山东省届高三数学新高考模拟试题卷四附答案解析.docx
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山东省届高三数学新高考模拟试题卷四附答案解析
山东省2021届高三数学新高考模拟试题卷四
第】卷
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合zt={x|（x+l）（x-2）W0},B={x"v2},则）
A.[0,2]B.[0.1]C.（0,2]D.[-1.0]
2.若复数2=磊（1表示虚数单位）为纯虚数，则实数Q的值为（）
A.1B.0C.—JD.—1
3.设佃}为公差不为0的等差数列,p,q,k,I为正整数，则“p+Q祿+/”是“如+他>蚣+刀”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1
4.己知a=23,Z?
=log2yc=log]y贝lj（）
A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
5.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：
男、子、伯、侯、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级別每髙一级就多分加个（加为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的槪率是（）
Alb7c4d5
6・17世纪徳国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：
“几何学里有两件宝，一个是勾股左理，另一个是黄金分割.如果把勾股左理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿•”黄金三角形有两种，英中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36。
的等腰三角形（另一种是顶角为108。
的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金HABC中，器=写2根据这些信息，可得sm234°=（）
A
n/\c
3+迈
8C
7.已知Fi，円分别是双曲线C：
石一£=l（a>0,b>0）的左、右焦点，直线/为双曲线C的一条渐近线，用关于直线/的对称点F1在以用为圆心，以半焦距c为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）
A.^2C・2D.3
8・已知厶购。
为等边三角形，动点P在以BC为直径的圆上，若^=久廷+心乙则2+2“的最大值为（）
a.£B.1
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知a>b^2.贝lj（）
1211
A.b2<3b~aB・a3-\-b3>a2b-\~ab2C・ab>a+b
2abab
10.如图，已知矩形-15CD中,AB=2AD,E为边•毎的中点，将沿直线DE翻折成ZUlDE,若M为线段川C的中点，则厶诚在翻折过程中，下列说法正确的是（）
A.线段的长是左值B.存在某个位宜，使DEA.A1C
C.点M的运动轨迹是一个圆D.存在某个位置，使⑷丄平而如DE
11.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画而.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：
3+尸尸=16疋V2恰好是四叶玫塊线.给出下列结论正确的是（）
A.曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
C.曲线C用成区域的而积大于4兀
D.方程（W+护）3=16；6卫5，>0）表示的曲线C在第一象限和第三象限
12.已知函数7（x）=sm（ex+0）（6y>O）满足7（xo）=y（xo+l）=—专，且金）在（xo，xo+1）上有最小值，无最大值.则（）
B.若：
xo=0,则y（x）=sin（2nx—号
C.金）的最小正周期为3
D.金）在（0,2019）上的零点个数最少为1346个
第II卷
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲.乙.丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有种.（用
数字作答）
14.己知函数y（x）=x+2cosx+>.,在区间［o,上任取三个数XI,X2,X3,均存在以金1），y（X2）,7（X3）
为边长的三角形，则2的取值范围是.
15.设抛物线护=2px（p>0）的焦点为F（1.O）,准线为/,过焦点的直线交抛物线于B两点，分别过
A,E作/的垂线，垂足为C,D,若屮忏4眄，贝心=,三角形CDF的面积为•
16.在三棱锥P-ABC中，底而-18C是以ztC为斜边的等腰直角三角形，且肋=2,Rl=PC=yf5,
PB与底而ABC所成的角的正弦值为刍则三棱锥P-ABC的外接球的体积为•
四、解答题：
本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）如图，在ZU5C中，C=j,ZABC的平分线肋交zlC于点D且tanZCBZ）=|.
（1）求sin2：
（2）若C4CB=2S.求-15的长.
18.（12分淮①剧1—加=3（g?
>0），②—3d—9=0,③$=，一2”+2这三个条件中任选一个，补充在下而问题中.
已知:
数列仗”｝的前”项和为Sn,且ai=l,.
