图连通的概念.docx

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图连通的概念

三、连通性

 3.1连通性和Whitmey定理

 定义V’真包含于V（G），G[V（G）-V’]不连通，而G是连通图，则称V’是G的顶剖分集。

最小顶剖分集中顶的个数，记成κ（G），叫做G的连通度；规定κ（Kv）=υ-1；κ（不连通图）=κ（平凡图）=0。

由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。

没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。

定义E’包含于E（G），G为连通图，而G-E’（从G中删除E’中的边）不连通，则称E’为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E″，使得|E″|<|E’|,则称|E’|为G的边连通度，记成κ’（G）。

|E’|=1时，E’中的边叫做桥。

规定κ’（不连通图）=0，κ’（Kv）=υ-1。

定义κ（G）>=k时，G叫做k连通图；κ’（G）>=k时，G称为k边连通图。

k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。

k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。

上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。

定理1κ（G）=<κ’（G）=<δ（可以复习一下第一章的1.2：

δ=min{d（vi）}）

证：

设d（v）=δ，则删除与v边关联的δ条边后，G变不连通图，所以这δ条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过δ，即κ’（G）=<δ。

下证κ=<κ’。

分情形讨论之。

若G中无桥，则有κ’>=2条边，移去它们之后，G变成不连通图。

于是删除这κ’条中的κ’-1条后，G变成有桥的图。

设此桥为e=uv，我们对于上述κ’-1条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些（不超过κ’-1个）端点，若G变得不边能，则κ=<κ’-1；若仍连通，则再删去u或v，即可使G变得不连通，于是κ=<κ’。

证毕。

这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种“友好”的面目出现。

下面就是Whitmey定理

定理2（Whitney,1932）υ>=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈（在一个圈上）。

证：

若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。

任取两顶u,v∈V（G-w），u,v在G中共存于圈C上，若w不在C上，则G-w中仍有圈C，即u与v在G-w中仍连通；若w在G中时在C上，在G-w中u与v在轨C-w上，故u与v仍连通。

由u与v之任意性，G-w是连通图，故κ（G）>=2，即G是2连通图。

反之，若G是2连通图，υ>=3,任取u,v∈V（G），用对d（u,v）的归纳法证明u与v之间有两条无公共内顶的轨

当d（u,v）=1是时，因κ=<κ’=<δ，故κ’>=2，uv边不是桥，G-uv仍连通，于是G-uv中存在从u到v的轨P1（u,v）,这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1（u,v）与边uv。

假设d（u,v）=2）,结论已成立，考虑d（u,v）=k的情形。

令P0（u,v）之长为k,w是P0（u,v）上与v相邻的顶，则d（u,w）=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。

在G-w中存在轨P’（u,v）<>P0（u,v），令x是P∪Q上P’的最后一个顶。

因u∈P∪Q，故x存在（可能x=u）。

不妨设x∈V（P），则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：

一个是P上从u到x段并在P’上从x到v段；一个是Q+wv。

证毕。

图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。

概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。

还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。

就是打字时中英文切换麻烦。

3.2割顶、桥、块

割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。

本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。

看起来比较的累人。

定理3v是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：

（1）  v是割顶

（2）  存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条由u到w的轨上

（3）  存在V-{v}的一个划分V-{v}=U∪W，U∩W=φ，使得对任意的u∈U,w∈W,v在每一条由u到w的轨上。

定理4x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：

（1）   x是G的桥。

（2）      x不在G的任一圈上。

（3）      存在顶u,v∈V（G）,使得x在每一个从u到v的轨上。

（4）      存在V（G）的划分U与W，使得任二顶u,w,u∈U,w∈W时，x在每条从u到v的轨上。

上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了。

定理5G连通，υ>=3,则下列命题等价：

（1）G是块。

（2）  G的任二顶共圈。

（3）  G的任一顶与任一边共圈

（4）  G的任二边共圈

（5）  任给G的二顶及一边，存在连接此二顶含此边之轨

（6）  对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，含第三个顶

（7）  对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，不含第三个顶。

（本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下）

证：

（1）>>

（2），

（2）>>

（1）见定理2

（2）>>（3）只考虑u为G的任给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且u<>v,u<>w的情形。

设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P（v,w）与边vw形成一个圈，它含u及边vw。

若w不在C上，因v不是割顶，由定理3，存在不含v的轨P（w,u）。

令u’是P（w,u）与C从w沿P（w,u）看来的第一个公共顶，则由边vw,P（w,u）上w到u’段，以及C上含u的轨P’（u’,v）并成一个圈，此圈满足（3）的要求。

