五年级奥数周周练 第34周 置换问题 教师版答案.docx
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五年级奥数周周练第34周置换问题教师版答案
第34周置换问题
一、知识要点
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量,从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点:
1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量,从而找出解题方法;
2.把两种数量假设为一种数量,从而找出解题方法。
二、精讲精练
【例题1】20千克苹果与30千克梨共计132元,2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
【思路导航】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等,那么,20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。
132÷(25+30)=2.4元,即每千克梨2.4元。
知道了梨的单价,再求苹果的单价就方便了。
苹果的单价是:
(132-2.4×30)÷20=3元。
练习1:
1.6只鸡和8只小羊共重78千克,已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量,求每只鸡和每只小羊的重量。
解法一:
假设都是鸡。
每只鸡的重量:
78÷(6+5÷2×8)=3(千克)
每只小羊的重量:
3×5÷2=7.5(千克)
解法二:
假设都是羊。
每只小羊的重量:
78÷(2÷5×6+8)=7.5(千克)
每只鸡的重量:
7.5×2÷5=3(千克)
答:
每只鸡的重量是3千克,每只小羊的重量是7.5千克。
2.商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔,已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔,共付72元,每支钢笔和每支圆珠笔各多少元?
解法一:
假设都是圆珠笔。
每支圆珠笔的价格:
72÷(15÷2×4+6)=2(元)
每支钢笔的价格:
2×15÷2=15(元)
解法二:
假设都是钢笔。
每支钢笔的价格:
72÷(4+2÷15×6)=15(元)
每支圆珠笔的价格:
15×2÷15=2(元)
答:
每支钢笔15元,每支圆珠笔2元。
3.用两种汽车运货,如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重,且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。
求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货?
解法一:
假设都是大汽车。
每辆大汽车的载重量:
54÷(5+2÷3×6)=6(吨)
每辆小汽车的载重量:
6×2÷3=4(吨)
每辆大汽车比每辆小汽车多装的重量:
6-4=2(吨)
解法二:
假设都是小汽车。
每辆小汽车的载重量:
54÷(3÷2×5+6)=4(吨)
每辆大汽车的载重量:
4×3÷2=6(吨)
每辆大汽车比每辆小汽车多装的重量:
6-4=2(吨)
答:
每辆大汽车比每辆小汽车多装2吨货。
【例题2】用2台水泵抽水,小水泵抽6小时,大水泵抽8小时,一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量,两种水泵每小时各抽水多少立方米?
【思路导航】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量,所以,大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。
因此,312立方米的水就相当于小水泵(6+20)小时的抽水量了。
小水泵每小时抽水是312÷(6+20)=12立方米,大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。
练习2:
1.学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等,每张桌子和每把椅子各多少元?
解法一:
假设都是桌子。
每张桌子的价钱:
192÷(6+6÷5×3)=20(元)
每把椅子的价钱:
20×3÷5=12(元)
解法二:
假设都是椅子。
每把椅子的价钱:
192÷(6÷3×5+6)=12(元)
每张桌子的价钱:
12×5÷3=20(元)
答:
每张桌子20元,每把椅子12元。
2.快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发,快车行12小时,慢车行4小时后,两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等,求快、慢两车的速度。
解法一:
假设都是快车。
快车的速度:
864÷(12+4÷7×6)=56(千米/小时)
慢车的速度:
56×6÷7=48(千米/小时)
解法二:
假设都是慢车。
慢车的速度:
864÷(12÷6×7+4)=48(千米/小时)
快车的速度:
48×7÷6=56(千米/小时)
答:
快车的速度是56千米/小时,慢车的速度是48千米/小时。
3.师徒二人加工一批零件,师傅加工10小时,徒弟加工4小时,二人共加工了198个零件。
如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等,那么,他们二人平均每小时各加工多少个零件?
解法一:
假设都是师傅加工的。
师傅每小时加工零件数:
198÷(10+4÷5×4)=15(个)
徒弟每小时加工零件数:
15×4÷5=12(个)
解法二:
假设都是徒弟加工的。
徒弟每小时加工零件数:
198÷(10÷4×5+4)=12(个)
师傅每小时加工零件数:
12×5÷4=15(个)
答:
师傅平均每小时加工15个零件,徒弟平均每小时加工12个零件。
【例题3】一件工作,甲做5小时以后由乙来做,3小时可以完成;乙做9小时以后由甲来做,也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成?
【思路导航】把题中两组已知条件进行对比,甲少做(5-3)小时,乙就要多做(9-3)小时,也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等,甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。
这件工作全部由甲做需要用5+3÷3=6小时,现在甲先做1小时,剩下5小时的工作量由乙来做,乙必须用5×3=15小时才能完成。
练习3:
1.王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔,或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔,剩下的钱可以买多少支圆珠笔?