（1）求数列｛心｝的通项公式：
（2）对大于1的自然数小是否存在大于2的自然数加，使得⑴，血，切成等比数列・若存在，求加的最小值；若不存在，说明理由.
19.（12分）如图，在直角梯形J5CD中…4B//DC.Z.1BC=90°.AB=2DC=2BC.E为，毎的中点，沿DE将ZUDE折起，使得点d到点P位置，且PE丄EB.M为朋的中点，N是EC上的动点（与点DC不重合）.
（1）证明：
平而丄平|fffP5C：
（2）是否存在点N,使得二而角B-EN-M的余弦值为晋，若存在，确泄N点位程：
若不存在，说明理由.
20・（12分）沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大.为防范罕见眾发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群.经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下而的散点图及一些统计量的值.
产卵数/个
350-
•
300-
250-
20（1
150-
•
100-
•
5（）一
••八温度代
i1A
-10
7F
10
203040
平均温度X,C
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数X个
7
11
21
24
66
115
325
777777
»）=192,Xvf=569・D讯=18542,工x7=5414,,=25.2848,»囚=
nflrinr\n
（—1?
）
733.7079.其中zt=\nyhz=7&
Iri丿
（1）根据散点图判断，y=a+bx§y=ce珂其中e=2.718-自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？
（给岀判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根拯以往统汁，该地每年平均温度达到28°C以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28°C以上的概率为卩（0＜严1）・
1记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为金），求金）的最大值，并求岀相应的槪率p
2当金）取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.
n
S（咼一X）©-y）
AAA
附：
线性回归方程系数公式b=-,a=v-bx.
£（卫-X）2
/"I
21・（12分）已知圆6工+尸=4,左点J（L0）,P为平而内一动点，以线段廿为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）过点0（2,羽）的直线/与C交于E,F两点，已知点D（2,0）,直线x=xo分别与直线DE，DF交于
S,T两点.线段ST的中点M是否在上直线上，若存在，求岀该直线方程；若不是，说明理由.
22.（12分）已知函数金）=/一ax—cosx，其中dGR
（1）求证：
当aW—l时，y（x）无极值点；
（2）若函数gx）=7（x）+ln（x+l）,是否存在e使得0x）在x=0处取得极小值？
并说明理由.
1・答案：
A
解析：
求得J=[-l,2],B=[04）,所以J05=[0,2],故选A.
2.答案：
D
解析：
设z=bitbER且bHO,
1I-
□=bi,得到l+i=—ab+bi,
1+ai
•*.1=—ab9且1=6,解得a=—1,故选D.
3・答案：
D
解析：
设等差数列的公差为d.
Op+aq>ak4~a14-（p—l）d+ai+（q—V）d
>ai+（k—l）d+ai+（/—1）〃
=>d[（p+g）—伙+7）]>0
显然由p-\-q>k-\rl不一定能推出ap+a^>ak+ai,
由ap+ag>a*+a/也不一定能推出p+q>k+l,
因此p-\-q>k+l是ap+ag>e+a/的既不充分也不必要条件,故选D.
4・答案：
C
解析：
设首项为"i，因为和为80,
所以5ai+㊁X5X4X?
n=80,故m=8—|ai.因为加，
因此"公”恰好分得30个橘子的概率是壬故选B6.答案：
C
解析：
由题可知厶1CE=72。
F宓如凸—1
AC
Kcos72。
一一7^■—~，cos144°=2cos272。
-1=-逅矜则sm234o=sm（144°+90°）=cos144。
=一耳乜故选C.
7・答案：
C
TFi,刃是双曲线C的左.右焦点,.•.Fi（—c,0）,F2（c,0）,
TFi关于直线/的对称点为F1,则F1为（x,y）,
•yav+0bX—C••尿=_=^=一・^.
•••Fi在以Fz为圆心，以半焦距c为半径的圆上,
.•件｝+d=d,
整理可得4，=民即2a=c9
.9.e=-=2,故选C.a
方法二：
由题意知1O|=|OF1|=|OF2|=|F/02|,
所以三角形F1F1F2是直角三角形，且ZF1F1F2=3O°,
又由焦点到渐近线的距离为4得iFi|=2i,
所以2b=tc,所以e=2.
