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荷载效应计算

第5章荷载效应计算

5.1水平地震作用下框架的侧移计算

5.1.1梁的侧移刚度

对于现浇楼盖，在计算框架梁的截面惯性矩时，对边框架梁取Ib=1.5I0（I0为矩形梁的截面惯性矩）；对中框架梁取Ib=2I0,采用C25混凝土，Ec=2.80×104N/mm2。

梁的线刚度计算如表5-1

表5-1梁的线刚度计算表

梁号

截面b×h（㎡）

跨度

惯性矩/10-3m4

边框架梁

中框架梁

Ib=1.5I0

kb（104）

Ib=2I0

kb（104）

L1

0.6×0.3

7.80

5.4

8.1

2.90

10.8

3.88

L2

0.4×0.3

2.40

1.6

2.4

2.80

3.2

3.73

L3

0.6×0.3

8.40

5.4

8.1

2.73

10.8

3.60

L4

0.6×0.3

6.00

5.4

8.1

3.78

10.8

5.04

L5

0.6×0.3

4.00

5.4

8.1

5.67

10.8

7.56

L6

0.×0.25

7.80

2.6

3.9

1.40

5.2

1.87

L7

0.×0.25

2.40

2.6

3.9

4.55

5.2

6.06

5.1.2柱的线刚度，底层柱采用C30混凝土（Ec=3.0×104N/mm2）

表5-2柱的线刚度计算

柱号

截面b×h（㎡）

柱高/㎡

惯性矩Ic=bh3/12（m4）

线刚度Kc/Kn.m

1

0.5×0.5

5.15

5.2×10-3

3.03×104

2

0.5×0.5

4.2

5.2×10-3

3.47×104

横向框架计算简图见图5-1

5.1.3横向框架柱侧向刚度

横向框架柱侧向刚度D值计算见表5-3

图5-1横向框架计算简图

表5-3横向框架柱侧向刚度D值计算表

层次

柱类型

k=Σkb/2Σkc（一般层）k=Σkb/Σkc（底层）

α=k/（2+k）（一般层）α=（0.5+k0/（2+k）（底层）

各柱刚度Dim=12αkc/h2

根数

底层

边框边柱

0.96

0.493

6759

5

边框中柱

1.88

0.601

8239

5

中框边柱

1.28

0.543

7444

13

中框中柱

2.51

0.667

9144

17

ΣD

327210

标准层

边框边柱

0.84

0.296

6987

5

续表5-3

标准层

边框中柱

1.64

0.451

10646

5

中框边柱

1.12

0.359

8474

13

中框中柱

2.19

0.523

12346

17

ΣD

408209

5.1.4横向框架自振周期

按顶点位移法计算框架自振周期

T1=1.7α0

（5-1）

式中α0：

考虑非承重墙影响的基本周期缩短系数，取0.6；

ΔT：

结构顶点位移；

T1：

自振周期。

横向框架顶点位移计算见表5-4

表5-4横向框架顶点位移计算表

层次

Gi/kN

ΣGi/kN

ΣD/kN/m

层间相对位移δ=ΣGi/ΣD

Δi/m

4

8225.47

8225.47

408209

0.0202

0.2661

3

10878.8

19104.27

408209

0.0468

0.2459

2

10878.8

29983.07

408209

0.0735

0.1991

1

11122.4

41105.47

327210

0.1256

0.1256

所以T1=1.7α0

=1.7×0.6×

=0.5262（s）

5.1.5横向地震作用

由《抗震规范》查得在Ⅲ类场地，6度地区，结构特征周期Tg和地震影响系数αmax,Tg=0.55（s）,αmax=0.04。

因为T1=0.5262

结构横向总水平地震作用标准值：

Fek=αGeq=αmax（Tg/T1）γη2×0.85GE

=（0.55/0.5262）0.9×0.04×0.85×41105.47＝1454.35kN

各层横向地震剪力计算如下表5-5，

Fi=

FEK,Δue=

表5-5各层横向地震作用Fi、Vi、Δue计算

层次

hi/m

Hi/m

Gi（kN）

GiHi

（kN.m）

GiHi/ΣGiHi

Fi

Vi

（kN）

ΣD（kN/m）

Δue10-3m

