝角三角形，两条直角边的直角三角形叫直角三角形，三角形的一边与另一边的组成的角叫三角形外角．

7．三角形的分类（按角）：

────

三角形────

斜三角形

────

8．三角形三个内角和等于，直角三角形的两个锐角；三角形的一个外角等于和它的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它的内角．

【学法指要】

例1．已知一个等腰三角形ABC的周长为10cm，且三边长都是整数，求三边长．

思路分析：

在△ABC中，设AB=AC，则

AB+AC+BC=10，即2AB+BC=10

∴AB=

　　　　　∵三边长都为整数，∴BC必为偶数

　　　　　∴BC只能取2，4，6，8

对应AB（AC）为4，3，2，1

　　　　　　　∵AB=AC=2，BC=6时，AB+AC＜BC

与定理三角形两边之和大于第三边矛盾

∴此时△ABC不存在

同理：

AB=AC=1，BC=8时，△ABC也不存在

故△ABC的三边长可能取值为：

4cm，4cm，2cm或3cm，3cm，4cm

本例在求解过程中，未告知哪两边相等，必须假设两边相等，将三个未知量转化为二个，得出一个不定方程，进而根据正整数性质分别得出四组解，然后再结合三角形三边关系定理，把不合题意两组解除去．解题过程中，将矛盾不断转化，分类进行求解，做到了不重不漏．

例2．完成下列证明

已知：

如图，P是△ABC内一点

求证：

∠BPC＞∠BAC

证明：

连结AP，并延长到D

∵∠BPD＞∠BAD（），

∠DPC＞∠DAC（），

∴∠BPD+∠DPC＞．

即∠BPC＞∠BAC

第一括号填写：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

第二括号填写：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；

……，填写：

∠BAD+∠DAC

例2又一证法：

延长BP交AC于D点

∵∠BPC＞∠BDC（），

∠BDC＞∠BAC（），

∴∠BPC＞．

第一、二两个括号与原证明填写依据相同，……，填写：

∠BAC

本例向同学要求填写证明的依据，规范的证明模式供同学模仿，步步推理有据，书写规范，使同学们学会证明．本例在求解过程中，用到了代数中不等式的性质，如又证明中知：

“若a＞b，b＞c，则a＞c”，即不等式的传递性．代数法证明几何题，尤其对本单元，涉及较多，望同学们有意识地应用数形结合法去解决问题，将会收到较好的效果．

例3．如图，△ABC的三条内角平分线相交于I，IG⊥BC于G，求证：

∠BID=

∠CIG

思路分析：

从题设及观察图形可知

∠CIG=90°－∠BCF（直角三角形两锐角互余）

=90°－

∠ACB（角平分线定义）

∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°（三角形内角和定理）∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC（移项）

∴∠CIG=90°－

（180°－∠ABC－∠BAC）（等量代换）

=90°－90°+

∠ABC+

∠BAC（去括号）

=

∠ABC+

∠BAC（合并同类项）

∵∠ABE=

∠ABC，∠BAD=

∠BAC（角平分线定义）

∴∠CIG=∠ABE+∠BAD（等量代换）

∵∠BID=∠ABE+∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠CIG=∠BID（等量代换）

本例从未知入手，结合图形及题设变换关系式，步步变换，推理有据，一步步向预定的目标推进，终于达到目的．这种思路是执果索因，沿着要什么，找什么的思路去求索，在求索的道路上，要观察图形，结合题设，联想定理，综合分析，有的放矢，求索道路愈来愈明朗化，趋近于要证的结论．这是我们求索几何思路十分有效的方法之一．同学们在今后学习与研究几何问题时，要有意识的这样求索，将会使你的数学素养不断提高，证题能力达到一个新的层次．

例4．已知：

△ABC的三边a、b、c满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2．求证：

△ABC为等边三角形．

思路分析：

欲证△ABC为等边三角形

即证：

a=b=c，转化为

a－b=0，b－c=0，c－a=0

a2－b2=0，b2－c2=0，c2－a2=0

（a2－b2）2=0，（b2－c2）2=0，（c2－a2）2=0

（a2－b2）2+（b2－c2）2+（c2－a2）2=0

a4－2a2b2+b4+b4－2b2c2+c4+c4－2c2a2+a4=0

2a4+2b4+2c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2以上每步可逆，于是问题得到圆满答案