故选C.
8.答案：
C
解析：
设△J5C的边长为2.不妨设线段BC的中点0为坐标原点，BC所在直线为X轴建立平面直角坐标系则点A（09羽）、B（-LO）.C（1,O）,
以线段BC为直径的圆的方程为*+护=1,
设点P（cos&,sin—,
则=（_],—a/5），=（1，—羽），=（cos09sin0—y[3）9
由于=几+“，
贝〔J—2+“=cos—羽2—羽“=sin0—羽，
因此，2+2“的最大值为舟.
故选C.
9.答案：
BC
解析：
对于A,因为a>b22,
所以b2-（3b-a）=（a-b）+b（b-2）>Q.
故A错误；
对于B,可通过作差证明，B正确；
当<7=10,b=2时，左边=右边=扌,
故D错误.
所以，选BC.
10.答案：
AC
解析：
对A,取CD中点F,
连接MF,BF.则MF〃DgBF//DE,
由ZA\DE=ZMFB,MF=^AYD为定值，FB=DE为定證、
由余弦定理可得
MB》=MF1^FB2-IMFFBcosZMFB,
所以FE为定值，A正确；
若B正确，即DE±AiC9由Z/ED=ZBEC=45。
可得DE丄C£\则DE丄平面AxEC.
所以DE丄AiE.而这与ZUi丄/送矛盾，故B错误；
因为E是定点，所以M在以E为圆心，⑷为半径的圆上，故C正确；
取CD中点F,连接MF,BF,
则AdF//DAi9BF//DE.
由面面平行的判定定理得平面〃平面AiDE.
即有⑷〃平面AiDE,可得D错误.
故选AC.
11.答案：
BD
解析：
（W+3今=16心2勺6（匸尹
解得《+护冬4（当且仅当*=护=2时取等号），则B正确；
将工+3，=4和（工+〕今=16ry联立，
解得x2=/=2,
即圆《+护=4与曲线C相切于点（迈，返），（―\/2,迈），（―\/2,—\/2）,（迈，一返）,则A和C都错误；
由q>0,得D正确.综上，选BD.
12.答案：
AC
解析：
（Xo，Xo+1）区间中点为Xo+刁
根据正弦曲线的对称性知右.+¥）=—1,
故选项A正确；
若xo=0,则夬xo）=V（xo+1）=—舟，
即sm（p=—y不妨取0=—§，此时Xx）=sin（27cv—彳），满足条件，
但/¥）=1为（0,1）上的最大值，不满足条件,
故选项B错误;
两式相减得即函数的周期7=77=3,
故C正确；
区间（0,2019）的长度恰好为673个周期，
当/0）=0时，即0=M（kGZ）时，
金）在开区间（0,2019）上篆点个数至少为673X2-1=1345,
故D错误.故正确的是AC.
13.答案：
660
解析：
若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C3C认j种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C詁1种，则不同的分配方案共有C3CiAj+CgAj=66O种.
14.答案:
（件誓,+8）
解析：
求导得f（x）=l—2sinx,令（x）=0,得x=?
又由題意知7（彳）
易得心昨=点）=¥+书+2,
=壬+/>0,
由此解得2的取值范围为>>羽一辛.
15.答案：
25
解析：
抛物线y^=2px（p>Q）的焦点为F（1.0）,所以p=2,准线为x=-l,
设过焦点的直线方程为x=?
wv+l,
设A（xi.yi）♦5（x2♦旳），
'一b，=4x
/•vi>'2=—4①
又世］=40F|,yi=~4y2②
由①②解得yi=—4,必=］或h=4,j2=—1,
所以|仞|=网一划=5,
所以三角形CDF的面积为㊁X2X5=5.
解析：
如图，取2C中点O',
因为PA=PC=^5,AB=BC9所以2C丄PO9,AC丄O'B,所以丄平面POfB,所以平面PO‘B丄平面ABC,易知ZO‘BP即为朋与底面2BC所成的角或补角.
