图连通的概念.docx
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图连通的概念
三、连通性
3.1连通性和Whitmey定理
定义V’真包含于V(G),G[V(G)-V’]不连通,而G是连通图,则称V’是G的顶剖分集。
最小顶剖分集中顶的个数,记成κ(G),叫做G的连通度;规定κ(Kv)=υ-1;κ(不连通图)=κ(平凡图)=0。
由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。
没有割顶的图叫做块,G中的成块的极大子图叫做G的块。
定义E’包含于E(G),G为连通图,而G-E’(从G中删除E’中的边)不连通,则称E’为G的边剖分集,若G中已无边剖分集E″,使得|E″|<|E’|,则称|E’|为G的边连通度,记成κ’(G)。
|E’|=1时,E’中的边叫做桥。
规定κ’(不连通图)=0,κ’(Kv)=υ-1。
定义κ(G)>=k时,G叫做k连通图;κ’(G)>=k时,G称为k边连通图。
k连通图,当k>1时,也是k-1连通图。
k边连通图,当k>1时,也是k-1边连通图。
上面就是顶连通与边连通的概念,好象不指明的就是指顶连通了。
定理1κ(G)=<κ’(G)=<δ(可以复习一下第一章的1.2:
δ=min{d(vi)})
证:
设d(v)=δ,则删除与v边关联的δ条边后,G变不连通图,所以这δ条边形成一个边剖分集,故最小边剖分集边数不超过δ,即κ’(G)=<δ。
下证κ=<κ’。
分情形讨论之。
若G中无桥,则有κ’>=2条边,移去它们之后,G变成不连通图。
于是删除这κ’条中的κ’-1条后,G变成有桥的图。
设此桥为e=uv,我们对于上述κ’-1条删去的每条边上,选取一个端点,删除这些(不超过κ’-1个)端点,若G变得不边能,则κ=<κ’-1;若仍连通,则再删去u或v,即可使G变得不连通,于是κ=<κ’。
证毕。
这个定理很好理解,图论中的一些定理常以这种“友好”的面目出现。
下面就是Whitmey定理
定理2(Whitney,1932)υ>=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。
证:
若任二顶共圈,任删除一个顶w后,得图G-w。
任取两顶u,v∈V(G-w),u,v在G中共存于圈C上,若w不在C上,则G-w中仍有圈C,即u与v在G-w中仍连通;若w在G中时在C上,在G-w中u与v在轨C-w上,故u与v仍连通。
由u与v之任意性,G-w是连通图,故κ(G)>=2,即G是2连通图。
反之,若G是2连通图,υ>=3,任取u,v∈V(G),用对d(u,v)的归纳法证明u与v之间有两条无公共内顶的轨
当d(u,v)=1是时,因κ=<κ’=<δ,故κ’>=2,uv边不是桥,G-uv仍连通,于是G-uv中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v)与边uv。
假设d(u,v)=2),结论已成立,考虑d(u,v)=k的情形。
令P0(u,v)之长为k,w是P0(u,v)上与v相邻的顶,则d(u,w)=k-1,由归纳法假设,在u,w之间有两条无公共内顶P与Q,因G是2连通较长,故G-w仍连通。
在G-w中存在轨P’(u,v)<>P0(u,v),令x是P∪Q上P’的最后一个顶。
因u∈P∪Q,故x存在(可能x=u)。
不妨设x∈V(P),则G有两个u,v之间无公共内顶的轨:
一个是P上从u到x段并在P’上从x到v段;一个是Q+wv。
证毕。
图论的定理证明,没有其他数学的那么多推导,那么多的公式,符号也是有限的几个,看多了就明白了。
概念清晰还是很重要,很多东西是概念性的。
还有就是构造了,照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。
就是打字时中英文切换麻烦。
3.2割顶、桥、块