又解思路分析：

∵a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2

∴a4+b4+c4－a2b2－b2c2－c2a2=0

2a4+2b4+2c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2=0

（a4－2a2b2+c4）+（b4－2b2c2+c4）+（c4－2c2a2+a4）=0

∴（a2－b2）2+（b2－c2）2+（c2－a2）2=0

∴（a2－b2）2=0，（b2－c2）2=0，（c2－a2）2=0

∴a2－b2=0，b2－c2=0，c2－a2=0

∴（a+b）（a－b）=0，（b+c）（b－c）2=0，（c+a）（c－a）=0

∵a、b、c为△ABC的三边

∴a+b≠0，b+c≠0，c+a≠0

∴a－b=0，b－c=0，c－a=0

∴a=b，b=c，c=a

∴a=b=c

∴△ABC是等边三角形

本例采取由结论推向已知，执果索因，此为分析法．用分析法达到目的，又应用从已知推向结论，执因索果，此为综合法．用综合法也很顺畅，分析法与综合法在解几何题中经常用到，有时两种方法配合使用．通常在入门阶段以综合法为主，找思路由分析法辅助，二者相辅相成，配合默契，要熟悉这两种证题方法，以便更好的应用．在几何证题过程中，代数法有时也起到关键作用，如本例，因题设告知我们的关系式容易引起我们联想配方法，应用乘法公式．按这条思路走下去，顺利求得结果．这是同学也能想到的，下面试举一例供你们练习．

已知：

a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca=0．求证：

△ABC为等边三角形．

【思维体操】

例1．AB与CD相交于点O，求证：

∠A+∠C=∠B+∠D

思路分析：

在△AOC中，

∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角定理）

在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和定理）

∴∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代换）

∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

∴∠A+∠C=∠B+∠D

这道几何题是一对对顶三角形组成的几何图形．因为我们发现了两个三角形，所以便联想到三角形内角和定理，探索思路，使问题解决了．可是这道题的应用价值很值得开发，它是一类几何题打开思路的“桥梁”，借助它可顺利到达“彼岸”，请看实例．

扩散一：

如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．

揭示思路：

从图形中观察出现对顶三角形，此时便使我们设法把5个分散的角转化在一个图形中，在这种想法趋使下，使我们想到对顶三角形这“桥梁”．

结合图形，连CD，立即可发现，∠B+∠E=∠1+∠2

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠ACD+∠ADC=180°（三角形内角和定理）

扩散二：

如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．

揭示思路：

观察图形，以AB，CE为边的对顶三角形．因而，连CE（或

连结AC），均可将五个角转化到一个三角形中，可求∠A+∠B+∠C+

∠D+∠E=180°

扩散三：

如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）

（A）270°（B）360°

（C）450°（D）540°

揭示思路：

本例连AE（或BF），便可把6个角转化到一个四边形中，因为一个四边形可分为两个三角形（连对角线），这样可知这六个角之和为360°，应选（B）．

扩散四：

如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G其和的度数是

揭示思路：

本例求其七个角的值，很难找到对顶三角形，此时可把图形上部的四边形连一条对角线分成两个三角形．再观察图形，可发现以BC，GE为边的对顶三角形，这时便给我们一个惊喜，这七个角分别集中在四边形ABCD与△GEF中，立即知其七角之和为540°

连结GE，BC

∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=（∠A+∠B+∠C+∠D）+（∠F+∠FGE+∠FEG）

=360°+180°=540°

扩散五：

如图，在△ABC的边CA，BA的延长线上分别取点D、E，连结DE，作∠E，∠C的平分线，交于点F，求证：

∠F=

（∠B+∠D）

揭示思路：

由题设知FC，FE分别是∠C，∠E的平分线，所以设∠BCF=∠ACF=α，∠AEF=∠DEF=β，观察图形可发现以DE，CF分别为边的对顶三角形及以EF，BC分别为边的对顶三角形，于是有

∠F+∠α=∠D+∠β

∠B+∠α=∠F+∠β

∴∠F－∠B=∠D－∠F

∴2∠F=∠B+∠D

∴∠F=

（∠B+∠D）

扩散六：

如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于P点．求证：

2∠P=∠A．

揭示思路：

因为BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，所以可设

∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠DCP=β．

观察图形可发现以AB，CP为边的对顶三角形，于是有α+∠A=∠P+β…

（1）

∵∠DCP=∠CBP+∠P（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

即β=α+∠P…

（2）

（2）代入

（1），得α+∠A=∠P+α+∠P

∴∠A=2∠P

从扩散一──扩散六所遇到的新问题都有一定的难度，而我们借助对顶三角形的特点作为“桥梁”，很顺利到达“彼岸”．对顶三角形这一基本图形隐含在复杂的几何图形中，我们必须善于挖掘出对顶三角形这一基本图形．如何挖掘，当然要善于观察并联想对顶三角形这一基本图形，便可从复杂图形中挖掘出来．如实在找不到，这时便可构造出与证题有利的对顶三角形．在具体求解过程中，要借助代数的优势，进行有关的化简与计算，使这一类问题化难为易．