（3）>>（4）与

（2）>>（3）类似证明。

（4）>>（5）已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。

由任二边共圈显然有任二顶共圈，于是由于

（2）>>（3）知u与x共圈，设此圈C1；同理v与x共圈，设此圈是C2；若v∈C1或u∈C2,则（5）成立；若u不属于C2，且v不属于C1，则如下构作含x之轨P（u,v）:

从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。

（5）>>（6）设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由（5）存在轨P（u,v），x在P（u,v）上，于是w在P（u,v）上。

（6）>>（7）u,v,w∈V（G）,由（6），存在轨P（u,w），P（u,w）含顶v,则P（u,w）的从u到v的一段不含w。

（7）>>

（1）由（7），对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的每一轨上，由定理3，G无割顶，故G是块。

证毕。

讲了这么多，下节才涉及到实践中的问题。

下节讲可靠通讯网的构作。

不过下节又是本章的最后一节了。

3.3可靠通讯网的构作

我们要构作一个有线通讯网，使得敌人炸坏我几通讯站后，其余的通讯站仍然可彼此通话。

显然，有两个要求是必要的：

一是不怕被敌人炸坏站的数目要多，一是整个造价要小。

这个实际问题的数学艺术模型如下：

G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。

当k=1时，它就是用Kruskal算法求得的生成树；当k>1时，是尚未解决的难解问题之一。

哦，原来k>1时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。

当G=Kυ，每边权皆为1时，Harary于1962年解决了这一问题。

下面介绍Harary的工作。

令f（m,n）表示n个顶的m连通图当中边数的最小值，m

由Σd（v）=2e，κ=<κ’=<δ，

f（m,n）>={mn/2}

Harary实际上构作出一个n顶的m连通图，它的边数恰为{mn/2}条，且f（m,n）={mn/2}。

此图记成H（m,n）。

（1）                    m是偶数，m=2r。

H（2r,n）以{0,1,2,…,n-1}为顶集合。

当i-r=

（2）                    m是奇数，m=2r+1,n是奇数。

先构作H（2r,n）,然后对1=

（3）                    m是奇数，m=2r+1,n是奇数。

先构作H（2r,n）,然后在顶点0与（n-1）/2,0与（n+1）/2之间加上边，在顶i与i+（n+1）/2间加上边，其中1=

无法把图画上来，H（6,8）、H（5,8）、H（5,9）看一下图就明白这个构作的方法了。

下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。

定理6H（m,n）是m连通图，且边数最少

证：

m=2r时，我们来证明H（2r,n），设有少于2r个顶组成的顶剖分集。

若V'是一个顶剖分集，且|V'|<2r，又设i与j两个顶分别属于H（2r,n）-V'的不同连通片，令S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i},

其中加法在modn下执行。

因为|V'|<2r，不失一般性，设|V'∩S|

但这样的序列中相邻顶之间由

（1）知存在边，即在H（2r,n）-V'中有轨P（i,j）,与i,j分居于H（2r,n）-V'的两年连通片中相矛盾，故H（2r,n）是2r连通的。

相似地可以证明m=2r+1时，H（2r+1,n）是2r+1连通的。

由于

f（m,n）>={mn/2},ε（H（m,n））={mn/2},

而H（m,n）是n顶m连通图，故有

f（m,n）=<{mn/2},

从而得

ε（H（m,n））=f（m,n）={mn/2}。

证毕。

由于κ=<κ'，故H（m,n）也是m连通图，若用g（m,n）表示n个顶m边连通图中最少边数，则对1

就这样第三章也结束了，理论讲了一大堆

一、通论

1．1图论的内容与历史回顾

一上来总要先回顾一下历史，让人了解一下这个学科的来龙去脉，见怪不怪了。

柯尼斯堡七桥问题这个实在是太有名了，图论从这开始的，从很久以前就知道了。

欧拉这个人真的是厉害，在数学的各个领域都留有他的足迹。

噢，从欧拉之后停滞了好长一段时间（再次可见欧拉的水平，对他是佩服得五体投地呀，不服不行），直到二百年后，1936年匈牙利的Konig（书上的名字打不上来呀，字母怪怪的，随便用其他字母替了）发表了《有限图与无限图理论》这第一本图论的专著，图论才获得了长足的发展，成长了数学中的一门独立的学科。