割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。
本节给出三个定理来阐述这三个概念,好象少了点,不过这本书的东西有些地方很语焉不详的,而且有些东西到处穿插,并且有很强的理论性,很少涉及实践中的问题。
看起来比较的累人。
定理3v是连通图的一个顶点,则下可述命题等价:
(1) v是割顶
(2) 存在与v不同的两个顶u,w,使得v在每一条由u到w的轨上
(3) 存在V-{v}的一个划分V-{v}=U∪W,U∩W=φ,使得对任意的u∈U,w∈W,v在每一条由u到w的轨上。
定理4x是G的一边,G是连通图,则下述命题等价:
(1) x是G的桥。
(2) x不在G的任一圈上。
(3) 存在顶u,v∈V(G),使得x在每一个从u到v的轨上。
(4) 存在V(G)的划分U与W,使得任二顶u,w,u∈U,w∈W时,x在每条从u到v的轨上。
上面的都没什么可证的,就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了。
定理5G连通,υ>=3,则下列命题等价:
(1)G是块。
(2) G的任二顶共圈。
(3) G的任一顶与任一边共圈
(4) G的任二边共圈
(5) 任给G的二顶及一边,存在连接此二顶含此边之轨
(6) 对G的三个不同的顶,存在一轨,连接其中两个顶,含第三个顶
(7) 对G的三个不同的顶,存在一轨,连接其中两个顶,不含第三个顶。
(本也没什么可证的了,但就这样结束了也太快了,这个证一下)
证:
(1)>>
(2),
(2)>>
(1)见定理2
(2)>>(3)只考虑u为G的任给一个顶,vu是G中任给定的一条边,且u<>v,u<>w的情形。
设C是含u与v的圈,若w在C上,则C上含u的轨P(v,w)与边vw形成一个圈,它含u及边vw。
若w不在C上,因v不是割顶,由定理3,存在不含v的轨P(w,u)。
令u’是P(w,u)与C从w沿P(w,u)看来的第一个公共顶,则由边vw,P(w,u)上w到u’段,以及C上含u的轨P’(u’,v)并成一个圈,此圈满足(3)的要求。
(3)>>(4)与
(2)>>(3)类似证明。
(4)>>(5)已知任二边共圈,设u,v是G上任给定的两个顶,x是任给定的一条边,只考虑x与u,v皆不相关联的情形。
由任二边共圈显然有任二顶共圈,于是由于
(2)>>(3)知u与x共圈,设此圈C1;同理v与x共圈,设此圈是C2;若v∈C1或u∈C2,则(5)成立;若u不属于C2,且v不属于C1,则如下构作含x之轨P(u,v):
从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。
(5)>>(6)设u,v,w是G的三个顶,且与w相关联的一条边是x,由(5)存在轨P(u,v),x在P(u,v)上,于是w在P(u,v)上。
(6)>>(7)u,v,w∈V(G),由(6),存在轨P(u,w),P(u,w)含顶v,则P(u,w)的从u到v的一段不含w。
(7)>>
(1)由(7),对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶,它在从u到v的每一轨上,由定理3,G无割顶,故G是块。
证毕。
讲了这么多,下节才涉及到实践中的问题。
下节讲可靠通讯网的构作。
不过下节又是本章的最后一节了。
3.3可靠通讯网的构作
我们要构作一个有线通讯网,使得敌人炸坏我几通讯站后,其余的通讯站仍然可彼此通话。
显然,有两个要求是必要的:
一是不怕被敌人炸坏站的数目要多,一是整个造价要小。
这个实际问题的数学艺术模型如下:
G是加权连通图,k是给定的自然数,求G的有最小权的k连通生成子图。
当k=1时,它就是用Kruskal算法求得的生成树;当k>1时,是尚未解决的难解问题之一。
哦,原来k>1时是没解决的难题,自己以前也想过这方面的东西,只是想了半天也想不出个所以然,原来是个大难题呀。
当G=Kυ,每边权皆为1时,Harary于1962年解决了这一问题。
下面介绍Harary的工作。