O'B=£、O1P=<3,所以在△（/PB中，ey+PB2—2pPBcosZO‘BP=©『,因为smZ（TBP=£当cosZO'BF=普时,求得PB=3,此时ZPCB=ZR1B=90°.
9tf故“为三棱锥PABC外接球直径，r=—：
当cosZO'BP=-晋时,求得PB=\,延长BO'交外接球于0,则为圆O'的直径，则△。
肿的外接圆直径为球的直径，由PO2=BO2+BP2-2BOBPcosZOBP
-2-2
球的直径为2R=/；“=回
smZOBP、
可求得心弩.
综上外接球的体积为竽或竺驴
17.解析：
⑴设ACBD=e,因为taii^=|,
又&W（0,号），故sin0=習,cos0=^^-,
则sinZJ5C=sin2&=2sinOcos0
故sm-4=sin^7r—（扌+20）
=sin（f+2&
»=^（sm20+cos26）
R「ip
⑵由正弦定理砧~smZABC即爺=普，所以兀=誓0
io5
又=爭||||=28,
所以||||=28^/2,所以JC=4<2,
T,ABACJBAC—.-乂由^mC=smZJBC*連'所UJB=5'25
18.解析：
方案一：
选条件①.
（1）由尿+i_尿=3,得｛加｝是公差为3的等差数列,由6=1,得a?
=l,则於=3〃一2,
又伽>0,所以&=a/3〃—2.
（2）根据ai,a”，a”成等比数列，
得到a^=aiam9即3〃—2=p3加—2,
则有加=3沪一4幵+2,因为wEN*且“22,
所以w=3w2-4/?
+2GN\
当n=2时，加込=6；
方案二：
选条件②.
⑴因为a^—artani—3%l9=0
0（宀+3）（伽一血i—3）=0,
因为a】=l,所以an—ani—3=0>
则仗”｝是等差数列，则“=3“一2.
（2）要使得anan.亦成等比数列.
只需要於=4伽，即（3〃一2尸=3加一2,
则有加=3沪一4n+2,
因为z/GN4且”22,所以加=3〃2—4〃+2WNS
当”=2时，Z?
?
mm=6；
方案三：
选条件③.
177=1
⑴由Sw=7?
2—2?
；+2,得如=•
2”—3“M2
（2）要使得a】，a„,岛成等比数列,
只需要a%=aiGn,即（2“一3）2=2加一3,
则有m=2n2—6w+6,
因为z/GN4且幵$2,所以?
w=2w2-6h+6GN4,
当”=2时，Wmm=2.
19.解析：
（1）证明：
因为M丄肋，PE丄ED、EBCED=E.所以PE丄平面EBCD
又PEU平面PE瓦所以平面PEB丄平面EBCQ,
而ECU平面肪CD,BCIEB.
所以平面PBC丄平面PEB、
由PE=EB,PM=MBEMLPB.于是EM丄平面PEC.
又EMU平面EMV,所以平面EMV丄平面PBC.
（2）假设存在点N满足题意，取E为原点，
直线肪，ED,EP分别为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系Eaj-,不妨设PE=EB=2,显然平面BEV的一个法向量为ni=（O.O,l）,
设BN=7n（0<}n<2）9
则=（1Q1）,=（2,九0）.
设平面EACV的一个法向呈为/i2=（x,v,z）,
则由/12=^2=0,
（1,0,1）（x,v,z）=0fx+z=0
即［,即［,
u（2,加,0）（x,y,z）=0|_2x+w=0
故可取n2=（m9—2,—w）>
所以COS（/I1，"2〉=
〃2
mm
_（0t0tl）（w>~2>—m）—m
<2初2+4寸2加2+4’
依题意I活卜瞑
解得加=1W（O,2）,此时N为PC的中点.
综上知，存在点M使得二面角EENM的余弦值为罟,此时N为BC的中点.