4

4.20

17.75

8225.47

146002

0.323

469

469

408209

1.15

3

4.20

13.55

10878.80

147408

0.326

474

943

408209

2.31

2

4.20

9.35

10878.80

101717

0.225

327

1270

408209

3.11

1

5.15

5.15

11122.40

57280

0.127

185

1455

327210

4.45

Σ

--

－－

－－

452407

－－

--

－－

－－

－－

5.1.6横向框架抗震变形验算

多遇地震作用下，层间弹性位移验算见下表5-6

表5-6横向变形验算

层次

hi（m）

Vi（kN）

ΣD（kN/m）

Δue（m）

层间相对位移θeΔue/hi

4

4.20

469

408209

0.00115

1/3652

3

4.20

943

408209

0.00231

1/1818

2

4.20

1270

408209

0.00311

1/1350

1

5.15

1455

327210

0.00445

1/1157

层间弹性相对转角均满足要求θe<Δθe=1/550。

横向框架各层水平地震作用、地震剪力分布见图5-2.

图5-2横向框架各层水平地震作用、地震剪力分布

5.2水平地震作用下框架内力计算

以⑦轴横向框架为例进行计算，在水平地震作用下框架柱剪力及弯矩计算采用D值法，计算见表5-7

在水平地震作用下框架柱弯矩及剪力和轴力图

图5-3地震荷载作用下的弯矩图（kN.m）

图5-4地震荷载作用下的剪力和轴力（kN）

表5-7水平地震作用下柱弯矩计算

Mb右kN.m

－－

－－

－－

－－

17.91

45.40

69.11

89.18

Mb左kN.m

26.45

59.84

97.56

120.48

17.21

43.61

66.40

85.69

Mc上kN.m

26.45

45.30

60.50

70.02

35.12

64.65

80.54

94.33

Mc下kN.m

14.54

37.06

50.46

101.07

24.36

54.97

80.54

115.07

yh

1.49

1.89

1.91

3.06

1.72

1.93

2.10

2.83

k

1.12

1.12

1.12

1.28

2.19

2.19

2.19

2.51

Vim=（Dim/ΣDi）Vik

9.76

19.61

26.42

33.03

14.16

28.48

38.35

40.66

Dim=Σdi

0.0208

0.0208

0.0208

0.0227

0.0302

0.0302

0.0302

0.0279

各柱刚度Dim

8474

8474

8474

7444

12346

12346

12346

9144

层间刚度Di/kN/m

408209

408209

408209

327210

408209

408209

408209

327210

层间剪力Vik/kN

469

943

1270

1455

469

943

1270

1455

层次

4

3

2

1

4

3

2

1

柱号

B

C

5.3风荷载作用下框架的层间侧移验算

风荷载作用下的结构计算简图如图4-3所示，内力计算采用D值法，横向风荷载作用，横向框架层间弹性位移验算结果如表5-8所示。

表5-8横向框架层间弹性位移验算

层号

层间剪力Vi/kN

层间刚度Di/kN/m

uei=Vi/Di

Hi/m

uei/Hi

[θe]

4

14.15

408209

0.000035

4.20

1/121165

550

3

36.85

408209

0.00009

4.20

1/46526

2

57.49

408209

0.00014

4.20

1/29822

1

79.23

327210

0.000242

5.15

1/21269

从表中所列验算结果可以看出，横向风荷载作用的弹性变形满足要求。

5.4风荷载作用下框架内力计算

由第3.3节可知结构在风荷载作用下的计算简图，D值法计算结构在风荷载作用下的内力，计算过程及结果见表5-9~5-10.

风荷载作用下框架弯矩、剪力、轴力见图5-5~5-6.

