图连通的概念.docx

1、图连通的概念三、连通性 3.1 连通性和Whitmey定理定义 V真包含于V(G)，GV(G)-V不连通，而G是连通图，则称V是G的顶剖分集。最小顶剖分集中顶的个数，记成(G)，叫做G的连通度；规定(Kv)=-1；(不连通图)= (平凡图)=0。由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。定义 E包含于E(G)，G为连通图，而G-E(从G中删除E中的边)不连通，则称E为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E，使得|E|=k时，G叫做k连通图；(G)=k时，G称为k边连通图。k连通图，当k1时，也是k-1连通图。k边连通图，当k1时，也是k-1边连通图。上面就是

2、顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。定理1 (G)=(G)=(可以复习一下第一章的1.2：=mind(vi)证：设d(v)=，则删除与v边关联的条边后，G变不连通图，所以这条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过，即(G)=。下证=2条边，移去它们之后，G变成不连通图。于是删除这条中的-1条后，G变成有桥的图。设此桥为e=uv，我们对于上述-1条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过-1个)端点，若G变得不边能，则=-1；若仍连通，则再删去u或v，即可使G变得不连通，于是=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图

3、G-w。任取两顶u,vV(G-w)，u,v在G中共存于圈C上，若w不在C上，则G-w中仍有圈C，即u与v在G-w中仍连通；若w在G中时在C上，在G-w中u与v在轨C-w上，故u与v仍连通。由u与v之任意性，G-w是连通图，故(G)=2，即G是2连通图。反之，若G是2连通图，=3,任取u,vV(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u与v之间有两条无公共内顶的轨当d(u,v)=1是时，因=2，uv边不是桥，G-uv仍连通，于是G-uv中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v)与边uv。假设d(u,v)=2),结论已成立，考虑d(u,v)=k的情形。令P0(u,v

4、)之长为k,w是P0(u,v)上与v相邻的顶，则d(u,w)=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。在G-w中存在轨P(u,v)P0(u,v)，令x是PQ上P的最后一个顶。因uPQ，故x存在(可能x=u)。不妨设xV(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是P上从u到x段并在P上从x到v段；一个是Q+wv。证毕。图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。就是打字时中英文切换麻烦。3.2 割顶

5、、桥、块割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。看起来比较的累人。定理3 v是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：(1) v 是割顶(2) 存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条由u到w的轨上(3) 存在V-v的一个划分V-v=UW，UW=，使得对任意的uU,wW,v在每一条由u到w的轨上。定理4 x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：(1) x是G的桥。(2) x不在G的任一圈上。(3) 存在顶u,vV(G),使得x在每一个从u到v的轨上。(

6、4) 存在V(G)的划分U与W，使得任二顶u,w, uU,wW时，x在每条从u到v的轨上。上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了。定理5 G连通，=3,则下列命题等价：(1)G是块。(2) G的任二顶共圈。(3) G的任一顶与任一边共圈(4) G的任二边共圈(5) 任给G的二顶及一边，存在连接此二顶含此边之轨(6) 对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，含第三个顶(7) 对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，不含第三个顶。(本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下)证：(1)(2)，(2)(1)见定理2(2)(3) 只考虑u为G的任

7、给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且uv,uw的情形。设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P(v,w)与边vw形成一个圈，它含u及边vw。若w不在C上，因v不是割顶，由定理3，存在不含v的轨P(w,u)。令u是P(w,u)与C从w沿P(w,u)看来的第一个公共顶，则由边vw,P(w,u)上w到u段，以及C上含u的轨P(u,v)并成一个圈，此圈满足(3)的要求。(3)(4)与(2)(3)类似证明。(4)(5) 已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。由任二边共圈显然有任二顶共圈，于是由于(2)(3)知u与x共圈，设此圈C1；

8、同理v与x共圈，设此圈是C2；若vC1或uC2,则(5)成立；若u不属于C2，且v不属于C1，则如下构作含x之轨P(u,v):从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。(5)(6) 设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由(5)存在轨P(u,v)，x在P(u,v)上，于是w在P(u,v)上。(6)(7) u,v,wV(G),由(6)，存在轨P(u,w)，P(u,w)含顶v,则P(u,w)的从u到v的一段不含w。(7)(1) 由(7)，对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的每一轨上，由定理3，G无割顶，故G是块。证毕。讲了这么多，

9、下节才涉及到实践中的问题。下节讲可靠通讯网的构作。不过下节又是本章的最后一节了。3.3 可靠通讯网的构作我们要构作一个有线通讯网，使得敌人炸坏我几通讯站后，其余的通讯站仍然可彼此通话。显然，有两个要求是必要的：一是不怕被敌人炸坏站的数目要多，一是整个造价要小。这个实际问题的数学艺术模型如下：G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。当k=1时，它就是用Kruskal算法求得的生成树；当k1时，是尚未解决的难解问题之一。哦，原来k1时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。当G=K，每边权皆为1时，Harary于1962