令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值,m由Σd(v)=2e,κ=<κ’=<δ,
f(m,n)>={mn/2}
Harary实际上构作出一个n顶的m连通图,它的边数恰为{mn/2}条,且f(m,n)={mn/2}。
此图记成H(m,n)。
(1) m是偶数,m=2r。
H(2r,n)以{0,1,2,…,n-1}为顶集合。
当i-r=(2) m是奇数,m=2r+1,n是奇数。
先构作H(2r,n),然后对1=
(3) m是奇数,m=2r+1,n是奇数。
先构作H(2r,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与(n+1)/2之间加上边,在顶i与i+(n+1)/2间加上边,其中1=
无法把图画上来,H(6,8)、H(5,8)、H(5,9)看一下图就明白这个构作的方法了。
下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。
定理6H(m,n)是m连通图,且边数最少
证:
m=2r时,我们来证明H(2r,n),设有少于2r个顶组成的顶剖分集。
若V'是一个顶剖分集,且|V'|<2r,又设i与j两个顶分别属于H(2r,n)-V'的不同连通片,令S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i},
其中加法在modn下执行。
因为|V'|<2r,不失一般性,设|V'∩S|但这样的序列中相邻顶之间由
(1)知存在边,即在H(2r,n)-V'中有轨P(i,j),与i,j分居于H(2r,n)-V'的两年连通片中相矛盾,故H(2r,n)是2r连通的。
相似地可以证明m=2r+1时,H(2r+1,n)是2r+1连通的。
由于
f(m,n)>={mn/2},ε(H(m,n))={mn/2},
而H(m,n)是n顶m连通图,故有
f(m,n)=<{mn/2},
从而得
ε(H(m,n))=f(m,n)={mn/2}。
证毕。
由于κ=<κ',故H(m,n)也是m连通图,若用g(m,n)表示n个顶m边连通图中最少边数,则对1
就这样第三章也结束了,理论讲了一大堆
一、通论
1.1图论的内容与历史回顾
一上来总要先回顾一下历史,让人了解一下这个学科的来龙去脉,见怪不怪了。
柯尼斯堡七桥问题这个实在是太有名了,图论从这开始的,从很久以前就知道了。
欧拉这个人真的是厉害,在数学的各个领域都留有他的足迹。
噢,从欧拉之后停滞了好长一段时间(再次可见欧拉的水平,对他是佩服得五体投地呀,不服不行),直到二百年后,1936年匈牙利的Konig(书上的名字打不上来呀,字母怪怪的,随便用其他字母替了)发表了《有限图与无限图理论》这第一本图论的专著,图论才获得了长足的发展,成长了数学中的一门独立的学科。
下面讲了图论的各种应用,在各个学科中的作用,不一而足呀。
又提到了四色定理,这么有名的东东,当年也是三大猜想呀。
这个还是靠机器证出来的。
后面出了个以前没听到过的名词----妖怪图(Snarkgraph),看它的定义有点晕乎乎的先记在这,后面还要讲到:
何为妖怪,指这种性质的图很难设计出来,它是无桥三次正则图,每个顶点处关联了三条边;它的围长不小于5,它的边色数是4,删除三条边不会使它破裂成两个有边图。
(书上说是封面上那幅漂亮的图,可我下载的电子书没有封面呀,不知这个妖怪迷到何程度呀)。
MD,第一课就讲了好多难题,差点不想往下看了,什么Ulam猜想,货郞问题,Ramsey问题,真有点让人望而却步。
最后摘段书上的话,“从许多实例中,我们发现图论最吸引人的特色是它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙的论证、即使是非常困难的尚未解决的问题也易于表达。
现实生活中也处处潜藏有图论的难题,图论是最接近群众生活,最容易向科学水准很低的人阐述的一门学科。
