学生5份第3讲 轴对称2.docx
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学生5份第3讲轴对称2
第3讲轴对称培优
一、主要考点:
考点1、线段的对称轴有条,是
考点2、线段垂直平分线上的点到
的
距离相等
∵
∴
考点
3、到距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵
∴
∵
∴
∴
例1:
如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.
(1)若AC=6,△ABD的周长是13,则△ABC的周长是_______;
(2)若△ABC的周长是30,△ABD的周长是25,则AC=_______.
例2:
如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D.
(1)若BC=8,则△ADE的周长是_______;
(2)若∠BAC=110°,那么∠EAD=______
(3)若∠EAD=100°,那么∠BAC=______
考点4、角的对称轴有条,是
考点5、角平分线上的点到的距离相等
∵
又∵
∴
考点6、角的内部到距离相等的点在角的平分线上
∵
又∵
∴
例3:
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC.
(1)若CD=5,则点D到AB的距离为.
(2)若BD:
DC=3:
2,点D到AB的距离为6,则BC的长是.
例4:
如图,OP平分∠AOB,PA
OA,PB
OB,垂足分别为A、B.
下列结论中,不一定成立的是()
A.PA=PBB.PO平分∠APB
C.OA=OBD.AB垂直平分OP
补充考点:
①三角形的三条边的垂直平分线的交点到的距离相等
②三角形的三条角平分线的交点到的距离相等
1.请你先在图的BC上找一点P,使点P到AB、AC的距离相等,再在射线AP上找一点Q,使QB=QC.
2.如图,求作点P,使点P同时满足:
1PA=PB;②到直线m,n的距离相等.
7、等边对等角
∵
∴
8、等角对等边
∵
∴
9、等腰三角形、
、
重合(三线合一)
(有条对称轴)
∵∵∵
又∵又∵又∵
∴∴∴
例5:
(1)等腰三角形的一边长为5,另一边长为11,则该等腰三角形的周长为
(2)等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为
(3)已知等腰三角形的一个外角为100°,则这个等腰三角形的顶角为__________.
(4)等腰△ABC中,若∠A=30°,则∠B=.
例6:
(1)如图①,在Rt△ABC中,若AB=AC,AD=AE,∠BAD=40°,则∠EDC=_______.
(2)如图②,∠ACB=90°,E、F为AB上的点,AE=AC,BC=BF,则∠ECF=_____.
(3)如图③,AB=AC=DC,且BD=AD,则∠B=_____.
例7:
如图,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,
交AB于点D,交AC于点E.试说明BD+EC=DE.
例8:
如图,已知AB=AC,AD=AE.求证:
BD=CE.
例9:
如左图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如右图,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
10、
(1)等边三角形的性质:
等边三角形的三条边,三个角都是,每条边上都有三线合一,有条对称轴
(2)等边三角形的3个判定方法:
三条边都的三角形是等边三角形
三个角都的三角形是等边三角形
有一个角是的三角形是等边三角形
例10:
(1)如图①,在等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE=____.
(2)如图②,正方形ABCD,△EAD为等边三角形,则∠EBC=_______.
(3)如图③,已知等边△ABC,AC=AD,且AC⊥AD,垂足为A,则∠BEC=_______.
1②③
例11:
如图,C为线段AE上一动点(点C不与点A、E重合),在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE相交于点O,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ.下列五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°,其中恒成立的有__________(填序号).
例12:
如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.
求证:
AE∥BC.
11、直角三角形斜边上的中线等于
∵
又∵∴
12、用等积法求直角三角形斜边上
SΔABC=
=
13、直角三角形中,30°的角所对的直角
边等于
∵
又∵
∴
例12:
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB的中线,且CD=4cm,则AB=_______.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则AC=_______.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,则AB边上的高CD=.
例13:
如图,在△ABC中,BD、CE是高,G、F分别是BC、DE的中点,
连接GF,求证:
GF⊥DE.
例14:
如图,已知:
三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,
D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,
求证:
△DEF为等腰直角三角形.
课后检测:
1.如图,在△ABC中,BC=8cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,求△PDE的周长.
2.如图,在边长为2等边△ABC中,AD是BC边上的中线,E、F是AD的三等分点,则图中阴影部分的面积是__________cm2.
3.如图,在△ABC中,CD与C,分别是△ABC的内角、外角平分线,DF//BC交AC于点E.试说明
(1)△DCF为直角三角形;
(2)DE=EF.
4.如图,△ABC是等腰三角形,∠B=∠C,AD是底边BC上的高,DE∥AB交AC于点E.试找出图中除△ABC外的等腰三角形,并说明你的理由.
5.如图,AD是△ABC的角平分线,点E在AB上,且AE=AC,EF∥BC交AC于点F.求证:
EC平分∠DEF.
6.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=DC.BE与DF相等吗?
请说明理由.
7.如图,C为线段AB上任意一点(不与A、B重合),在AB的同侧分别作
△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD与∠BCE都是锐角,且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接PC.
试说明:
(1)△ACE≌△DCB.
(2)PC平分∠APB.
8.如图,等边△ABC中,D是AC的中点,延长BC到点E,使CE=CD,AB=10cm.
(l)求BE的长;
(2)试说明BD=ED。
9.画图、证明:
如图,∠AOB=90°,点C、D分别在OA、OB上.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):
作∠AOB的平分线OP;作线段CD的垂直平分线EF,分别与CD、OP相交于E、F;连接OE、CF、DF.
(2)在所画图中,
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系,并说明理由.
②求证:
△CDF为等腰直角三角形
10.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
11.如图,设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上.从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第一根小棒,且A1A2=AA1.
(1)小棒能无限摆下去吗?
答:
.(填“能”或“不能”)
(2)若已经摆放了3根小棒,则θ1=___________,θ2=__________,θ3=__________;(用含θ的式子表示)
(3)若只能摆放4根小棒,求θ的范围.
12.如图1,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1)求证:
△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,则求出它的度数.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CD,BD=CF.
(1)试说明DE=DF.
(2)若∠A=40°,求∠EDF的度数.
14.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC为 _______.
15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于
16.如图,P为∠AOB的平分线OC上任意一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,连接MN交OP于点D.则①PM=PN;②MO=NO;③OP⊥MN;④MD=ND.其中正确的有
(第14题)(第15题)(第16题)
17.如图所示,等边三角形ABC的边长是6,点P在边AB上,点Q在BC的延长线上,且AP=CQ,设PQ与AC相交于点D.
(1)当∠DQC=30°时,求AP的长.
(2)作PE⊥AC于E,求证:
DE=AE+CD.
18.如图,在△ABC中,已知BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线DE交AC于点D.
(1)求∠A的度数;
(2)若AC=6cm,求AD的长度.