10、年解决了这一问题。下面介绍Harary的工作。令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值，mn。由d(v)=2e，=mn/2Harary实际上构作出一个n顶的m连通图，它的边数恰为mn/2条，且f(m,n)=mn/2。此图记成H(m,n) 。(1) m是偶数，m=2r。H(2r,n)以0,1,2,n-1为顶集合。当i-r=j=i+r时，在顶点i与j之间连一边，这里的加法在mod n意义下进行。(2) m是奇数，m=2r+1,n是奇数。先构作H(2r,n),然后对1=i=n/2的i,在i与i+n/2间加上一条边得H(2r+1,n)。(3) m是奇数，m=2r+1,n是奇数。先构作H(2r

11、,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与(n+1)/2之间加上边，在顶i与i+(n+1)/2间加上边，其中1=i=(n-1)/2，则得到H(2r+1,n)。无法把图画上来，H(6,8)、H(5,8)、H(5,9)看一下图就明白这个构作的方法了。下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。定理6 H(m,n)是m连通图，且边数最少证：m=2r时，我们来证明H(2r,n)，设有少于2r个顶组成的顶剖分集。若V是一个顶剖分集，且|V|2r，又设i与j两个顶分别属于H(2r,n)-V的不同连通片，令S=i,i+1,.,j-1,j,T=j,j+1,.,i-1,i,其中加法在mod n下执行。因为|V|2r

12、，不失一般性，设|VS|=mn/2, (H(m,n)=mn/2,而H(m,n)是n顶m连通图，故有 f(m,n)=mn/2,从而得 (H(m,n)=f(m,n)=mn/2。证毕。由于=，故H(m,n)也是m连通图，若用g(m,n)表示n个顶m边连通图中最少边数，则对1mn,g(m,n)=mn/2。就这样第三章也结束了，理论讲了一大堆一、通论 11 图论的内容与历史回顾一上来总要先回顾一下历史，让人了解一下这个学科的来龙去脉，见怪不怪了。柯尼斯堡七桥问题这个实在是太有名了，图论从这开始的，从很久以前就知道了。欧拉这个人真的是厉害，在数学的各个领域都留有他的足迹。噢，从欧拉之后停滞了好长一段时间(

13、再次可见欧拉的水平，对他是佩服得五体投地呀，不服不行)，直到二百年后，1936年匈牙利的Konig(书上的名字打不上来呀，字母怪怪的，随便用其他字母替了)发表了有限图与无限图理论这第一本图论的专著，图论才获得了长足的发展，成长了数学中的一门独立的学科。下面讲了图论的各种应用，在各个学科中的作用，不一而足呀。又提到了四色定理，这么有名的东东，当年也是三大猜想呀。这个还是靠机器证出来的。后面出了个以前没听到过的名词-妖怪图(Snark graph)，看它的定义有点晕乎乎的先记在这，后面还要讲到：何为妖怪，指这种性质的图很难设计出来，它是无桥三次正则图，每个顶点处关联了三条边；它的围长不小于5，它的

14、边色数是4，删除三条边不会使它破裂成两个有边图。(书上说是封面上那幅漂亮的图，可我下载的电子书没有封面呀，不知这个妖怪迷到何程度呀)。MD，第一课就讲了好多难题，差点不想往下看了，什么Ulam猜想，货郞问题，Ramsey问题，真有点让人望而却步。最后摘段书上的话，“从许多实例中，我们发现图论最吸引人的特色是它蕴含着大量强有力的思想、漂亮的图形和巧妙的论证、即使是非常困难的尚未解决的问题也易于表达。现实生活中也处处潜藏有图论的难题，图论是最接近群众生活，最容易向科学水准很低的人阐述的一门学科。问题外表的简单朴素和本质上的难以解决，使每个搞图论的人在图论面前必须谨慎严肃地思考问题。常常是貌似简单的

15、问题，即使幸运地得出证明，证明中包含的细节也十分之繁琐，并且往往运用了极艰苦的计算。”后面越往后看，越觉得上述的话说的有理，十分之有理(无理的话书上也不会堂而皇之的放那么久)。回顾结束，下次正式进入正题。1.2 图的定义这节没什么好说的，学过图论的人应该都知道这些东西吧。只是有些符号要注意一下，这好象是约定成俗的，不注意的话下面的一些东西会看不顺溜。图G，顶点集合V(G)，边集合E(G)，顶点一般就用u、v了，边一般用e，顶点数|V(G)|=，边的数目|E(G)|=。本书只讨论有限图，无限图应该是很不同的东东了，咱以前学初等数学不太考虑无限的时候是一番天地，到后来一考虑无限，多了个无穷这个符号