表5-9风荷载作用下的柱端弯矩

层次

边柱

中柱

D/ΣD

V/kN

yih

M上

M下

D/ΣD

V/kN

yih

M上

M下

4

0.204

2.87

1.49

7.78

4.28

0.296

4.19

1.72

10.39

7.21

3

0.204

7.52

1.89

17.37

14.21

0.296

10.91

1.93

24.77

21.06

2

0.204

11.73

1.91

26.86

22.40

0.296

17.02

2.10

35.74

35.74

1

0.224

17.75

3.06

37.10

54.32

0.276

21.87

2.83

50.74

61.89

表5-10梁端风荷载弯矩和轴力

层次

边柱处

中柱处

剪力Vb/kN

轴力N/kN

ΣMc

ΣMbl/ΣKb

ΣMc

Kbl

Mbr

Mbl

AB梁

BC梁

边柱

中柱

4

7.8

-7.8

10.4

0.51

-5.3

-5.1

-1.68

-4.25

-1.68

-2.57

3

21.6

-21.6

32.0

0.51

-16.3

-15.7

-4.87

-13.08

-6.55

-8.21

2

41.0

-41.0

56.8

0.51

-29.0

-27.8

-8.98

-23.17

-15.53

-14.19

1

59.5

-59.5

86.5

0.51

-44.1

-42.4

-13.28

-35.33

-28.81

-22.05

5.5恒荷载作用下框架内力计算

5.5.1计算方法的选用

取出顶层、标准层进行分析，其结构计算简图见图5-7、5-8所示

图5-5风荷载作用下框架的弯矩图（kN.m）

图5-6风荷载作用下框架的剪力、轴力图（kN）

图5-7顶层荷载计算简图图5-8底层中间层荷载计算简图

5.5.2等效均布荷载的计算

图5-7、5-8中梁上分布荷载由矩形和梯形两部分组成，先将梯形分布荷载及三角形分布荷载化为等效均布荷载（见图5-9、5-10），等效均布荷载的计算公式如图5-11所示。

根据固端弯矩相等的原则可知：

q=（1-2α2+α3）p（5-2）

式中q为矩形均布荷载峰值；p为梯形均布荷载峰值。

图5-11梯形荷载分布

α=a/l=2.1/7.8=0.269

带入式（5-2），均布荷载可等效为：

顶层：

g4边=g4BD1+（1-2α2+α3）g4BC2=4.76+0.875×13.73=16.77kN/m

g4中=gCD1+5/8gCD2=3.15+5/8×7.85=8.06kN/m

其他层：

g边=gBC1+（1-2α2+α3）gBC2=32.95kN/m

g中=gCD1+5/8gCD2=3.15+5/8×8.18=8.26kN/m

图5-9顶层等效均布荷载图5-10底层、标准层等效均布荷载

5.5.3用弯矩分配法计算梁柱端弯矩

利用结构的对称性取二分之一结构计算，除底层外，柱的线刚度需乘以修正系数0.9，并且除底层外其他各层柱的弯矩传递系数均取三分之一。

修正后的梁柱线刚度见表5-11

表5-11梁柱线刚度（单位:

×10-3E）

层次

梁

柱

iBC（iDE）

iCD

ic

2~4

1.38

1.33

1.11

底层

1.38

1.33

1.01

中间层节点的分配系数和固端弯矩的计算

中间层B节点分配系数

μ上柱=

=1.11/（1.11×2+1.38）=0.308;

μ下柱=μ上柱=0.308；μAB=0.384。

中间层C节点分配系数

μ上柱=

=1.11/（2×1.11+1.38+1.33）=0.225;

μ下柱=μ上柱=0.225;μBC=1.38/（2×1.11+1.38+1.33）=0.28;

