分组分解法1.docx
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分组分解法1
分组分解法1
【教学目标】
1、理解分组分解法的概念和意义
2、掌握分组分解法中使用“二二”和“一三”分组的不同题型的解题方法。
3、渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。
【教学重点】
1、掌握分组的规律和方法
2、综合运用提公因式法和公式法进行分解因式。
【教学难点】
综合运用各种方法法进行分解因式。
【教学过程】
复习引入
分解因式：
（1）
（2）
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法、公式法和十字相乘法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解，即采用分组分解法。
例1分解因式
（1）a2m-b2m＋a2n－b2n；
（2）
3+2
-2-
2
（3）
2-
2+a
+a
；
例2分解因式
（1）4
2-9a2-4
+
2
（2）
总结规律：
分组分解法通常有“二二”、“三一”两种分法：
（1）“二二”分法：
各组内可以提公因式或使用平方差公式，组间再分解时往往可以继续提取公因式。
（2）“三一”分法：
如果一个多项式中有三项是一个完全平方公式或者通过提取负号是一个完全平方公式，一般采用“三一”分组法进行因式分解。
随堂练习
1、用分组分解a2-b2-c2+2bc的因式，分组正确的是（）
2、把分解因式为（）
A、（2x-a+3）（2x-a-3）B、（2x-a+3）（2x+a-3）
C、（2x+a+3）（2x-a-3）D、（2x+a+3）（2x+a-3）
3、填空：
（1）ax+ay-bx-by=（ax+ay）-（）=（）（）
（2）x2-2y-4y2+x=（）+（）=（）（）
（3）4a2-b2-4c2+4bc=（）-（）=（）（）
4
、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
5、已知a、b、c是△ABC的三条边，求证：
代数式的值一定是负数。
分组分解法2
教学目标
1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；
2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.
教学重点和难点
重点：
在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.
难点：
灵活运用已学过的因式分解的各种方法.
教学过程设计
一、复习
把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.
（1）a2－ab+3b－3a；
（2）x2－6xy+9y2－1；
（3）am－an－m2+n2； （4）2ab－a2－b2+c2.
解
（1）a2－ab+3b－3a
=（a2－ab）－（3a－3b）
=a（a－b）－3（a－b）
=（a－b）（a－3）;
（2）x2－6xy+9y2－1
=（x－3y）2－1
=（x－3y+1）（x－3y－1）;
（3）am－an－m2+n2
=（am－an）－（m2－n2）
=a（m－n）－（m+n）（m－n）
=（m－n）（a－m－n）;
（4）2ab－a2－b2+c2
=c2－（a2+b2－2ab）
=c2－（a－b）2
=（c+a－b）（c－a+b）.
第
（1）题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.
第
（2）题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式
继续分解因式.
第（3）题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.
第（4）题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式
，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.
把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运
用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.
这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.
二、新课
例1把
分解因式.
问：
根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?
答：
这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.
解方法一
方法二
；
例2把
分解因式.
问：
观察这个多项式有什么特点?
是否可以直接运用分组法进行因式分解?
答：
这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.
解：
=
=
=
=
例3把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.
分析：
这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：
一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.
解 45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a（9m2－4x2+4xy－y2）
=5a[9m2－（4x2－4xy+y2）]
=5a[（3m2）－（2x－y）2]
=5a（3m+2x－y）（3m－2x+y）.
例4把2（a2－3mn）+a（4m－3n）分解因式.
分析：
如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.
解2（a2－3mn）+a（4m－3n）=2a2－6mn+4am－3an
=（2a2－3an）+（4am－6mn）
=a（2a－3n）+2m（2a－3n）
=（2a－3n）（a+2m）.
