第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例学案新人教B版必修3.docx

1、第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例学案新人教B版必修313中国古代数学中的算法案例1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法2.掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤学生用书P19)中国古代的三个算法案例(1)等值算法在我国古代也称为更相减损之术，它是用来求两个正整数最大公约数的算法其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数相等为止，则所得数就是所求的最大公约数(2)割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注九章算术中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率的一种方法(3)秦九韶算法是我国

2、宋代数学家秦九韶在他的代表作数书九章中提出的一种用于计算多项式的值的方法1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)求两个正整数的最大公约数可以用更相减损之术()(2)利用秦九韶算法计算时，乘法运算与加法运算次数相等()答案：(1)(2)2用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是()A2 B3C4 D5解析：选C.29484210，21084126，1268442，844242，共做4次减法运算3用秦九韶算法计算多项式f(x)3x64x55x46x37x28x1当x0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A6，6 B5，6C5，5 D6，5答案：A用等值算法求最大

3、公约数学生用书P19用等值算法求319和261的最大公约数【解】31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929.即(319，261)(261，58)(203，58)(145，58)(87，58)(58，29)(29，29)所以319与261的最大公约数是29.等值算法的步骤(1)判断两数是否都为偶数，若是，则都除以2直到所得两数不全为偶数(2)用较大的数减去较小的数，将差和较小的数构成一对新数，继续用较大数减去较小数，重复执行(3)当差和较小数相等时，结束执行，此时差(或较小数)为不全为偶数的两数的最大公约数 注意原先两数的最大公约数是两式相减

4、所得公约数与约简的因数的乘积. 下列关于利用更相减损之术求156和72的最大公约数的说法正确的是()A都是偶数必须约简B可以约简，也可以不约简C第一步作差为1567284，第二步作差为728412D以上说法都不正确解析：选B.A项约简是为了使运算更加简便快速，并不是一定需要约简，B项正确，C项第一步作差为1567284，第二步作差为847212.故选B.秦九韶算法学生用书P20利用秦九韶算法分别计算f(x)8x75x63x42x1在x2与x1时的值，并判断f(x)在区间1，2上有没有零点【解】因为f(x)8x75x63x42x1(8x5)x0)x3)x0)x0)x2)x1，且x2，所以v08，

5、v182521，v2212042，v3422387，v48720174，v517420348，v634822698，v7698211 397.所以当x2时，f(x)1 397.同理可求当x1时，f(x)1，又因为f(1)f(2)1 3970，则f(x)在区间1，2上有零点秦九韶算法的步骤 当x5时，求多项式f(x)2x55x44x33x26x7的值解：f(x)2x55x44x33x26x7(2x5)x4)x3)x6)x7，v02，v12555，v255421，v32153108，v410856534，v5534572 677.所以f(5)2 677.实际问题的应用学生用书P20有甲、乙、丙三种

6、溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？【解】由题意，每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数先求147与343的最大公约数：343147196，19614749，1474998，984949.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：1334984，844935，493514，351421，21147，1477.所以147，343，133的最大公约数是7.所以每瓶最多装7 g.将生活中的问题转化为数学模型，利用数学思想中的算法解决，较为简便 现有长度为240 cm和560 c

7、m两种规格的钢筋若干，要焊接一批同规格的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体体积最大且不浪费材料？解：(560，240)(320，240)(80，240)(80，160)(80，80)，即240和560的最大公约数为80.故将正方体的棱长设计为80 cm时，体积最大且不浪费材料1用等值算法求两数最大公约数时，当大数减去小数的差恰好等于小数时停止，这时小数就是要求的两数的最大公约数2求三个或三个以上的数的最大公约数时，可依次通过求两数的最大公约数与第三个数的最大公约数求得3用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外逐层计算求得利用秦九韶算法求多项式的值，当多项式中有几项不

8、存在时，可将这几项的系数看成0，即0xn，添上这些项，避免因漏项而出现错误1在等值算法(“更相减损之术”)的方法中，其理论依据是()A每次操作所得的两数和前两数具有相同的最小公倍数B每次操作所得的两数和前两数具有相同的最大公约数C每次操作所得的两数和前两数的最小公倍数不同D每次操作所得的两数和前两数的最大公约数不同解析：选B.由更相减损之术算法可知选B.2用更相减损之术求得68和86的最大公约数是()A2 B4C6 D16解析：选A.由更相减损之术得，866818，681850，501832，321814，18144，14410，1046，642，422，故68和86的最大公约数是2.3用秦九