20.解析：
（1）根据散点图可以判断，y=ce必更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类
对y=ce必两边取自然对数，得lny=lnc+dx；
令z=lnv,a=lnc,b=d,得z=a+bx；
7__
X（Xr—x）（Zr—Z）f-1
因为="
工（X,—X）2
=z-x=3.612-0.272X27.429^-3.849：
所以2关于x的回归方程为=0.272x-3.849：
所以y关于X的回归方程为=eORy3.849
（2）①由Xp）=CT-（l-p）2,
得/（p）=C?
p2（l-p）（3—5p）,
因为0<旷1,令f（p）>0,得3—5p>0,所以金）在（0,I）上单调递增，
在（I,1）上单调递减，
所以金）有唯一的极大值为7（|），也是最大值;所以当严丰时，几叽p=|,所以X〜E（5,I）,所以X的数学期望为£（^）=5x|=3,方差为刀3）=5x|x|=|.
21.解析：
（1）设以为直径的圆的圆心为B,切点为N,则|0同=2-區纬••・OB\+\BA\=2.
取/关于y轴的对称点zf,连接J'P.
故屮P\+\AP\=2（\BO\+|BzlI）=4>2.
所以点P的轨迹是以2为焦点，长轴长为4的椭圆.
其中，67=2,c=l,
曲线C方程为普
（2）设直线/的方程为x=e+（2—羽少设E（xi,yi）♦Fgm）,M（xo,yo）9直线DE的方程为，=芒舟一2）,故J‘s=W^（xo—2）,同理W=^±5（xo—2）；
所以2yo=ys+yT=^-^XQ-2）+^Z^（xo—2）,即鵲沽+応
=2®-羽©i+m）疗
t[y^2—也（yi+旳）+3]'、'」
护』=?
+（2_归）
皆+4护一12=0
化简得（3*+4）护+（12『一6书卢）尹+9»—12羽『=0,
U（6^3^-12/92-12萌『
所以H+]々=・•\卢+4，阳2=“32+4
代入③得,
=~=—⑴二⑴xo+2vq—2y[3=0,
所以点M都在定直线⑴x+23‘一=0上.
22.解析：
（1）证明：
对7（x）求导得/*（x）=*+sinx—a,显然*>0,sinx2—1,
所以W+sinx—a>0—1—a$0,即/*（x）>0,
所以Xx）在其定义域上是单调递增函数，
故只力无极值点；
⑵解法一：
对g（x）求导得
g'（x）=eX+#y-a+sinx（x>-1）,
又注意到g'（0）=2—a,令g'（0）=2-a=0,得<7=2.
此时g'2+sinx,
令力（x）=g‘匕）=*+三了一2+sinx,则於（X）=*—（x+]）2+cOSX,显然，在x£（0,彳）上，eY>l>（、；]F，cosx>0,此时hf（x）=*—（J乔+cosx>0,故力（x）在（0,¥）上是増函数,所以力（x）>力（0）=0,
即g'（x）=*+Wy-2+smx>0；又当xG（-l,0）时，
令s（x）=（x+l）?
e\/（x）=（x+l）2cosx,
则s'（x）=（x+l）（・x+3）*>0,
s（x）是（一1,0）上的增函数，
所以S（—l）vs（xZ（0）,即（Xs（x）vl,
故存在区间（xi.O）C（-hO）,使即*#T?
又0v（x+1）2<1,cosl使
，即cosQ莎帀,
现设（xi,O）n（x2,O）=（xo,O）,
则在区间（XO,O）上，*>心；1）2'COSX%；1）2同时成立,
故力（x）在血0）上是増函数，/心）4（0）=0.从而存在区间（gO）,使得g'（-V）=4-—24-siiix<0:
因此存在a=2,使得g（x）在x=0处取得极小值•
解法二：
x=0是夬x）的极小值点的必要条件是f（0）=2—°,即。
=2一此时，g'（x）=eX+y^j—2+smx,显然当x曰0,号）时,
g'（x）=ex+y^-2
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