μCD=1.33/（2×1.11+1.38+1.33）=0.27。

中间层固端弯矩计算：

MBC=1/12g边l边2=1/12×32.95×7.82=167.06kN.m

MCE=1/3g中l中2=1/3×8.26×1.22=3.96kN.m

MFC=1/6g中l中2=1/6×8.26×1.22=1.98kN.m

顶层和底层节点的分配系数和固端弯矩的计算方法同中间层，各层弯矩分配法计算过程如图5-12~5-14。

表5-12分层法分配系数及恒载作用下固端弯矩计算结果（kN.m）

节点

单元

B

C

F

B下柱

B上柱

BC端

CB端

C下柱

C上柱

CF端

FC端

分配系数

顶层

0.446

－－

0.554

0.361

0.291

0.348

－－

中层

0.308

0.308

0.384

0.280

0.225

0.225

0.270

－－

底层

0.289

0.317

0.394

0.286

0.209

0.230

0.275

－－

固端弯矩

顶层

－－

－－

-85.02

85.02

－－

－－

-3.87

-1.93

中层

－－

－－

-167.06

167.06

－－

－－

-3.96

-1.98

底层

－－

－－

-167.06

167.06

－－

－－

-3.96

-1.98

图5-12顶层弯矩分配法计算过程

图5-13中间层弯矩分配法计算过程

图5-14底层弯矩分配法计算过程

5.5.4跨中弯矩计算

根据求得的支座弯矩和各跨的实际荷载分布，按平衡条件计算，框架梁在实际分布荷载作用下按简支梁计算的跨中弯矩M0，如下图所示。

在实际分布荷载作用下，框架梁的跨中弯矩M0按式（5-3）计算。

M=M0-

（5-2）

图5-15顶层跨中弯矩（图中数值单位kN）

图5-16其他层跨中弯矩（图中数值单位kN）

5.5.5恒载作用下的结构内力图

将分层法求得各层弯矩图叠加，可得整个框架在竖向荷载作用下的弯矩图。

因分层法计算造成的误差，叠加后各框架节点弯矩并不能达到平衡，为提高精度，可将节点不平衡弯矩再分配一次进行修正，据此可得出修正后整体结构的弯矩图，如图5-17。

弯矩调幅，调幅系数取β=0.85，跨中弯矩M=1.02μ0-（M左+M右）/2，M左、M右为调整后的弯矩图5-19。

根据调幅后的弯矩值算出梁柱的轴力、剪力，并画轴力、剪力图如图5-18、5-19所对于现浇楼盖，在计算框架梁的截面惯性矩时，对边框架梁取Ib=1.5I0（I0为矩形梁的截面惯性矩）；对中框架梁取Ib=2I0,采用C25混凝土，Ec=2.80×104N/mm2。

梁的线刚度计算如表5-1

横向框架柱侧向刚度D值计算见表5-3

按顶点位移法计算框架自振周期

T1=1.7α0

式中α0：

考虑非承重墙影响的基本周期缩短系数，取0.6；

ΔT：

结构顶点位移；

T1：

自振周期。

横向框架顶点位移计算见表5-4

所以T1=1.7α0

=1.7×0.6×

=0.5262（s）

由《抗震规范》查得在Ⅲ类场地，6度地区，结构特征周期Tg和地震影响系数αmax,Tg=0.55（s）,αmax=0.04。

因为T1=0.5262

结构横向总水平地震作用标准值：

Fek=αGeq=αmax（Tg/T1）γη2×0.85GE

=（0.55/0.5262）0.9×0.04×0.85×41105.47＝1454.35kN

各层横向地震剪力计算如下表5-5，

多遇地震作用下，层间弹性位移验算见下表5-6

层间弹性相对转角均满足要求θe<Δθe=1/550。

横向框架各层水平地震作用、地震剪力分布见图5-2.

以⑦轴横向框架为例进行计算，在水平地震作用下框架柱剪力及弯矩计算采用D值法，计算见表5-7

在水平地震作用下框架柱弯矩及剪力和轴力图

风荷载作用下的结构计算简图如图4-3所示，内力计算采用D值法，横向风荷载作用，横向框架层间弹性位移验算结果如表5-8所示。

从表中所列验算结果可以看出，横向风荷载作用的弹性变形满足要求。

由第3.3节可知结构在风荷载作用下的计算简图，D值法计算结构在风荷载作用下的内力，计算过程及结果见表5-9~5-10.

风荷载作用下框架弯矩、剪力、轴力见图5-5~5-6.