9、韶算法求f(x)x33x22x11的值时，应把f(x)变形为_解析：f(x)x33x22x11(x23x2)x11(x3)x2)x11.答案：(x3)x2)x114用秦九韶算法求f(x)2x3x3当x3时的值时，v2_.解析：根据秦九韶算法，把多项式改为f(x)(2x0)x1)x3，v02，v12306，v263119.答案：19, 学生用书P89(单独成册)A基础达标1我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率，其算法的特点为()A运算速率快B能计算出的精确值C“内外夹逼”D无限次地分割解析：选C.割圆术用正多边形面积代替圆面积的方法是内外夹逼，能得到的不足和过剩近似值

10、，其分割次数是有限的2用“等值算法”可求得204与85的最大公约数是()A15 B17C51 D85解析：选B.由更相减损之术得，20485119，1198534，853451，513417，341717，故204与85的最大公约数为17.3使用秦九韶算法求p(x)anxnan1xn1a1xa0在xx0时的值时，做加法与乘法的次数分别为()An，nBn，Cn，2n1D2n1，解析：选A.由秦九韶算法可知，做加法与乘法的次数都为n次，故选A.4用秦九韶算法计算多项式f(x)6x65x54x43x32x2x7在x0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()A10 B9C12 D8解析：选C.f(

11、x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7，所以加法6次，乘法6次，所以6612(次)，故选C.5m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果ab是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号ab(Mod m)表示，则下列各式中不正确的为()A127(Mod 5)B2110(Mod 3)C3420(Mod 2)D477(Mod 40)解析：选B.逐一验证，对于A，1275是5的倍数；对于B，211011不是3的倍数；对于C，342014是2的倍数；对于D，47740是40的倍数，故选B.6用更相减损之术求156与91的最大公约数时，需要做减法运算的次数是_解析：用更相减损术求156与91的最大公约数的

12、过程如下：1569165，916526，652639，392613，261313.故13是最大公约数，共进行了5次减法运算答案：57用秦九韶算法求多项式f(x)1235x8x279x36x45x53x6当x4时的值时，其中v1的值为_解析：由题意知答案：78用秦九韶算法求多项式f(x)7x55x410x310x25x1当x2时值的算法：第一步，x2.第二步，f(x)7x55x410x310x25x1.第三步，输出f(x)第一步，x2.第二步，f(x)(7x5)x10)x10)x5)x1.第三步，输出f(x)需要计算5次乘法，5次加法需要计算9次乘法，5次加法以上说法中正确的是_(填序号)解析：

13、由秦九韶算法可知正确答案：9求324，243，135的最大公约数解：(324，243)(81，243)(81，162)(81，81)，故81是324与243的最大公约数又(135，81)(54，81)(54，27)(27，27)，故27是81与135的最大公约数所以324，243，135的最大公约数为27.10已知n次多项式Pn(x)anxnan1xn1a1xa0(ak0，k0，1，n)，x0为任意实数(1)在平常的算法中，计算x(k2，3，n)的值需要进行k1次运算，计算P3(x0)a3x3a2x2a1xa0的值共需要进行9次运算(6次乘法、3次加法)，那么计算Pn(x0)的值需要进行多少次

14、运算？(2)若用秦九韶算法计算Pn(x0)的值，则需要进行多少次运算？解：(1)加法运算次数为n，乘法运算次数为123n，所以共需n(次)(2)加法运算次数为n次，乘法也为n次，共需2n次B能力提升11若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)4，int(4)4)，则下列程序的目的是()xinput(“x”)；yinput(“y”)；mx；ny；whilem/nint(m/n)cmint(m/n)*n；mn；nc；enddisp(n)A求x，y的最小公倍数B求x，y的最大公约数C求x被y整除的商D求y除以x的余数解析：选B.由程序的功能知选项B正确12已知多项式p(x)3x59x4

15、x3kx24x11，当x3时值为1 616，则k_解析：由秦九韶算法，得p(x)(3x9)x1)xk)x4)x11.则当x3时，p(3)(99)31)3)k)34)311(4953k4)3119k1 5081 616，所以k12.答案：1213用秦九韶算法求当x2时，f(x)x63x42x3x25x1的值解：因为f(x)(x0)x3)x2)x1)x5)x1，所以v0；v120；v2232；v32222；v42215；v55255；v652111.所以当x2时，f(x)11.14(选做题)求的近似值可以用以下公式：，当n越大时，越接近的真实值写出当n1 000 时，求的近似值的程序并画出相应的程序框图解：程序如下：i1；S0；while i1000T1/(i2)；SST；ii1；endM6*S；Psqrt(M)；print(%io(2)，P)；程序框图如图所示：