问题外表的简单朴素和本质上的难以解决,使每个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问题。
常常是貌似简单的问题,即使幸运地得出证明,证明中包含的细节也十分之繁琐,并且往往运用了极艰苦的计算。
”后面越往后看,越觉得上述的话说的有理,十分之有理(无理的话书上也不会堂而皇之的放那么久)。
回顾结束,下次正式进入正题。
1.2图的定义
这节没什么好说的,学过图论的人应该都知道这些东西吧。
只是有些符号要注意一下,这好象是约定成俗的,不注意的话下面的一些东西会看不顺溜。
图G,顶点集合V(G),边集合E(G),顶点一般就用u、v了,边一般用e,顶点数|V(G)|=υ,边的数目|E(G)|=ε。
本书只讨论有限图,无限图应该是很不同的东东了,咱以前学初等数学不太考虑无限的时候是一番天地,到后来一考虑无限,多了个无穷这个符号(就是8横过来的那个符号)又是另一番一天地了。
看来这无限图也不是很好惹的。
书上说不讲了,那我也不讲了,讲不出来。
下面是术语:
(1) 边的端点:
e=uv,u、v就叫边e的端点
(2) 边与顶相关联:
e=uv,就叫e与u、v相关联
(3) 邻顶、邻边:
同一边联在一起的就是邻顶了,同一顶连在一起的就是邻边了
(4) 环、重边:
这很好理解。
回去又回来就是环,两顶间拉了一条又一条就是重边。
(5) 平凡图:
只有一顶(点)外什么也没有,光杆司令一个
(6) 单图:
无环无重边的图
(7) 完全图:
任二顶皆相邻的图,记为Kυ这个以后常会用到
(8) 二分图:
图的顶点可分为两个不相交的集合X与Y,这两个集合内的任二顶之间都不相邻,若X中每一顶毕竟与Y中一切顶相邻则叫完全二分图,记为Km,n其中|X|=m,|Y|=n这个也是后面常会提到的
(9) 顶点v的次数:
记为d(v),定义d(v)=d1(v)+2l(v)。
其中d1(v)是与v相关联的非环边数,l(v)是与v相关联的环数(一个环对顶的次数是要算两次的)。
书上都把图上的点说顶的,刚开始看书不是从头开始看的,顶呀顶的有点不习惯,上面这些术语会在后面重复的出现。
看来要好好的记住。
出现了全书的第一个定理,应该是最古老的图论定理了,就是欧拉给出的。
定理1Σd(v)=2e如果明白它的符号的意义的话这很好理解,因为每一条边都会连有两个顶(即使是环的话也是算两次的)。
所以所有顶的次数的和恰好是边的数目的2倍。
推论1奇次顶的总数是偶数因为所有顶的次数之各是偶数,所以不可能有奇数个奇次顶。
后面是上面的定理与推论的应用:
晚会上大家握手言欢,试证握过奇次手的人数是偶数。
空间中不可能有这样的多面体存在,它们有奇数个面,而每个面又有奇数条边。
碳氢化合物中氢原子个数是偶数。
上面的命题不是很难,不用图论瞎想想也能想出来,不过数学就是数学,这种东西上升到理论高度就不可同日而语了。
就象七桥问题一样,道理很浅显,但由此发展出来的东西就天差地别了。
下面有一个跟妖怪有关的定义:
k次正则图----d(v)≡k的图,妖怪的k等于3
又有两个符号:
δ=min{d(vi)}Δ=max{d(vi)}
最后是两图同构的定义。
定义比较的拗口,又是映射,又是当且仅当,而且有很多符号,把它打上来没意思。
意思就是“对应顶夹对应边”,不管它顶怎么放,七扭八扭的迷惑人,到处乱跑也没关系,反正只要边连联对,就逃不掉,就是同构的。
我是这样理解的。
G、H两图同构记为G≌H
这一节就到这里结束了,到目前为止还没有很棘手的东西,下一节是轨道与连通。
会给出一个图G是二分图的充要条件。
1.3轨道与连通
本节只讨论无向单图。
定义W=v0e1v1e2v2…ekvk为图G的一条道路。
v0为起点,vk为终点,k为路长,vi(1≤i≤k-1)叫道路的内点。
各边相异的道路叫行迹,顶点各异的道路叫轨道:
记为P(v0,vk)
起点终点重合的道路叫回路,起点终点重合的轨道叫圈,长k的圈叫k阶圈。
u,v两顶的距离是指u,v间最短轨道长度,记为d(u,v).
