精选苏科版八年级数学上册 全等三角形中考真题汇编解析版.docx
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精选苏科版八年级数学上册全等三角形中考真题汇编解析版
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
【答案】
(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②(厘米/秒);
(2)点P、Q在AB边上相遇,即经过了秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.
【解析】
【分析】
(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得△BPD≌△CQP;
②根据VP≠VQ,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;
(2)根据VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x秒,即可列出方程,解方程即可得到结果.
【详解】
(1)①因为t=1(秒),
所以BP=CQ=6(厘米)
∵AB=20,D为AB中点,
∴BD=10(厘米)
又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)
∴PC=BD
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD与△CQP中,
∴△BPD≌△CQP(SAS),
②因为VP≠VQ,
所以BP≠CQ,
又因为∠B=∠C,
要使△BPD与△CQP全等,只能BP=CP=8,即△BPD≌△CPQ,
故CQ=BD=10.
所以点P、Q的运动时间(秒),
此时(厘米/秒).
(2)因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇,依题意得,
解得x=(秒)
此时P运动了(厘米)
又因为△ABC的周长为56厘米,160=56×2+48,
所以点P、Q在AB边上相遇,即经过了秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.
【点睛】
此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
2.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
【答案】
(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE;
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3)
(1)中的结论仍然成立.理由见解析
【解析】
【分析】
(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,CF=EF;
(2)思路同
(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出
(1)中的结论了;
(3)思路同
(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出EM=PN=AD,EC=MF=AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论.我们知道PN是△ABD的中位线,那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形,那么对角就相等,于是90°+∠CNF=90°+∠MEF,因此∠CNF=∠MEF,那么两三角形就全等了.证明∠CFE是直角的过程与
(1)完全相同.那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形,于是得出的结论与
(1)也相同.
【详解】
(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE;
解法1:
∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径,
∵点F是BD的中点,
∴点F是圆心,
∴EF=CF=FD=FB,
∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,
由圆周角定理得:
∠DCE=∠DBE,
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴CE=EF.
解法2:
易证∠BED=∠ACB=90°,
∵点F是BD的中点,
∴CF=EF=FB=FD,
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,
∴∠DFE=2∠ABD,
同理∠CFD=2∠CBD,
∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,
即∠CFE=90°,
∴CE=EF.
(2)
(1)中的结论仍然成立.
解法1:
如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,
∵∠ACB=∠AED=90°,
∴DE∥BC,
∴∠EDF=∠GBF,
又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,
∴△EDF≌△GBF,
∴EF=GF,BG=DE=AE,
∵AC=BC,
∴CE=CG,
∴∠EFC=90°,CF=EF,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∴CE=FE;
解法2:
如图2﹣2,连结CF、AF,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,
又点F是BD的中点,
∴FA=FB=FD,
而AC=BC,CF=CF,
∴△ACF≌△BCF,
∴∠ACF=∠BCF=∠ACB=45°,
∵FA=FB,CA=CB,
∴CF所在的直线垂直平分线段AB,
同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,
又DA⊥BA,
∴EF⊥CF,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴CE=EF.
(3)
(1)中的结论仍然成立.
解法1:
如图3﹣1,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF,
∵DF=BF,
∴FM∥AB,且FM=AB,
∵AE=DE,∠AED=90°,
∴AM=EM,∠AME=90°,
∵CA=CB,∠ACB=90°
∴CN=AN=AB,∠ANC=90°,
∴MF∥AN,FM=AN=CN,
∴四边形MFNA为平行四边形,
∴FN=AM=EM,∠AMF=∠FNA,
∴∠EMF=∠FNC,
∴△EMF≌△FNC,
∴FE=CF,∠EFM=∠FCN,
由MF∥AN,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°,
∴∠FCN+∠PFC=90°,
∴∠EFM+∠PFC=90°,
∴∠EFC=90°,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∴CE=FE.
【点睛】
本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等,如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建.
3.如图1所示,已知点在上,和都是等腰直角三角形,点为的中点.
(1)求证:
为等腰直角三角形;
(2)将绕点逆时针旋转,如图2所示,
(1)中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立?
请说明理由;
(3)将绕点逆时针旋转一定的角度,如图3所示,
(1)中的“为等腰直角三角形”成立吗?
请说明理由.
【答案】
(1)详见解析;
(2)是,证明详见解析;(3)成立,证明详见解析.
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出,,推出,,,推出,,求出即可.
延长ED交AC于F,求出,,,根据ASA推出≌,推出即可.
过点C作,与DM的延长线交于点F,连接BF,推出≌,求出,,作于点N,证≌,推出,,求出,即可得出答案.
【详解】
证明:
和都是等腰直角三角形,
,
点M为EC的中点,
,,
,,,
,,
,
同理,
是等腰直角三角形.
解:
如图2,是等腰直角三角形,
理由是:
延长ED交AC于F,
和是等腰直角三角形,
,
,
,
为EC中点,
,
,,
,
,,
,
,
在和中
≌,
,
,
是等腰直角三角形.
是等腰直角三角形,
理由是:
过点C作,与DM的延长线交于点F,连接BF,
可证得≌,
,,
,
作于点N,
由已知,,
可证得,,
,
,
,
≌,
,,
,
是等腰直角三角形,
点M是DF的中点,
则是等腰直角三角形,
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,在本题中需要作辅助线来证明,难度较大.
4.
(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:
EB=AD;
(2)若将
(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),
(1)的结论是否成立,并说明理由.
【答案】
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
试题分析:
(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同
(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.
试题解析:
(1)证明:
如图,作DF∥BC交AC于F,
则△ADF为等边三角形
∴AD=DF,又∵∠DEC=∠DCB,
∠DEC+∠EDB=60°,
∠DCB+∠DCF=60°,
∴∠EDB=∠DCA,DE=CD,
在△DEB和△CDF中,
∴△DEB≌△CDF,
∴BD=DF,
∴BE=AD.
(2).EB=AD成立;
理由如下:
作DF∥BC交AC的延长线于F,如图所示:
同
(1)得:
AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,
又∵∠DBE=∠DFC=60°,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,
∴EB=AD.
点睛:
此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证