下面讲了图论的各种应用，在各个学科中的作用，不一而足呀。

又提到了四色定理，这么有名的东东，当年也是三大猜想呀。

这个还是靠机器证出来的。

后面出了个以前没听到过的名词----妖怪图（Snarkgraph），看它的定义有点晕乎乎的先记在这，后面还要讲到：

何为妖怪，指这种性质的图很难设计出来，它是无桥三次正则图，每个顶点处关联了三条边；它的围长不小于5，它的边色数是4，删除三条边不会使它破裂成两个有边图。

（书上说是封面上那幅漂亮的图，可我下载的电子书没有封面呀，不知这个妖怪迷到何程度呀）。

MD，第一课就讲了好多难题，差点不想往下看了，什么Ulam猜想，货郞问题，Ramsey问题，真有点让人望而却步。

最后摘段书上的话，“从许多实例中，我们发现图论最吸引人的特色是它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙的论证、即使是非常困难的尚未解决的问题也易于表达。

现实生活中也处处潜藏有图论的难题，图论是最接近群众生活，最容易向科学水准很低的人阐述的一门学科。

问题外表的简单朴素和本质上的难以解决，使每个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问题。

常常是貌似简单的问题，即使幸运地得出证明，证明中包含的细节也十分之繁琐，并且往往运用了极艰苦的计算。

”后面越往后看，越觉得上述的话说的有理，十分之有理（无理的话书上也不会堂而皇之的放那么久）。

回顾结束，下次正式进入正题。

1.2图的定义

这节没什么好说的，学过图论的人应该都知道这些东西吧。

只是有些符号要注意一下，这好象是约定成俗的，不注意的话下面的一些东西会看不顺溜。

图G，顶点集合V（G），边集合E（G），顶点一般就用u、v了，边一般用e，顶点数|V（G）|=υ，边的数目|E（G）|=ε。

本书只讨论有限图，无限图应该是很不同的东东了，咱以前学初等数学不太考虑无限的时候是一番天地，到后来一考虑无限，多了个无穷这个符号（就是8横过来的那个符号）又是另一番一天地了。

看来这无限图也不是很好惹的。

书上说不讲了，那我也不讲了，讲不出来。

下面是术语：

（1）  边的端点：

e=uv，u、v就叫边e的端点

（2）  边与顶相关联：

e=uv，就叫e与u、v相关联

（3）  邻顶、邻边：

同一边联在一起的就是邻顶了，同一顶连在一起的就是邻边了

（4）  环、重边：

这很好理解。

回去又回来就是环，两顶间拉了一条又一条就是重边。

（5）  平凡图：

只有一顶（点）外什么也没有，光杆司令一个

（6）  单图：

无环无重边的图

（7）  完全图：

任二顶皆相邻的图，记为Kυ这个以后常会用到

（8）  二分图：

图的顶点可分为两个不相交的集合X与Y，这两个集合内的任二顶之间都不相邻，若X中每一顶毕竟与Y中一切顶相邻则叫完全二分图，记为Km,n其中|X|=m,|Y|=n这个也是后面常会提到的

