第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例学案新人教B版必修3.docx

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第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例学案新人教B版必修3

1．3　中国古代数学中的算法案例

　1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法．　2.掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤．

　　[学生用书P19]）

中国古代的三个算法案例

（1）等值算法在我国古代也称为更相减损之术，它是用来求两个正整数最大公约数的算法．其基本过程是：

对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则所得数就是所求的最大公约数．

（2）割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的一种方法．

（3）秦九韶算法是我国宋代数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算多项式的值的方法．

1．判断正误．（对的打“√”，错的打“×”）

（1）求两个正整数的最大公约数可以用更相减损之术．（　　）

（2）利用秦九韶算法计算时，乘法运算与加法运算次数相等．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　

2．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是（　　）

A．2　B．3

C．4D．5

解析：

选C.294－84＝210，210－84＝126，126－84＝42，84－42＝42，共做4次减法运算．

3．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（　　）

A．6，6B．5，6

C．5，5D．6，5

答案：

A

　用等值算法求最大公约数[学生用书P19]

　用等值算法求319和261的最大公约数．

【解】　319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，

145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29.

即（319，261）→（261，58）→（203，58）→（145，58）→（87，58）→（58，29）→（29，29）．

所以319与261的最大公约数是29.

等值算法的步骤

（1）判断两数是否都为偶数，若是，则都除以2直到所得两数不全为偶数．

（2）用较大的数减去较小的数，将差和较小的数构成一对新数，继续用较大数减去较小数，重复执行．

（3）当差和较小数相等时，结束执行，此时差（或较小数）为不全为偶数的两数的最大公约数．　

[注意]　原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数与约简的因数的乘积.

　下列关于利用更相减损之术求156和72的最大公约数的说法正确的是（　　）

A．都是偶数必须约简

B．可以约简，也可以不约简

C．第一步作差为156－72＝84，第二步作差为72－84＝－12

D．以上说法都不正确

解析：

选B.A项约简是为了使运算更加简便快速，并不是一定需要约简，B项正确，C项第一步作差为156－72＝84，第二步作差为84－72＝12.故选B.

　秦九韶算法[学生用书P20]

　利用秦九韶算法分别计算f（x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2与x＝－1时的值，并判断f（x）在区间[－1，2]上有没有零点．

【解】　因为f（x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1

＝（（（（（（8x＋5）x＋0）x＋3）x＋0）x＋0）x＋2）x＋1，

且x＝2，

所以v0＝8，

v1＝8×2＋5＝21，

v2＝21×2＋0＝42，

v3＝42×2＋3＝87，

v4＝87×2＋0＝174，

v5＝174×2＋0＝348，

v6＝348×2＋2＝698，

v7＝698×2＋1＝1397.

所以当x＝2时，f（x）＝1397.

同理可求当x＝－1时，f（x）＝－1，

又因为f（－1）f

（2）＝－1397<0，

则f（x）在区间[－1，2]上有零点．

秦九韶算法的步骤

　当x＝5时，求多项式f（x）＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7的值．

解：

f（x）＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7

＝（（（（2x－5）x－4）x＋3）x－6）x＋7，

v0＝2，

v1＝2×5－5＝5，

v2＝5×5－4＝21，

v3＝21×5＋3＝108，

v4＝108×5－6＝534，

v5＝534×5＋7＝2677.

所以f（5）＝2677.

　实际问题的应用[学生用书P20]

　有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？

【解】　由题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：

343－147＝196，

196－147＝49，

147－49＝98，

98－49＝49.

所以147与343的最大公约数是49.

再求49与133的最大公约数：

133－49＝84，

84－49＝35，

49－35＝14，

35－14＝21，

21－14＝7，

14－7＝7.

所以147，343，133的最大公约数是7.

所以每瓶最多装7g.

将生活中的问题转化为数学模型，利用数学思想中的算法解决，较为简便．　

　现有长度为240cm和560cm两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？

解：

（560，240）→（320，240）→（80，240）→（80，160）→（80，80），即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80cm时，体积最大且不浪费材料．

1．用等值算法求两数最大公约数时，当大数减去小数的差恰好等于小数时停止，这时小数就是要求的两数的最大公约数．

2．求三个或三个以上的数的最大公约数时，可依次通过求两数的最大公约数与第三个数的最大公约数求得．

3．用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外逐层计算求得．

利用秦九韶算法求多项式的值，当多项式中有几项不存在时，可将这几项的系数看成0，即0·xn，添上这些项，避免因漏项而出现错误．

1．在等值算法（“更相减损之术”）的方法中，其理论依据是（　　）

A．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍数

B．每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约数

C．每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同

D．每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同

解析：

选B.由更相减损之术算法可知选B.

2．用更相减损之术求得68和86的最大公约数是（　　）

A．2　　B．4

C．6D．16

解析：

选A.由更相减损之术得，86－68＝18，68－18＝50，50－18＝32，32－18＝14，18－14＝4，14－4＝10，10－4＝6，6－4＝2，4－2＝2，故68和86的最大公约数是2.

3．用秦九韶算法求f（x）＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f（x）变形为________．

解析：

f（x）＝x3－3x2＋2x－11＝（x2－3x＋2）x－11＝（（x－3）x＋2）x－11.

答案：

（（x－3）x＋2）x－11

4．用秦九韶算法求f（x）＝2x3＋x－3当x＝3时的值时，v2＝________.

