椭圆高考真题含详解.docx

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2012年椭圆高考真题

1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）

【解析】∵△是底角为的等腰三角形，

∴，，∴=，∴，∴=，故选C.

2.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为

（A）（B）（C）（D）

【解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。

故选答案C

3.【2012高考浙江文8】如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。

若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3B.2C.D.

【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，，.

4.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答案选择B.

5.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。

若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为

A.B.C.D.

【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：

，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.

6.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

[解析]根据椭圆定义知：

4a=12,得a=3,又

7.【2012高考天津19】（本小题满分14分）

已知椭圆,点P在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。

【解析】（Ⅰ）点在椭圆上

（Ⅱ）设；则

直线的斜率

8.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，

且直线与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：

是定值．

【答案】解：

（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

，∴。

由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。

（2）由

（1）得，，又∵∥，

∴设、的方程分别为，。

∴。

∴。

①

同理，。

②

（i）由①②得，。

解得=2。

∵注意到，∴。

∴直线的斜率为。

（ii）证明：

∵∥，∴，即。

∴。

由点在椭圆上知，，∴。

同理。

。

∴

由①②得，，，

∴。

∴是定值。

【解析】

（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。

（2）根据已知条件，用待定系数法求解。

9.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

如图，分别是椭圆：

+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）已知△的面积为40，求a,b的值.

【解析】（I）

（Ⅱ）设；则

在中，

面积

10.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：

（）的左焦点为，且点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线同时与椭圆和抛物线：

相切，求直线的方程.

【解析】

（1）因为椭圆的左焦点为，所以，

点代入椭圆，得，即，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，

，消去并整理得，

因为直线与椭圆相切，所以，

整理得①

，消去并整理得。

因为直线与抛物线相切，所以，

整理得②

综合①②，解得或。

所以直线的方程为或。

11.【2102高考北京文19】（本小题共14分）

已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交与不同的两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值

【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：

（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.

（2）由得.

设点M,N的坐标分别为，，则，，，.

所以|MN|===.

由因为点A（2,0）到直线的距离，

所以△AMN的面积为.由，解得.

12.【2012高考山东文21】（本小题满分13分）

如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.

（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆M有两个不同的

交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.

【答案】（I）……①矩形ABCD面积为8，即……②

由①②解得：

，∴椭圆M的标准方程是.

（II），设，则，

由得..

当过点时，，当过点时，.

①当时，有，

，

其中，由此知当，即时，取得最大值.

②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.

③当时，，，

由此知，当时，取得最大值.

综上可知，当和0时，取得最大值.

13.【2012高考辽宁文20】（本小题满分12分）

如图，动圆,1

与椭圆：

相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。

（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？

并求出其最大面积；

（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。

【解析】（Ⅰ）设A（，），则矩形ABCD的面积S=，

由得，，∴==，

当，时，=6，∴=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.

（Ⅱ）设，又知，则

直线的方程为①

直线的方程为②

由①②得③

由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得

∴直线与直线交点M的轨迹方程为

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。

14.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求△的面积

【答案】：

（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

，

（*）

设则是上面方程的两根，因此

又，

所以

由，知，即，解得

当时，方程（*）化为：

故，

的面积当时，同理可得（或由对称性可得）的面积综上所述，的面积为。

15.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）

已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。

【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，

其离心率为，故，则．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）解法一：

两点的坐标分别为，

由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为．

将代入中，得，所以，

将代入中，得，所以，

又由，得，即．

解得，故直线的方程为或．

解法二：

两点的坐标分别为，

由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为．

将代入中，得，所以，

又由，得，，

将代入中，得，即，

解得，故直线的方程为或