由题意可知,4支圆珠笔+5支钢笔=3支钢笔+10支圆珠笔,所以2支钢笔=6支圆珠笔,即1支钢笔=3支圆珠笔。
(10-4)÷(5-3)=3(支)
4+(5-1)×3=16(支)或(3-1)×3+10=16(支)
答:
如果王老师买1支钢笔,剩下的钱可以买16支圆珠笔。
2.一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉,或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米,最多还能载多少袋面粉?
由题意可知,40袋大米+40袋面粉=10袋大米+100袋面粉,所以30袋大米=60袋面粉,即1袋大米=2袋面粉。
(100-40)÷(40-10)=2(袋)
(40-20)×2+40=80(袋)或[10+100÷2-20]×2=80(袋)
答:
最多还能载80袋面粉。
3.买2条床单和3条毛巾共用210元,买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。
买一条床单用多少钱?
买一条毛巾用多少钱?
由题意可知,5条床单和5条毛巾共210+280=490元,则1条床单和1条毛巾价钱是490÷5=98元,2条床单和2条毛巾的价钱是98×2=196元,所以一条毛巾的价钱等于2条床单和3条毛巾的价钱210元减去196元,是14元;同理求得一条床单价钱是280-196=84元。
一条毛巾和一条床单的价钱:
(210+280)÷5=98(元)
一条毛巾的价钱:
210-98×2=14(元)
一条床单的价钱:
280-98×2=84(元)或98-14=84(元)
答:
买一条床单用84元,买一条毛巾用14元。
【例题4】5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等,每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
这两种玩具的单价各是多少元?
【思路导航】因为每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元,所以,3架玩具飞机就比3辆玩具汽车贵8×3=24元。
由于5辆玩具汽车与3架玩具飞机的价钱相等,因此,这24相当于(5-3)辆玩具汽车的价钱,每辆玩具汽车是24÷2=12元,每架玩具飞机的价钱就是12+8=20元。
练习4:
1.2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等,一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。
两种笔的单价各是多少元?
由题意可知,一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元,所以2支圆珠笔比2支钢笔便宜6×2=12元,由于2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等,因此,这12元相当于3-2=1支圆珠笔的价钱,每支钢笔的价钱就是12+6=18元。
圆珠笔的单价:
6×2÷(3-2)=12(元/支)
钢笔的单价:
12×3÷2=18(元/支)或12+6=18(元/支)
答:
钢笔的单价是18元/支,圆珠笔的单价是12元/支。
2.师徒二人加工同样多的零件,师傅用了3小时,徒弟用了5小时。
已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。
二人各做了多少个零件?
由题意可知,师傅每小时比徒弟多做6个零件,所以师傅3小时比徒弟3小时多做6×3=18个零件,由于师傅3小时和徒弟5小时加工同样多的零件,因此,这18个零件相当于徒弟5-3=2小时做的零件,徒弟每小时做18÷2=9个零件,师傅每小时做9+6=15个零件。
徒弟每小时做:
6×3÷(5-3)=9(个)
师傅每小时做:
9×5÷3=15(个)或9+6=15(个)
二人各做:
9×5=45(个)或15×3=45(个)
答:
二人各做了45个零件。
3.汽车从甲地开往乙地,行完全程用了3小时,返回时用了4小时。
已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米,甲、乙两地相距多少千米?
返回时的速度:
12×3÷(4-3)=36(千米/小时)
甲、乙两地的距离:
36×4=144(千米)
答:
甲、乙两地相距144千米。
【例题5】一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子,或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。
那么,全做上衣能做多少件?
【思路导航】把两组条件进行比较,做(18-14)件上衣的布料可以做(15-9)条裤子,也就是2件上衣的布料和3条裤子的布料同样多。
9条裤子的布料可以做9÷3×2=6件上衣,所以,一共能做18+6=24件上衣。
练习5:
1.一个笼子能容纳18只同样大的兔子和9只同样大的鸡,或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。
如果这个笼子用了装兔子,一共能容纳多少只这样的兔子?
由题意可知,18兔+9鸡=14兔+15鸡,则4兔=6鸡,即2兔=3鸡。
18+9÷3×2=24(只)或14+15÷3×2=24(只)
答:
如果这个笼子用了装兔子,一共能容纳24只这样的兔子。
2.小明去买同一种笔和同一种橡皮,所带的儿能买8支笔和4块橡皮,或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔,请问他能买几支?
由题意可知,8支笔+4块橡皮=6支笔+12块橡皮,则2支笔=8块橡皮,即1支笔=4块橡皮。
(12-4)÷(8-6)=4(块)
8+4÷4=9(支)或6+12÷4=9(支)
答:
他能买9支。
3.一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子,搬下3箱苹果后,空下的地方正好能放5箱桔子。
这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱?
全部装桔子的箱数:
12÷3×5+25=45(箱)
全部装苹果的箱数:
12+25÷5×3=27(箱)
全部装桔子比全部装苹果多装的箱数:
45-27=18(箱)
答:
这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装18箱。