三、智能显示

【心中有数】

本单元是学好全章的基础，这部分内容在实际中也有广泛的应用，又是几何证明的入门．因而，认真学好三角形边、角关系及推论，填好括号里的证明依据，掌握书写证明的格式，学会简单证明，模仿较难的证明的书写方法．慢慢学会证明方法，添加辅助线的方法及作用．

本单元学习分类思想十分重要，它在今后还有很多应用．在具体分类过程中，要做到“不重”和“不漏”，认真细致，做到重的排除，漏的找回，把分类方法掌握好．

本单元解决几何问题较多的用到一元一次方程，二元一次方程组等代数知识，用代数法处理几何问题，一定要遵循几何原理．按照几何原理列出代数式或方程（组）求解．这种数形结合的解题方法也是本单元学习的重要思维方法，要掌握它，并用它指导我们分析问题与解决问题．

【动脑动手】

1．已知△ABC中，AB=AC，且BD平分AC，若BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三边的长．

2．若自然数a、b、c为三角形的三边，且a≤b≤c，b=4，问这样的三角形有几个？

3．如图，已知在△ABC中，∠90°，AD，BD分别是两外角∠EAB，∠ABF的平分线且相交于D，求∠D的度数．

参考答案：

1．根据题意，本例可分两种情况．

如图

（1）和图

（2），设AB=AC=a，BC=b，则有

分别解两个方程组，得

故三角形三边的长为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．

2．由a≤b≤c，且b=4知a≤4，c≥4，又∵a、b、c都是自然数

∴a只可能取：

1，2，3，4

又∵c＜a+b，b=4，a≤4的最大值a=4，∴c＜4+4=8，∴最大只能取7

∴c只能取：

4，5，6，7

再依据a≤b≤c，b=4及三角形两边的和大于第三边，可是这样的三角形有10个，它们是1、4、4，2、4（4，5），3，4，（4，5，6），4，4，（4，5，6，7）

3．∵AD，BD为∠EAB，∠ABF的平分线

∴可设∠EAD=∠BAD=α，∠ABD=∠FBD=β

∴原方程可整理为：

（2）代入

（1）得135°+∠D=180°

∴∠D=180°－135°=45°

【创新园地】

如图所示，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F，∠G这七个角之和是多少度？

揭示思路1：

设∠APT=∠BPQ=α1，∠BQP=∠CQR=α2，…∠GTS=∠ATP=α7

又设∠TPQ为∠P，∠PQR为∠Q，…，∠STP为∠T，则有：

∠A+α1+α7=180°

∠B+α1+α2=180°

∠C+α2+α3=180°

…………

∠G+6+7=180°（三角形内角和定理）

∴∠A+∠B+…+∠G+2（α1+α2+…+α7）=180°×7

∴∠A+∠B+…+∠G=180°×7－2（α1+α2+…+α7）

∵∠P=180°－α1，∠Q=180°－α2，…，∠T=180°－α7

∴∠P+∠Q+…+∠T=180°×7－（α1+α2+…+α7）

∵七边形由一个顶点连对角线可将七边形分成五个三角形

∴∠P+∠Q+…+∠T=900°

∴α1+α2+…+α7=180°×7－（∠P+∠Q+…+∠T）=1260°－900°=360°

∴∠A+∠B+…+∠G=180°×7－360°×2=1260°－720°=540°

揭示思路2：

因为连四边形的一条对角线可分成两个三角形，所以可知四边形的内角和是360°．由此我们可知，在四边形CEGP和四边形QDFA中

∠C+∠E+∠G+∠GPC=360°

∠D+∠F+∠A+∠AQD=360°

∴∠A+∠C+∠D+∠E+∠F+∠GPC+∠AQD=720°

∵∠GBC=∠B+α，∠AQD=∠B+β（三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠GBC+∠AQD=∠B+（∠B+α+β）

∵∠B+α+β=180°（三角形内角和定理）

∴∠A+∠C+∠D+∠E+∠F+180°+∠B=720°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°

四、同步题库

一、填空题

1.如图1-1-13，AD是△ABC的角平分线，那么有∠

∠.