若u,v两顶间存在道路则称u与v相连通。
图G中任二顶皆连通时则称G为连通图。
复习一下,完全图是任二顶皆相邻,可比这个要强多的图喽。
打得好累呀,这些定义都简单得很,可不熟悉这些东西,看后面的东西更累,刚开始看书时从中间开始看的,看得很莫名呀----基本概念还是要搞懂。
下面是子图的概念,H是G的子图就是H的边与顶的集合都是G的边顶集合的子集的意思,很好理解,不打那种符号直接讲省事。
若H是G的子图,且H与G不同构,则称H是G的真子图,跟真子集一样的,也是用一样的符号表示的。
若H是G的子图,且两者的顶点集相同,则称H是G的生成子图
若H是G的子图,且V(H)=V’,E(H)是由E(G)中两端皆在V’中的边构成的子集,则称H为由V’导出的G之子图,记为H=G[V’]
若V(G)是Vi(i=1,2,…,ω)的合集,又当且仅当两个顶同属一个子集Vi时,此二顶连通,则称G[Vi]为G的连通片。
由此可知G连通图当且仅当ω=1
讲个例子,2n个电话交换台,第个台与至少n个台有直通线路,则其中任两台之间可以通话。
把这些台视为图的顶,当两个台有直通线路时,两个顶是相邻的。
所以问题就是有个2n个顶的图,每顶次娄至少为n,则图是连通的。
若G不连通,则至少有一个连通片,其顶点数目至多是n,在此片中,顶的次数最大是n-1,与原图至少为n相违。
还有如例:
图中只有两个奇次顶,则它们必连通。
这个结合推论1很容易证。
定理2G为二分图的充要条件是G中无奇圈
证不妨考虑连通图。
先证充分性,若G中有一个圈C=v0v1v2…vkv0,不妨设v0属于X,于是v0v2v4…v0属于X,v1v3…vk属于Y,可见k是奇数,圈C长k+1,是偶圈。
(二分图的所有的圈的这个k肯定是奇数,否则构造不出符合二分图条件的X,Y集合)
下面证G中无奇圈,则G是二分图。
令X={w|w<-V(G),d(v1,w)=oven},Y={w|w<-V(G),d(v1,w)=odd}(符号<-表示属于,那个集合上的属于符号太难找了用这个代替)
其中v1是G的任一顶点,对任意的u,v属于X,设P1(v1,u)是从v1到u的最短轨,P2(v1,v)是v1到v的最短轨。
设u1是P1与P2上的最后一个公共顶点,因P1(v1,u),P2(v1,v)最短,故P1上的一段P11(v1,u1)与P2上的一段P21(v1,u1)等长且最短。
因P1与P2之长为偶数(oven),从面P1上的一段P12(u1,u),与P2上的一段P22(u1,v)有相同的奇偶性。
如果u与v相邻,那么P12、P22与uv刚好会围成一个奇圈(这个构造太妙了)。
而图中是不能有奇圈的,所以u、v不会相邻。
也就是X中任二顶不相邻。
同理可证Y中任二顶不相邻。
由此证毕。
证完了定理,照样要讲讲例子,不过也不是书上的每个例子都讲。
例8:
一个单图中每个顶点的次数至少是2,就含有一个圈。
这个例子的证明用了一种技巧,叫最长轨方法,据说是图论中的典型技巧。
证:
设P(u,v)是此单图G中的最长轨,由于d(u)>=2,故存在不在P(u,v)上的一条边e与u相关联。
设e的另一端点为w,若w不属于P(u,v),则P(u,v)可以加长,与最长相矛盾,故w是肯定属于P(u,v)的,所以G中有圈。
证毕。
例9:
若G是连通图,G’包含于G,|V(G’)|<|V(G)|。
则G中有不属于G’的边,它的一个端点在G’上,另一端点不在G’上。
这个例子的事实在图论的一些证明中常被引用,证明它没什么难度的,不说了。