（9）  顶点v的次数：

记为d（v）,定义d（v）=d1（v）+2l（v）。

其中d1（v）是与v相关联的非环边数，l（v）是与v相关联的环数（一个环对顶的次数是要算两次的）。

书上都把图上的点说顶的，刚开始看书不是从头开始看的，顶呀顶的有点不习惯，上面这些术语会在后面重复的出现。

看来要好好的记住。

出现了全书的第一个定理，应该是最古老的图论定理了，就是欧拉给出的。

定理1Σd（v）=2e如果明白它的符号的意义的话这很好理解，因为每一条边都会连有两个顶（即使是环的话也是算两次的）。

所以所有顶的次数的和恰好是边的数目的2倍。

推论1奇次顶的总数是偶数因为所有顶的次数之各是偶数，所以不可能有奇数个奇次顶。

后面是上面的定理与推论的应用：

晚会上大家握手言欢，试证握过奇次手的人数是偶数。

空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而每个面又有奇数条边。

碳氢化合物中氢原子个数是偶数。

上面的命题不是很难，不用图论瞎想想也能想出来，不过数学就是数学，这种东西上升到理论高度就不可同日而语了。

就象七桥问题一样，道理很浅显，但由此发展出来的东西就天差地别了。

下面有一个跟妖怪有关的定义：

k次正则图----d（v）≡k的图，妖怪的k等于3

又有两个符号：

δ=min{d（vi）}Δ=max{d（vi）}

最后是两图同构的定义。

定义比较的拗口，又是映射，又是当且仅当，而且有很多符号，把它打上来没意思。

意思就是“对应顶夹对应边”，不管它顶怎么放，七扭八扭的迷惑人，到处乱跑也没关系，反正只要边连联对，就逃不掉，就是同构的。

我是这样理解的。

G、H两图同构记为G≌H

这一节就到这里结束了，到目前为止还没有很棘手的东西，下一节是轨道与连通。

会给出一个图G是二分图的充要条件。

1.3轨道与连通

本节只讨论无向单图。

定义W=v0e1v1e2v2…ekvk为图G的一条道路。

v0为起点，vk为终点，k为路长，vi（1≤i≤k-1）叫道路的内点。

各边相异的道路叫行迹，顶点各异的道路叫轨道：

记为P（v0,vk）

起点终点重合的道路叫回路，起点终点重合的轨道叫圈，长k的圈叫k阶圈。

u,v两顶的距离是指u,v间最短轨道长度，记为d（u,v）.

若u,v两顶间存在道路则称u与v相连通。

图G中任二顶皆连通时则称G为连通图。

复习一下，完全图是任二顶皆相邻，可比这个要强多的图喽。

打得好累呀，这些定义都简单得很，可不熟悉这些东西，看后面的东西更累，刚开始看书时从中间开始看的，看得很莫名呀----基本概念还是要搞懂。

下面是子图的概念，H是G的子图就是H的边与顶的集合都是G的边顶集合的子集的意思，很好理解，不打那种符号直接讲省事。

若H是G的子图，且H与G不同构，则称H是G的真子图，跟真子集一样的，也是用一样的符号表示的。

若H是G的子图，且两者的顶点集相同，则称H是G的生成子图

若H是G的子图，且V（H）=V’，E（H）是由E（G）中两端皆在V’中的边构成的子集，则称H为由V’导出的G之子图，记为H=G[V’]

若V（G）是Vi（i=1,2,…,ω）的合集，又当且仅当两个顶同属一个子集Vi时，此二顶连通，则称G[Vi]为G的连通片。

由此可知G连通图当且仅当ω=1

讲个例子，2n个电话交换台，第个台与至少n个台有直通线路，则其中任两台之间可以通话。

把这些台视为图的顶，当两个台有直通线路时，两个顶是相邻的。

所以问题就是有个2n个顶的图，每顶次娄至少为n，则图是连通的。

若G不连通，则至少有一个连通片，其顶点数目至多是n，在此片中，顶的次数最大是n-1，与原图至少为n相违。

还有如例：

图中只有两个奇次顶，则它们必连通。

这个结合推论1很容易证。

定理2G为二分图的充要条件是G中无奇圈

证不妨考虑连通图。

先证充分性，若G中有一个圈C=v0v1v2…vkv0，不妨设v0属于X，于是v0v2v4…v0属于X，v1v3…vk属于Y，可见k是奇数，圈C长k+1，是偶圈。

（二分图的所有的圈的这个k肯定是奇数，否则构造不出符合二分图条件的X，Y集合）

下面证G中无奇圈，则G是二分图。

令X={w|w<-V（G），d（v1,w）=oven}，Y={w|w<-V（G）,d（v1,w）=odd}（符号<-表示属于，那个集合上的属于符号太难找了用这个代替）

其中v1是G的任一顶点，对任意的u,v属于X，设P1（v1,u）是从v1到u的最短轨，P2（v1,v）是v1到v的最短轨。

设u1是P1与P2上的最后一个公共顶点，因P1（v1,u）,P2（v1,v）最短，故P1上的一段P11（v1,u1）与P2上的一段P21（v1,u1）等长且最短。