图1-1-13

2.如图1-1-14，已知AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线，那么有AC=2，

BD=，

.

3.如图1-1-15，已知BE∥CD，∠1=95°，∠2=28°，那么∠CAB=.

4.在△ABC中，AB=6，BC=11，那么

5.如图1-1-16，已知在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高，BD、CE交于H，图中

有个直角三角形，它们是.

图1-1-14图1-1-15图1-1-16

6.在上题中，如果∠DBC=32°，∠ECB=40°，那么∠DHC=，∠EHD，

∠BCD=.

7.如果等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是7cm，那么这种三角形有个，

它们的周长分别是.

8.已知在△ABC中，∠C+∠A=2∠B，∠C-∠A=80°，那么∠A=，∠B=.

9.BC是△ABC和△DBC的公共边，那么，BC

（AB+AC+DB+DC）（填“>”或

“<”）.

10.已知△ABC三边a=4.8，b=2a，b比c大2，那么△ABC的周长为.

二、选择题

1.三角形的角平分线是（）

（A）直线（B）线段（C）射线（D）垂线段

2.在锐角三角形中，任意两个锐有的和一定大于（）.

（A）90°（B）105°（C）120°（D）130°

3.在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么这个三角形是（）.

（A）Rt△（B）钝角△（C）锐角△（D）不能确定

4.如图1-1-17，在△ABC中，∠A=70°，BO、CO分别是∠B、∠C的平分线，那么∠BOC的度数为（）.

（A）55°（B）125°（C）110°（D）100°

图1-1-17

5.已知三角形三边长分别是4、1+2a、9，那么，实数a的取值范围是（）.

（A）3

6.一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是（）.

（A）5或7（B）7或9（C）9或11（D）11

7.下列说法中，正确的是（）.

（A）一个锐角△，一定不是等腰△

（B）一个等腰△，一定是锐角△

（C）一个直角△，一定不是等腰△

（D）一个等边△，一定不是钝角△

8.任意一个三角形的三个内角中，至少有（）.

（A）一个锐角（B）一个钝角

（C）两个锐角（D）一个直角

9.三角形的一个角等于其它两个角的差，那么这个三角形一定是（）.

（A）等腰三角形（B）锐角三角形

（C）直角三角形（D）钝角三角形

10.如图1-1-18，已知△ABC中，∠B和∠C的外角平分线交于M，那么，∠BMC=（）.

（A）

（90°-∠A）（B）90°-∠A

（C）

（180°-∠A）（D）180°-∠A

图1-1-118

三、解答、证明题

1.已知一个等腰三角形的周长是21cm，腰长是底边长的三倍.求各边的长.

2.如图1-1-19，已知在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于P点，∠A=70°，∠ABE=25°，∠ACD=38°.

求：

∠BEC和∠CPE的度数.

图1-1-19

3.如图1-1-20，已知在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC，AE为BC边上

的高.求∠DAE的度数.

4.如图1-1-21，已知在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB于D，

∠ADC的平分线DE交AC于E.

求证DE∥BC

5.如图1-1-22，已知在△ABC中，∠DAC=∠B.

求证：

∠ADC=∠BAC.

图1-1-20图1-1-21

图1-1-22图1-1-23

6．图1-1-23，已知CD是△ABC的∠C外角平分线，CD与BA的延长线交于D点.

求证：

∠BAC>∠B.

7．图1-1-24，DE⊥AB于E，∠A=40°，∠D=30°，求∠ACD的度数.

8．如图1-1-25，已知∠ABM和∠ACN是△ABC的两上外角，且∠ABM+∠ACN=3∠A.求∠A的度数.

9.如图1-1-26，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，∠D=30°.

求∠A的度数.

图1-1-24图1-1-25图1-1-26

10.如图1-1-27，已知在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于F点.

求证：

∠C+∠1+∠2+∠3=180°

11.如图1-1-28，已知在△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角的平分线交于E点.

求证：

∠E=

∠A

12.如图1-1-29，已知P为△ABC内任意一点.

求证：

∠BPC>∠A.

图1-1-27图1-1-28图1-1-29

参考答案

同步题库

一、填空题

A.∠DAC、∠BAC2.AC=2AE、BD=DC