指出：
如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
（1）a2+2ab+b2－ac－bc；
（2）a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
（3）4a2+4a－4a2b+b+1； （4）ax2+16ay2－a－8axy；
（5）a（a2－a－1）+1； （6）ab（m2+n2）+mn（a2+b2）；
答案：
（1）（a+b）（a+b－c）；
（2）（a－b+m+m）（a－b－m－n）；
（3）（2a+1）（2a+1－2ab+b）； （4）a（x－4y+1）（x－4y－1）；
（5）（a－1）2（a+1）； （6）（bm+an）（am+bn）.
四、小结
1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项（或四项以上）的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.
2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和（或差）时（如例3），先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.
五、作业
1.把下列各式分解因式：
（1）x3y－xy3；
（2）a4b－ab4；
（3）4x2－y2+2x－y； （4）a4+a3+a+1；
（5）x4y+2x3y2－x2y-2xy2； （6）x3－8y3－x2－2xy－4y2；
（7）x2+x－（y2+y）； （8）ab（x2－y2）+xy（a2－b2）.
2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.
答案：
1.
（1）xy（x+y）（x－y）；
（2）ab（a－b）（a2+ab+b2）；
（3）（2x－y）（2x+y+1）； （4）（a+1）2（a2－a+1）；
（5）xy（x+2y）（x+1）（x－1）； （6）（x2+2xy+4y2）（x－2y－1）；
（7）（x－y）（x+y+1）； （8）（ax－by）（bx+ay）.
2.原式=2b（x－2y+2）（x－2y－2）当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.
课堂教学设计说明
1.突出“通法”的作用.
对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：
引导学生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使学生能举一反三，触类旁通.
2.加强各种方法的纵横联系.
把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例3，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.
3.打通相反的思维过程.
因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例4，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.
探究活动
系数为1的
型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式
怎么分解呢？
如：
1．
；2.
.
有兴趣的同学可以模仿
型式子的因式分解试着把上面两式分解因式,你能总结出规律吗?
答案:
1.
;2.
.
规律：
二次项系数不是1的二次三项式
分解因式时，若满足下列条件，则可将其分解为
：
可分解为
，
即
可分解为
，
即
，
，
，
满足
，即
按斜线十字交叉相乘的积之和
若与一次项系数
相等，则可分解因式，
第一个因式由第一行的两个数组成
第二个因式由第二行的两个数组成
分解结果为：
《分组分解法》例题精讲与同步练习3
【基础知识精讲】
1.分组分解法
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
例如：
把x2-y2+ax+ay分解因式.
此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，后两项分为一组，得到：
x2-y2+ax+ay=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a），最终达到分解因式的目的.
2.分组分解法的根据
分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.
注意：
1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.
2.有时，分组方法并不唯一.
3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组；若分组后公式法分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a2-b2+1，在分解时，
2ab-a2-b2+1=1-（a2-2ab+b2）=1-（a-b）2=（1+a-b）（1-a+b）
【重点难点分析】
1.重点难点分析
重点：
掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则：
分组后可继续分解.
难点：
是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调：
分组无固定的形式.
2.典型例题解析
例1分解因式2a3+a2-6a-3
分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2∶1，三、四两项的系数之比也是2∶1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.
解2a3+a2-6a-3
=（2a3+a2）-（6a+3）
=a2（2a+1）-3（2a+1）
=（2a+1）（a2-3）
例2分解因式4x2-4xy+y2-16z2
分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.
解4x2-4xy+y2-16z2
=（4x2-4xy+y2）-16z2
=（2x-y）2-（4z）2
=（2x-y+4z）（2x-y-4z）
例3分解因式ax-ay-x2+2xy-y2
分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式（x-y）可提.
解ax-ay-x2+2xy-y2
=（ax-ay）-（x2-2xy+y2）
=a（x-y）-（x-y）2
=（x-y）（a-x+y）
例4把（x2+y2-1）2-4x2y2分解因式
解（x2+y2-1）2-4x2y2
=（x2+y2-1）2-（2xy）2
=[（x2+y2-1）+2xy][（x2+y2-1）-2xy]
=[（x2+2xy+y2）-1][（x2-2xy+y2）-1]
=[（x+y）2-1][（x-y）2-1]
=（x+y+1）（x+y-1）（x-y+1）（x-y-1）
例5分解因式x（x-1）（x-2）-6
分析考虑去掉括号，重新分组.