解析：

根据秦九韶算法，把多项式改为f（x）＝（（2x＋0）x＋1）x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.

答案：

19

　　　　　　　　[学生用书P89（单独成册）]）

[A　基础达标]

1．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为（　　）

A．运算速率快

B．能计算出π的精确值

C．“内外夹逼”

D．无限次地分割

解析：

选C.割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到π的不足和过剩近似值，其分割次数是有限的．

2．用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是（　　）

A．15　　B．17

C．51D．85

解析：

选B.由更相减损之术得，204－85＝119，119－85＝34，85－34＝51，51－34＝17，34－17＝17，故204与85的最大公约数为17.

3．使用秦九韶算法求p（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，做加法与乘法的次数分别为（　　）

A．n，n

B．n，

C．n，2n＋1

D．2n＋1，

解析：

选A.由秦九韶算法可知，做加法与乘法的次数都为n次，故选A.

4．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（　　）

A．10B．9

C．12D．8

解析：

选C.f（x）＝（（（（（6x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x＋7，

所以加法6次，乘法6次，所以6＋6＝12（次），故选C.

5．m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号a≡b（Modm）表示，则下列各式中不正确的为（　　）

A．12≡7（Mod5）

B．21≡10（Mod3）

C．34≡20（Mod2）

D．47≡7（Mod40）

解析：

选B.逐一验证，对于A，12－7＝5是5的倍数；对于B，21－10＝11不是3的倍数；对于C，34－20＝14是2的倍数；对于D，47－7＝40是40的倍数，故选B.

6．用更相减损之术求156与91的最大公约数时，需要做减法运算的次数是__________．

解析：

用更相减损术求156与91的最大公约数的过程如下：

156－91＝65，91－65＝26，65－26＝39，39－26＝13，26－13＝13.故13是最大公约数，共进行了5次减法运算．

答案：

5

7．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4时的值时，其中v1的值为________．

解析：

由题意知

答案：

－7

8．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时值的算法：

①第一步，x＝－2.

第二步，f（x）＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.

第三步，输出f（x）．

②第一步，x＝－2.

第二步，f（x）＝（（（（7x＋5）x＋10）x＋10）x＋5）x＋1.

第三步，输出f（x）．

③需要计算5次乘法，5次加法．

④需要计算9次乘法，5次加法．

以上说法中正确的是________（填序号）．

解析：

由秦九韶算法可知②③正确．

答案：

②③

9．求324，243，135的最大公约数．

解：

（324，243）→（81，243）→（81，162）→（81，81），故81是324与243的最大公约数．

又（135，81）→（54，81）→（54，27）→（27，27），

故27是81与135的最大公约数．

所以324，243，135的最大公约数为27.

10．已知n次多项式Pn（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0（ak≠0，k＝0，1，…，n），x0为任意实数．

（1）在平常的算法中，计算x

（k＝2，3，…，n）的值需要进行k－1次运算，计算P3（x0）＝a3x3＋a2x2＋a1x＋a0的值共需要进行9次运算（6次乘法、3次加法），那么计算Pn（x0）的值需要进行多少次运算？

（2）若用秦九韶算法计算Pn（x0）的值，则需要进行多少次运算？

解：

（1）加法运算次数为n，乘法运算次数为1＋2＋3＋…＋n＝

，所以共需n＋

＝

（次）．

（2）加法运算次数为n次，乘法也为n次，共需2n次．

[B　能力提升]

11．若int（x）是不超过x的最大整数（如int（4.3）＝4，int（4）＝4），则下列程序的目的是（　　）

x＝input（“x＝”）；

y＝input（“y＝”）；

m＝x；

n＝y；

while　m/n＜＞int（m/n）

　c＝m－int（m/n）*n；

　m＝n；

　n＝c；

end

disp（n）

A．求x，y的最小公倍数

B．求x，y的最大公约数

C．求x被y整除的商

D．求y除以x的余数

解析：

选B.由程序的功能知选项B正确．

12．已知多项式p（x）＝3x5＋9x4＋x3＋kx2＋4x＋11，当x＝3时值为1616，则k＝________．

解析：

由秦九韶算法，得p（x）＝（（（（3x＋9）x＋1）x＋k）x＋4）x＋11.

则当x＝3时，

p（3）＝（（（（（9＋9）×3＋1）×3）＋k）×3＋4）×3＋11

＝（495＋3k＋4）×3＋11

＝9k＋1508＝1616，

所以k＝12.

答案：

12

13．用秦九韶算法求当x＝2时，f（x）＝

x6－3x4＋2x3－x2＋5x－1的值．

解：

因为f（x）＝（（（（（

x＋0）x－3）x＋2）x－1）x＋5）x－1，

所以v0＝

；v1＝

×2＋0＝

；v2＝

×2－3＝－2；

v3＝－2×2＋2＝－2；v4＝－2×2－1＝－5；

v5＝－5×2＋5＝－5；v6＝－5×2－1＝－11.

所以当x＝2时，f（x）＝－11.

14．（选做题）求π的近似值可以用以下公式：

＝

＋

＋…＋

，当n越大时，越接近π的真实值．写出当n＝1000时，求π的近似值的程序并画出相应的程序框图．

解：

程序如下：

i＝1；

S＝0；

whilei＜＝1000

　T＝1/（i^2）；

　S＝S＋T；

　i＝i＋1；

end

M＝6*S；

P＝sqrt（M）；

print（%io

（2），P）；

程序框图如图所示：