因P1与P2之长为偶数（oven），从面P1上的一段P12（u1,u），与P2上的一段P22（u1,v）有相同的奇偶性。

如果u与v相邻，那么P12、P22与uv刚好会围成一个奇圈（这个构造太妙了）。

而图中是不能有奇圈的，所以u、v不会相邻。

也就是X中任二顶不相邻。

同理可证Y中任二顶不相邻。

由此证毕。

证完了定理，照样要讲讲例子，不过也不是书上的每个例子都讲。

例8：

一个单图中每个顶点的次数至少是2，就含有一个圈。

这个例子的证明用了一种技巧，叫最长轨方法，据说是图论中的典型技巧。

证：

设P（u,v）是此单图G中的最长轨，由于d（u）>=2,故存在不在P（u,v）上的一条边e与u相关联。

设e的另一端点为w,若w不属于P（u,v），则P（u,v）可以加长，与最长相矛盾，故w是肯定属于P（u,v）的，所以G中有圈。

证毕。

例9：

若G是连通图，G’包含于G，|V（G’）|<|V（G）|。

则G中有不属于G’的边，它的一个端点在G’上，另一端点不在G’上。

这个例子的事实在图论的一些证明中常被引用，证明它没什么难度的，不说了。

例10：

G是单图，每顶次数不小于3，则G中有偶圈。

证：

设v0v1v2…vm是G中的一条最长轨（果然用到了最长轨方法），由于d（v0）>=3,由“最长轨方法”知存在vi<>vj,1=

若i与j中有奇数，例如i是奇数，则v0v1v2…vi与边vovi合成一个偶圈（长i+1）。

若i，j都是偶数，则由vivi+1…vj与边vovi,vovj合成一个偶圈（长j-i+2）。

证毕。

又提到了妖怪，由上面的例子可知妖怪图有偶圈。

下面又是定义，这么多东西的定义都够让人晕了。

不过不搞清这些定义根本没法证后面的定理。

单图中最长圈的长叫该图的周长；最短圈的长叫该图的围（腰）长；图G的直径d（G）定义为d（G）=max{d（u,v）|u,v<-V（G）}。

据说求图的周长和直径还是图论中的难题之一。

单图G的补图记成Gc。

补图是这样的一个图，两者顶同，但当两顶中G中不相邻时，在其补图中相邻。

例12：

单图与其补图必有一个是连通图

证：

设G不连通，证Gc是连通图。

设G1，G2，。

。

。

Gω是G的连通片。

任取二顶u,v，若u,v属于同一个连通片Gi（1=

由u与v任意性，知其在Gc上任二顶皆连通。

故Gc是连通图。

证毕。

这一节终于结束了。

这里一下给出了好多的定义，而且不是前两节的那样的简单的定义，开始有点搞脑子了。

特别是定理2的证明。

下一节是Brouwer不动点定理。

拓扑学中的著名定理，拓扑学也没学过，不知道有多少的来头。

看它好复杂呀，当初就没好好看过，而且符号一大堆。

这两天好好看看。

1.4Brouwer不动点定理

在证明Brouwer定理之前，先证明Sperner定理。

先给出正态三角形的定义。

把平面闭三角形区域Δ2进行单纯割分：

Δ2=∪δ2i（i从1到m）δ2i是比Δ2小的三角形，且δ2i∩δ2j=φ或δ0或δ1（δ0是一个顶点，而δ1是两个小三角形的公共边）。

把Δ2与δ2i的顶用0,1，2标号，若

（1）   Δ2三个顶分别标以0,1，2；

（2）   Δ2的一条边两端标号为i与j，0=

在这正态标志下，小三角形的三个顶分别标以0,1，2时，称这个小三角形为正态三角形。

定理3（Sperner）Δ2的单纯割分正态标志中，必有奇数个正态三角形。

证：

令δ20是Δ2的外部区域，δ21，δ22，…，δ2m是剖分所得之小三角形，设计一个图G，V（G）={δ20,δ21，δ22，…，δ2m}，当且仅当δ2i与δ2j（i*j<>0）有公共的0-1标志边是时，δ2i与δ2j这两顶间连一条边；δ20与δ2i（1=

下面证明d（δ20）=odd。

事实上，d（δ20）是Δ2上0-1边以0,1为端点的小区间的个数。

若Δ2的这条边的内点无小三角形之顶则d（δ20）=1；若Δ2这条边内点有小三角形之顶，且这些顶皆标以0或1，亦有d（δ20）=1；若这条边内点上0与1标号都有，我们把两端标号一不致的小区间缩成一个点，标点不变。

这时，这条边上标号为0101…01，这里有奇数个小区间端点分别标以0与1，所以d（δ20）=odd。

由推论1，δ21，δ22，…，δ2m奇次顶有奇数个，且d（δ2i）<3（一个三角形最多只有2条0-1边），故δ21，δ22，…，δ2m中的奇次顶次数只能是一次的；仅当δ2i是正态三角形时，d（δ2i）=1，故正态三角形的个数是奇数。

证毕。

下面开始证明Brouwer定理

定理4（Brouwer）f2Δ2→Δ2是连续映射，则存在有