取出顶层、标准层进行分析，其结构计算简图见图5-7、5-8所示

图5-7、5-8中梁上分布荷载由矩形和梯形两部分组成，先将梯形分布荷载及三角形分布荷载化为等效均布荷载（见图5-9、5-10），等效均布荷载的计算公式如图5-11所示。

根据固端弯矩相等的原则可知：

q=（1-2α2+α3）p（5-3）

式中q为矩形均布荷载峰值；p为梯形均布荷载峰值。

α=a/l=2.1/7.8=0.269

带入式（5-2），均布荷载可等效为：

顶层：

g4边=g4BD1+（1-2α2+α3）g4BC2=4.76+0.875×13.73=16.77kN/m

g4中=gCD1+5/8gCD2=3.15+5/8×7.85=8.06kN/m

其他层：

g边=gBC1+（1-2α2+α3）gBC2=32.95kN/m

g中=gCD1+5/8gCD2=3.15+5/8×8.18=8.26kN/m

利用结构的对称性取二分之一结构计算，除底层外，柱的线刚度需乘以修正系数0.9，并且除底层外其他各层柱的弯矩传递系数均取三分之一。

修正后的梁柱线刚度见表5-11

间层节点的分配系数和固端弯矩的计算

中间层B节点分配系数

μ上柱=

=1.11/（1.11×2+1.38）=0.308;

μ下柱=μ上柱=0.308；μAB=0.384。

中间层C节点分配系数

μ上柱=

=1.11/（2×1.11+1.38+1.33）=0.225;

μ下柱=μ上柱=0.225;μBC=1.38/（2×1.11+1.38+1.33）=0.28;

μCD=1.33/（2×1.11+1.38+1.33）=0.27。

中间层固端弯矩计算：

MBC=1/12g边l边2=1/12×32.95×7.82=167.06kN.m

MCE=1/3g中l中2=1/3×8.26×1.22=3.96kN.m

MFC=1/6g中l中2=1/6×8.26×1.22=1.98kN.m

顶层和底层节点的分配系数和固端弯矩的计算方法同中间层，各层弯矩分配法计算过程如图5-12~5-14。

根据求得的支座弯矩和各跨的实际荷载分布，按平衡条件计算，框架梁在实际分布荷载作用下按简支梁计算的跨中弯矩M0，如下图所示。

在实际分布荷载作用下，框架梁的跨中弯矩M0按式（5-3）计算。

M左、M右为调整后的弯矩图5-19。

根据调幅后的弯矩值算出梁柱的轴力、剪力，并画轴力、剪力图如图5-18、5-19所示。

将分层法求得各层弯矩图叠加，可得整个框架在竖向荷载作用下的弯矩图。

因分层法计算造成的误差，叠加后各框架节点弯矩并不能达到平衡，为提高精度，可将节点不平衡弯矩再分配一次进行修正，据此可得出修正后整体结构的弯矩图，如图5-17所示。

图5-17恒荷载作用弯矩图（kN.m）

图5-18恒荷载作用剪力、轴力图（kN）

图5-19恒荷载作用梁端调幅后的弯矩图（kN.m）

5.6活荷载作用下框架内力计算

活荷载同时作用于所有框架梁上，跨中弯矩乘以1.1~1.2的系数，同样用分层法计算。

5.6.1等效均布荷载的计算

顶层：

P4边=（1-2α2+α3）P4BC=1.84kN/m

P4中=5/8PCD=0.75kN/m

其他层：

P边=（1-2α2+α3）PBC=7.35kN/m

P中=5/8PCD=3.75kN/m

5.6.2用弯矩分配法计算梁、柱端弯矩

顶层固端弯矩计算：

MBC=1/12P4边l边2=1/12×1.84×7.82=9.33kN.m

MCE=1/3P4中l中2=1/3×0.75×1.22=0.36kN.m

MEC=1/6P4中l中2=1/6×0.75×1.22=0.18kN.m

标准层固端弯矩计算：

MBC=1/12P边l边2=1/12×7.35×7.82=37.26kN.m

MCE=1/3P中l中2=1/3×3.75×1.22=1.80kN.m

MFC=1/6P中l中2=1/6×3.75×1.22=0.9kN.m

分层法分配系数及活荷载作用下固端弯矩计算结果如表5-13。

表5-13分层法分配系数及活载作用下固端弯矩计算结果（kN.m）

节点

单元

B

C

F

B下柱

B上柱

BC端

CB端

C下柱

C上柱

CE端

EC端

分配系数

顶层

0.446

－－

0.554

0.361

0.291

－－

0.348

－－

中层

0.308

0.308

0.384

0.280

0.225

0.225

0.