（3）在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，对应点的坐标都有各自的变化规律：
平移变换是横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的距离；
轴对称变换，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
在旋转变换中，一个图形绕着原点旋转
，旋转前后两个图形上的对应点的横纵坐标都互为相反数；
位似变换中，当原点为位似中心时，变换前后两个图形上的对应点的横（或纵）坐标之比等于相似比
四、例题精析
【例题1】
【题干】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（2，1），C（0，1），以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为 ．
【答案】解：
∵B点坐标为（2，1），
而B为对应点为B1，且B1在OB的延长线上，
∴B1的坐标为（2×2，1×2），即B1（4，2）．
故答案为（4，2）．
【解析】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解．本题考查了位似变换：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
【例题2】
【题干】如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1:
6B．1:
5C．1:
4D．1:
2
【答案】C
【解析】∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴AC：
DF=OA：
OD=1：
2，
∴△ABC与△DEF的面积比是1：
4．
【例题3】
【题干】已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：
2，则点B的对应点的坐标为 ．
【答案】解：
∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：
2，
∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），
故答案为：
（1，2）或（﹣1，﹣2）．
【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【例题4】
【题干】下列说法中正确的是（ ）
A.位似图形一定是相似图形 B.相似图形一定是位似图形
C.两个位似图形一定在位似中心的同侧D.位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行
【答案】A
【解析】根据位似图形的定义可知：
A位似图形一定是相似图形，故A选项正确；
B相似图形不一定是位似图形，故B选项错误；
C两个位似图形可以在位似中心的同侧或异侧，故C选项错误；
D位似图形中每对对应点所在的直线必交于一点，故D选项错误．
故选A．
【例题5】
【题干】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
【答案】解：
如图所示：
△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，
点B的对应点B1的坐标是：
（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故答案为：
（4，2）或（﹣4，﹣2）．
【解析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案．
【例题6】
【题干】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的
，则AB：
DE= ．
【答案】解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：
△DEF面积=（
）2=
，
∴AB：
DE=2：
3，
故答案为：
2：
3．
【解析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：
△DEF面积=
，得到AB：
DE═2：
3．
【例题7】
【题干】如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：
2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ．
【答案】解：
∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∵位似比是1：
2，
∴相似比是1：
2，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：
1：
4，
∵△ABC的面积为3，
∴△A1B1C1的面积是：
3×4=12．
故答案为：
12．
【解析】由△ABC与△A1B1C1为位似图形，位似比是1：
2，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：
2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【例题8】
【题干】如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．
（1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；
（2）在同一方格纸中，并在
轴的右侧，将原小金鱼图案原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：
2，画出放大后小金鱼的图案．
【答案】
（1）如图所示：
（2）如图所示：
【解析】
（1）直接根据旋转作图的方法作图即可；
（2）根据位似作图的方法作图，，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大的图形．
【例题9】
【题干】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 ．
【答案】解：
设直线AC的解析式为：
y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴
，
解得：
，
∴直线AC的解析式为：
y=2x﹣8，
同理可得：
直线AB的解析式为：
y=
x﹣2，直线BC的解析式为：
y=﹣x+10，
∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
∴过这两点的直线为：
y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），
则B1C1∥BC，B1A1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y=
x+b，
∴﹣2+a=5，
+b=3，
解得：
a=7，b=
，
∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y=
x+
，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：
（3，4）；
②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），
则B1A1∥BC，B1C1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=
x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，
∴
×2+c=5，﹣1+d=3，
解得：
c=4，d=4，
∴直线B1C1的解析式为y=
x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：
（0，4）．
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
故答案为：
（3，4）或（0，4）．
【解析】首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5）与②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案．
【例题10】
【题干】如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 1：
2 ．
【答案】解：
∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：
OA：
OA′=10：
20=1：
2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：
OA：
OA′=1：
2．
故答案为：
1：
2．
【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案．
课程小结
1.知识结构及要点小结：
2.解题方法及技巧小结：
（1）位似图形是增加了条件的相似图形
（2）求两个位似图形的相似比，首先要确定好相似的顺序，然后确定相似比
（3）画一个图形的位似图形的方法不唯一，在具体的问题中，可以根据画图的需要选择适当的画图方法
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