16、(就是8横过来的那个符号)又是另一番一天地了。看来这无限图也不是很好惹的。书上说不讲了，那我也不讲了，讲不出来。下面是术语：(1) 边的端点：e=uv，u、v就叫边e 的端点(2) 边与顶相关联：e=uv，就叫e与u、v 相关联(3) 邻顶、邻边：同一边联在一起的就是邻顶了，同一顶连在一起的就是邻边了(4) 环、重边：这很好理解。回去又回来就是环，两顶间拉了一条又一条就是重边。(5) 平凡图：只有一顶(点)外什么也没有，光杆司令一个(6) 单图：无环无重边的图(7) 完全图：任二顶皆相邻的图，记为K 这个以后常会用到(8) 二分图：图的顶点可分为两个不相交的集合X与Y，这两个集合内的任二顶之间

17、都不相邻，若X中每一顶毕竟与Y中一切顶相邻则叫完全二分图，记为Km,n 其中|X|=m,|Y|=n 这个也是后面常会提到的(9) 顶点v的次数：记为d(v),定义d(v)=d1(v)+2l(v)。其中d1(v)是与v相关联的非环边数，l(v)是与v相关联的环数(一个环对顶的次数是要算两次的)。书上都把图上的点说顶的，刚开始看书不是从头开始看的，顶呀顶的有点不习惯，上面这些术语会在后面重复的出现。看来要好好的记住。出现了全书的第一个定理，应该是最古老的图论定理了，就是欧拉给出的。定理1 d(v)=2e 如果明白它的符号的意义的话这很好理解，因为每一条边都会连有两个顶(即使是环的话也是算两次的)。

18、所以所有顶的次数的和恰好是边的数目的2倍。推论1 奇次顶的总数是偶数 因为所有顶的次数之各是偶数，所以不可能有奇数个奇次顶。后面是上面的定理与推论的应用：晚会上大家握手言欢，试证握过奇次手的人数是偶数。空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而每个面又有奇数条边。碳氢化合物中氢原子个数是偶数。上面的命题不是很难，不用图论瞎想想也能想出来，不过数学就是数学，这种东西上升到理论高度就不可同日而语了。就象七桥问题一样，道理很浅显，但由此发展出来的东西就天差地别了。下面有一个跟妖怪有关的定义：k次正则图-d(v)k的图，妖怪的k等于3又有两个符号：=mind(vi) =maxd(vi)最后是两

19、图同构的定义。定义比较的拗口，又是映射，又是当且仅当，而且有很多符号，把它打上来没意思。意思就是“对应顶夹对应边”，不管它顶怎么放，七扭八扭的迷惑人，到处乱跑也没关系，反正只要边连联对，就逃不掉，就是同构的。我是这样理解的。G、H两图同构记为GH这一节就到这里结束了，到目前为止还没有很棘手的东西，下一节是轨道与连通。会给出一个图G是二分图的充要条件。1 .3 轨道与连通本节只讨论无向单图。定义W=v0e1v1e2v2ekvk 为图G的一条道路。v0为起点，vk为终点，k为路长，vi(1ik-1)叫道路的内点。各边相异的道路叫行迹，顶点各异的道路叫轨道：记为P(v0,vk)起点终点重合的道路叫回

20、路，起点终点重合的轨道叫圈，长k的圈叫k阶圈。u,v两顶的距离是指u,v间最短轨道长度，记为d(u,v).若u,v两顶间存在道路则称u与v 相连通。图G中任二顶皆连通时则称G为连通图。复习一下，完全图是任二顶皆相邻，可比这个要强多的图喽。打得好累呀，这些定义都简单得很，可不熟悉这些东西，看后面的东西更累，刚开始看书时从中间开始看的，看得很莫名呀-基本概念还是要搞懂。下面是子图的概念，H是G的子图就是H的边与顶的集合都是G的边顶集合的子集的意思，很好理解，不打那种符号直接讲省事。若H是G的子图，且H与G不同构，则称H是G的真子图，跟真子集一样的，也是用一样的符号表示的。若H是G的子图，且两者的顶

21、点集相同，则称H是G的生成子图若H是G的子图，且V(H)=V，E(H)是由E(G)中两端皆在V中的边构成的子集，则称H为由V导出的G之子图，记为H=GV若V(G)是Vi(i=1,2,)的合集，又当且仅当两个顶同属一个子集Vi 时，此二顶连通，则称GVi为G的连通片。由此可知G连通图当且仅当=1讲个例子，2n个电话交换台，第个台与至少n个台有直通线路，则其中任两台之间可以通话。把这些台视为图的顶，当两个台有直通线路时，两个顶是相邻的。所以问题就是有个2n个顶的图，每顶次娄至少为n，则图是连通的。若G不连通，则至少有一个连通片，其顶点数目至多是n，在此片中，顶的次数最大是n-1，与原图至少为n相违

