五年级奥数周周练 第34周 置换问题 教师版答案.docx

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五年级奥数周周练第34周置换问题教师版答案

第34周置换问题

一、知识要点

置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。

解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应注意下面两点：

1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；

2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。

二、精讲精练

【例题1】20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。

求苹果和梨的单价。

【思路导航】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。

132÷（25＋30）＝2.4元，即每千克梨2.4元。

知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。

苹果的单价是：

（132－2.4×30）÷20＝3元。

练习1：

1.6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。

解法一：

假设都是鸡。

每只鸡的重量：

78÷（6＋5÷2×8）＝3（千克）

每只小羊的重量：

3×5÷2＝7.5（千克）

解法二：

假设都是羊。

每只小羊的重量：

78÷（2÷5×6＋8）＝7.5（千克）

每只鸡的重量：

7.5×2÷5＝3（千克）

答：

每只鸡的重量是3千克，每只小羊的重量是7.5千克。

2.商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。

老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？

解法一：

假设都是圆珠笔。

每支圆珠笔的价格：

72÷（15÷2×4＋6）＝2（元）

每支钢笔的价格：

2×15÷2＝15（元）

解法二：

假设都是钢笔。

每支钢笔的价格：

72÷（4＋2÷15×6）＝15（元）

每支圆珠笔的价格：

15×2÷15＝2（元）

答：

每支钢笔15元，每支圆珠笔2元。

3.用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。

求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货？

解法一：

假设都是大汽车。

每辆大汽车的载重量：

54÷（5＋2÷3×6）＝6（吨）

每辆小汽车的载重量：

6×2÷3＝4（吨）

每辆大汽车比每辆小汽车多装的重量：

6－4＝2（吨）

解法二：

假设都是小汽车。

每辆小汽车的载重量：

54÷（3÷2×5＋6）＝4（吨）

每辆大汽车的载重量：

4×3÷2＝6（吨）

每辆大汽车比每辆小汽车多装的重量：

6－4＝2（吨）

答：

每辆大汽车比每辆小汽车多装2吨货。

【例题2】用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

【思路导航】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5＝20小时的抽水量。

因此，312立方米的水就相当于小水泵（6＋20）小时的抽水量了。

小水泵每小时抽水是312÷（6＋20）＝12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2＝30立方米。

练习2：

1.学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。

已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？

解法一：

假设都是桌子。

每张桌子的价钱：

192÷（6＋6÷5×3）＝20（元）

每把椅子的价钱：

20×3÷5＝12（元）

解法二：

假设都是椅子。

每把椅子的价钱：

192÷（6÷3×5＋6）＝12（元）

每张桌子的价钱：

12×5÷3＝20（元）

答：

每张桌子20元，每把椅子12元。

2.快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。

已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。

解法一：

假设都是快车。

快车的速度：

864÷（12＋4÷7×6）＝56（千米/小时）

慢车的速度：

56×6÷7＝48（千米/小时）

解法二：

假设都是慢车。

慢车的速度：

864÷（12÷6×7＋4）＝48（千米/小时）

快车的速度：

48×7÷6＝56（千米/小时）

答：

快车的速度是56千米/小时，慢车的速度是48千米/小时。

3.师徒二人加工一批零件，师傅加工10小时，徒弟加工4小时，二人共加工了198个零件。

如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？

解法一：

假设都是师傅加工的。

师傅每小时加工零件数：

198÷（10＋4÷5×4）＝15（个）

徒弟每小时加工零件数：

15×4÷5＝12（个）

解法二：

假设都是徒弟加工的。

徒弟每小时加工零件数：

198÷（10÷4×5＋4）＝12（个）

师傅每小时加工零件数：

12×5÷4＝15（个）

答：

师傅平均每小时加工15个零件，徒弟平均每小时加工12个零件。

【例题3】一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。

那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？

【思路导航】把题中两组已知条件进行对比，甲少做（5－3）小时，乙就要多做（9－3）小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。