例10:
G是单图,每顶次数不小于3,则G中有偶圈。
证:
设v0v1v2…vm是G中的一条最长轨(果然用到了最长轨方法),由于d(v0)>=3,由“最长轨方法”知存在vi<>vj,1=
若i与j中有奇数,例如i是奇数,则v0v1v2…vi与边vovi合成一个偶圈(长i+1)。
若i,j都是偶数,则由vivi+1…vj与边vovi,vovj合成一个偶圈(长j-i+2)。
证毕。
又提到了妖怪,由上面的例子可知妖怪图有偶圈。
下面又是定义,这么多东西的定义都够让人晕了。
不过不搞清这些定义根本没法证后面的定理。
单图中最长圈的长叫该图的周长;最短圈的长叫该图的围(腰)长;图G的直径d(G)定义为d(G)=max{d(u,v)|u,v<-V(G)}。
据说求图的周长和直径还是图论中的难题之一。
单图G的补图记成Gc。
补图是这样的一个图,两者顶同,但当两顶中G中不相邻时,在其补图中相邻。
例12:
单图与其补图必有一个是连通图
证:
设G不连通,证Gc是连通图。
设G1,G2,。
。
。
Gω是G的连通片。
任取二顶u,v,若u,v属于同一个连通片Gi(1=
由u与v任意性,知其在Gc上任二顶皆连通。
故Gc是连通图。
证毕。
这一节终于结束了。
这里一下给出了好多的定义,而且不是前两节的那样的简单的定义,开始有点搞脑子了。
特别是定理2的证明。
下一节是Brouwer不动点定理。
拓扑学中的著名定理,拓扑学也没学过,不知道有多少的来头。
看它好复杂呀,当初就没好好看过,而且符号一大堆。
这两天好好看看。
1.4Brouwer不动点定理
在证明Brouwer定理之前,先证明Sperner定理。
先给出正态三角形的定义。
把平面闭三角形区域Δ2进行单纯割分:
Δ2=∪δ2i(i从1到m)δ2i是比Δ2小的三角形,且δ2i∩δ2j=φ或δ0或δ1(δ0是一个顶点,而δ1是两个小三角形的公共边)。
把Δ2与δ2i的顶用0,1,2标号,若
(1) Δ2三个顶分别标以0,1,2;
(2) Δ2的一条边两端标号为i与j,0=
在这正态标志下,小三角形的三个顶分别标以0,1,2时,称这个小三角形为正态三角形。
定理3(Sperner)Δ2的单纯割分正态标志中,必有奇数个正态三角形。
证:
令δ20是Δ2的外部区域,δ21,δ22,…,δ2m是剖分所得之小三角形,设计一个图G,V(G)={δ20,δ21,δ22,…,δ2m},当且仅当δ2i与δ2j(i*j<>0)有公共的0-1标志边是时,δ2i与δ2j这两顶间连一条边;δ20与δ2i(1=
下面证明d(δ20)=odd。
事实上,d(δ20)是Δ2上0-1边以0,1为端点的小区间的个数。
若Δ2的这条边的内点无小三角形之顶则d(δ20)=1;若Δ2这条边内点有小三角形之顶,且这些顶皆标以0或1,亦有d(δ20)=1;若这条边内点上0与1标号都有,我们把两端标号一不致的小区间缩成一个点,标点不变。
这时,这条边上标号为0101…01,这里有奇数个小区间端点分别标以0与1,所以d(δ20)=odd。
由推论1,δ21,δ22,…,δ2m奇次顶有奇数个,且d(δ2i)<3(一个三角形最多只有2条0-1边),故δ21,δ22,…,δ2m中的奇次顶次数只能是一次的;仅当δ2i是正态三角形时,d(δ2i)=1,故正态三角形的个数是奇数。
证毕。
下面开始证明Brouwer定理
定理4(Brouwer)f2Δ2→Δ2是连续映射,则存在有