22、。还有如例： 图中只有两个奇次顶，则它们必连通。这个结合推论1很容易证。定理2 G为二分图的充要条件是G中无奇圈证 不妨考虑连通图。先证充分性，若G中有一个圈C=v0v1v2vkv0，不妨设v0属于X，于是v0v2v4v0属于X，v1v3vk属于Y，可见k是奇数，圈C长k+1，是偶圈。(二分图的所有的圈的这个k肯定是奇数，否则构造不出符合二分图条件的X，Y集合)下面证G中无奇圈，则G是二分图。令X=w|w-V(G)，d(v1,w)=oven，Y=w|w-V(G),d(v1,w)=odd (符号=2,故存在不在P(u,v)上的一条边e与u相关联。设e 的另一端点为w,若w不属于P(u,v)，则P

23、(u,v)可以加长，与最长相矛盾，故w是肯定属于P(u,v)的，所以G中有圈。证毕。例9：若G是连通图，G包含于G，|V(G)|=3,由“最长轨方法”知存在vivj,1=ij=m，vi，vj皆与v0相邻。若i 与 j 中有奇数，例如i是奇数，则v0v1v2vi与边vovi合成一个偶圈(长i+1)。若i，j都是偶数，则由vivi+1vj与边vovi,vovj合成一个偶圈(长j-i+2)。证毕。又提到了妖怪，由上面的例子可知妖怪图有偶圈。下面又是定义，这么多东西的定义都够让人晕了。不过不搞清这些定义根本没法证后面的定理。单图中最长圈的长叫该图的周长；最短圈的长叫该图的围(腰)长；图G的直径d(G)

24、定义为d(G)=maxd(u,v)|u,v-V(G)。据说求图的周长和直径还是图论中的难题之一。单图G的补图记成Gc。补图是这样的一个图，两者顶同，但当两顶中G中不相邻时，在其补图中相邻。例12：单图与其补图必有一个是连通图证：设G不连通，证Gc是连通图。设G1，G2，。G是G的连通片。任取二顶u,v，若u,v属于同一个连通片Gi(1=i=)，w是不在Gi中的一个顶，则uw,vu属于E(Gc)，即在Gc中u与v 连通；若u与v 分别属于两个连通片Gk,Gl，则uv属于E(Gc)，u与v 在Gc亦连通。由u与v 任意性，知其在Gc上任二顶皆连通。故Gc是连通图。证毕。这一节终于结束了。这里一下给

25、出了好多的定义，而且不是前两节的那样的简单的定义，开始有点搞脑子了。特别是定理2的证明。下一节是Brouwer不动点定理。拓扑学中的著名定理，拓扑学也没学过，不知道有多少的来头。看它好复杂呀，当初就没好好看过，而且符号一大堆。这两天好好看看。1.4 Brouwer不动点定理在证明Brouwer定理之前，先证明Sperner定理。先给出正态三角形的定义。把平面闭三角形区域2进行单纯割分：2=2i(i从1到m) 2i是比2小的三角形，且2i2j=或0或1(0是一个顶点，而1是两个小三角形的公共边)。把2与2i的顶用0,1，2标号，若(1) 2三个顶分别标以0,1，2；(2) 2的一条边两端标号为

26、i 与j ，0=ij=2，与此边接触的小三角形之顶亦标号i或j，则称这种标号为正态标志。在这正态标志下，小三角形的三个顶分别标以0,1，2时，称这个小三角形为正态三角形。定理3 (Sperner) 2的单纯割分正态标志中，必有奇数个正态三角形。证：令20是2的外部区域，21，22，2m是剖分所得之小三角形，设计一个图G，V(G)= 20,21，22，2m，当且仅当2i与2j(i*j0)有公共的0-1标志边是时，2i与2j这两顶间连一条边；20与2i(1=i=m)当且仅当2i的0-1标志边完全落在2的0-1边上是地，在20与2i之间连一边。下面证明d(20)=odd。事实上，d(20)是2上0-

27、1边以0,1为端点的小区间的个数。若2的这条边的内点无小三角形之顶则d(20)=1；若2这条边内点有小三角形之顶，且这些顶皆标以0或1，亦有d(20)=1；若这条边内点上0与1标号都有，我们把两端标号一不致的小区间缩成一个点，标点不变。这时，这条边上标号为010101，这里有奇数个小区间端点分别标以0与1，所以d(20)=odd。由推论1，21，22，2m奇次顶有奇数个，且d(2i)3(一个三角形最多只有2条0-1边)，故21，22，2m中的奇次顶次数只能是一次的；仅当2i是正态三角形时，d(2i)=1，故正态三角形的个数是奇数。证毕。下面开始证明Brouwer定理 定理4 (Brouwer) f2 22是连续映射，则存在有