解x（x-1）（x-2）-6
=x3-3x2+2x-6
=（x3-3x2）+（2x-6）
=x2（x-3）+2（x-3）
=（x-3）（x2+2）
【难题巧解点拨】
例6分解因式a4+4
分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a4+4中项添上一项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a2和-4a2,则原多项式就变为a4+4a2+4-4a2四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.
解a4+4
=a4+4a2+4-4a2（添拆项）
=（a4+4a2+4）-4a2（分组）
=（a2+2）2-（2a）2（完全平方公式）
=（a2+2a+2）（a2-2a+2）（平方差公式）
点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.
例7已知x2+10xy+25y2-1=0，化简x3+5x2y+x2.
分析由已知条件，通过因式分解，可得到（x+5y）的值.从而可以化简所求代数式.
解由x2+10xy+25y2-1=0可得
（x+5y）2-1=0即
（x+5y+1）（x+5y-1）=0
当x+5y+1=0时
x3+5x2y+x2=x2（x+5y+1）=0
当x+5y-1=0时，即x+5y=1
x3+5x2y+x2=x2（x+5y+1）=2x2
【命题趋势分析】
熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.
【典型热点考题】
例8把2x3+x2-6x-3分解因式.（沈阳中考题）
解2x3+x2-6x-3
=（2x3+x2）-（6x+3）
=x2（2x+1）-3（2x+1）
=（2x+1）（x2-3）
例9把abx2-aby2-a2xy+b2xy分解因式.（广州中考题）
解abx2-aby2-a2xy+b2xy
=（abx2-a2xy）+（b2xy-aby2）
=a（bx-ay）+by（bx-ay）
=（bx-ay）（ax+by）
点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组；也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.
例10把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a2+ab.（长春中考题）
解法一xy-ax+bx+ay-a2+ab
=（xy-ax+bx）+（ay-a2+ab）
=x（y-a+b）+a（y-a+b）
=（y-a+b）（x+a）
解法二xy-ax+bx+ay-a2+ab
=（xy+ay）-（ax+a2）+（bx+ab）
=y（x+a）-a（x+a）+b（x+a）
=（x+a）（y-a+b）
点评本题共有六项，解法一分为两组：
前三项为一组，后三项为一组；解法二分为三组：
一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.
【同步达纲练习】
一、填空题（4分×10=40分）
1.x2+2y-y2+2x=（x+y）（）.
2.因式分解x2+xy-3x-3y=.
3.因式分解1-a2+2ab-b2=.
4.因式分解x5+x4+x3+x2=.
5.分解因式ax-ay+a2+bx-by+ab=.
6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy=.
7.分解因式2x-2y+4xy-1=.
8.分解因式a4b-a2b3+a3b2-ab4=.
9.若a-b=2,a-c=4,则b2-2bc+c2+3（b-c）=.
10.分解因式a2-b2+4a+2b+3=.
二、分解因式（10分×6=60分）
11.ab+bc-cd-da12.x3-xyz+x2y-x2z
13.y2-x2+6x-914.x+2xy+y2-ax-ay
15.6x（m-n）-2m+2n16.4x2-4y2+4y-1
参考答案：
【同步达纲练习】
一、1.（x-y+2）2.（x+y）（x-3）3.（1+a-b）（1-a+b）4.x2（x+1）（x2+1）5.（a+b）（x-y+a）
6.（a-x）（b+2y-3c）7.（2y+1）（2x-1）8.（ab（a-b））（a+b）29.1010.（a+b+1）（a-b+3）
二、11.原式=（a+c）（b-d）12.原式=x（x+y）（x-z）13.原式=（y+x-3）（y-x+3）
14.原式=（x+y）（x+y-a）15.原式=2（m-n）（3x-1）16.原式=（2x+2y-1）（2x-2y+1）
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