这件工作全部由甲做需要用5＋3÷3＝6小时，现在甲先做1小时，剩下5小时的工作量由乙来做，乙必须用5×3＝15小时才能完成。

练习3：

1.王老师去买笔奖给三好学生。

他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。

如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？

由题意可知，4支圆珠笔＋5支钢笔＝3支钢笔＋10支圆珠笔，所以2支钢笔＝6支圆珠笔，即1支钢笔＝3支圆珠笔。

（10－4）÷（5－3）＝3（支）

4＋（5－1）×3＝16（支）或（3－1）×3＋10＝16（支）

答：

如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买16支圆珠笔。

2.一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。

现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？

由题意可知，40袋大米＋40袋面粉＝10袋大米＋100袋面粉，所以30袋大米＝60袋面粉，即1袋大米＝2袋面粉。

（100－40）÷（40－10）＝2（袋）

（40－20）×2＋40＝80（袋）或[10＋100÷2－20]×2＝80（袋）

答：

最多还能载80袋面粉。

3.买2条床单和3条毛巾共用210元，买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。

买一条床单用多少钱？

买一条毛巾用多少钱？

由题意可知，5条床单和5条毛巾共210＋280＝490元，则1条床单和1条毛巾价钱是490÷5＝98元，2条床单和2条毛巾的价钱是98×2＝196元，所以一条毛巾的价钱等于2条床单和3条毛巾的价钱210元减去196元，是14元；同理求得一条床单价钱是280－196＝84元。

一条毛巾和一条床单的价钱：

（210＋280）÷5＝98（元）

一条毛巾的价钱：

210－98×2＝14（元）

一条床单的价钱：

280－98×2＝84（元）或98－14＝84（元）

答：

买一条床单用84元，买一条毛巾用14元。

【例题4】5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。

这两种玩具的单价各是多少元？

【思路导航】因为每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元，所以，3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3＝24元。

由于5辆玩具汽车与3架玩具飞机的价钱相等，因此，这24相当于（5－3）辆玩具汽车的价钱，每辆玩具汽车是24÷2＝12元，每架玩具飞机的价钱就是12＋8＝20元。

练习4：

1.2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。

两种笔的单价各是多少元？

由题意可知，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元，所以2支圆珠笔比2支钢笔便宜6×2＝12元，由于2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，因此，这12元相当于3－2＝1支圆珠笔的价钱，每支钢笔的价钱就是12＋6＝18元。

圆珠笔的单价：

6×2÷（3－2）＝12（元/支）

钢笔的单价：

12×3÷2＝18（元/支）或12＋6＝18（元/支）

答：

钢笔的单价是18元/支，圆珠笔的单价是12元/支。

2.师徒二人加工同样多的零件，师傅用了3小时，徒弟用了5小时。

已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。

二人各做了多少个零件？

由题意可知，师傅每小时比徒弟多做6个零件，所以师傅3小时比徒弟3小时多做6×3＝18个零件，由于师傅3小时和徒弟5小时加工同样多的零件，因此，这18个零件相当于徒弟5－3＝2小时做的零件，徒弟每小时做18÷2＝9个零件，师傅每小时做9＋6＝15个零件。

徒弟每小时做：

6×3÷（5－3）＝9（个）

师傅每小时做：

9×5÷3＝15（个）或9＋6＝15（个）

二人各做：

9×5＝45（个）或15×3＝45（个）

答：

二人各做了45个零件。

3.汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时。

已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多少千米？

返回时的速度：

12×3÷（4－3）＝36（千米/小时）

甲、乙两地的距离：

36×4＝144（千米）

答：

甲、乙两地相距144千米。

【例题5】一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。

那么，全做上衣能做多少件？

【思路导航】把两组条件进行比较，做（18－14）件上衣的布料可以做（15－9）条裤子，也就是2件上衣的布料和3条裤子的布料同样多。

9条裤子的布料可以做9÷3×2＝6件上衣，所以，一共能做18＋6＝24件上衣。

练习5：

1.一个笼子能容纳18只同样大的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。

如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？

由题意可知，18兔＋9鸡＝14兔＋15鸡，则4兔＝6鸡，即2兔＝3鸡。

18＋9÷3×2＝24（只）或14＋15÷3×2＝24（只）

答：

如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳24只这样的兔子。

2.小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。

结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？

由题意可知，8支笔＋4块橡皮＝6支笔＋12块橡皮，则2支笔＝8块橡皮，即1支笔＝4块橡皮。

（12－4）÷（8－6）＝4（块）

8＋4÷4＝9（支）或6＋12÷4＝9（支）

答：

他能买9支。

3.一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放5箱桔子。

这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？

全部装桔子的箱数：

12÷3×5＋25＝45（箱）

全部装苹果的箱数：

12＋25÷5×3＝27（箱）

全部装桔子比全部装苹果多装的箱数：

45－27＝18（箱）

答：

这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装18箱。