第1节 集合.docx

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第1节集合

第1节　集　合

考试要求　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识梳理

1.元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

（1）子集：

若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或

BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合的运算性质

（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

（3）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A.

[常用结论与微点提醒]

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

2.子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

3.注意空集：

空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.

4.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

5.∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

诊断自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集.（　　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}.（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（4）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　　）

解析　

（1）错误.空集只有一个子集.

（2）错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞），{（x，y）|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.

（3）错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（新教材必修第一册P9T1

（1）改编）若集合P＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则（　　）

A.a∈PB.{a}∈P

C.{a}⊆PD.a∉P

解析　因为a＝2

不是自然数，而集合P是不大于

的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.

答案　D

3.（老教材必修1P44A组T5改编）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.

解析　集合A表示以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素.

答案　2

4.（2019·全国Ⅲ卷）已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（　　）

A.{－1，0，1}B.{0，1}

C.{－1，1}D.{0，1，2}

解析　因为B＝{x|x2≤1|}＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1}.

答案　A

5.（2019·全国Ⅱ卷改编）已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，全集U＝R，则（∁UA）∪B＝（　　）

A.（－1，＋∞）B.（－∞，2）

C.（－1，2）D.∅

解析　易知∁UA＝{x|x≤－1}，B＝{x|x<2}.

∴（∁UA）∪B＝{x|x<2}.

答案　B

6.（2020·南昌调研）已知集合M＝{x|0

A.9B.8C.7D.6

解析　因为M∩N＝{x|0

答案　B

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）定义P⊙Q＝

，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，2}，则P⊙Q＝（　　）

A.{1，－1}B.{1，－1，0}

C.

D.

（2）设集合A＝{x|（x－a）2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）由定义，当x＝0时，z＝1，

当x＝－2时，z＝1－2＋

＝－1或z＝2－2－1＝－

.

因此P⊙Q＝

.

（2）由题意得

解得

所以1

答案　

（1）C　

（2）（1，2]

规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】

（1）（2018·全国Ⅱ卷）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A.9B.8C.5D.4

（2）若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A.1B.3C.7D.31

解析　

（1）由题意知A＝{（－1，0），（0，0），（1，0），（0，－1），（0，1），（－1，

－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}，故集合A中共有9个元素.

（2）具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

答案　

（1）A　

（2）B

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A.ABB.BA

C.A⊆BD.B＝A

（2）（2020·沈阳一中检测）设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}.若A⊆（A∩B），则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）由A⊆（A∩B），得A⊆B，则

①当A＝∅时，2a＋1>3a－5，解得a<6；

②当A≠∅时，

解得6≤a≤9.

综上可知，使A⊆（A∩B）成立的实数a的取值范围为（－∞，9].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，9]

规律方法　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

【训练2】

（1）若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A.M＝NB.M⊆N

C.M∩N＝∅D.N⊆M

（2）（2020·武昌调研）已知集合A＝{x|log2（x－1）<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　　）

A.（1，3）B.[1，3]

C.[1，＋∞）D.（－∞，3]

解析　

（1）易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.

（2）由log2（x－1）<1，得0

由|x－a|<2得a－2

因为A⊆B，所以

解得1≤a≤3.

所以实数a的取值范围为[1，3].

答案　

（1）D　

（2）B

考点三　集合的运算　

多维探究

角度1　集合的基本运算

【例3－1】

（1）（2019·全国Ⅰ卷）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（∁UA）＝（　　）

A.{1，6}B.{1，7}

C.{6，7}D.{1，6，7}

（2）（2020·九江模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|lnx<2}，则∁U（A∩B）＝（　　）

A.{x|x>4}B.{x|x≤0或x>4}

C.{x|0

解析　

（1）由题意知∁UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，

∴B∩（∁UA）＝{6，7}.

（2）易知A＝{x|x≤4}，B＝{x|04}.

答案　

（1）C　

（2）B

角度2　抽象集合的运算

【例3－2】设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC.

答案　C

规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

【训练3】

（1）（角度1）（2019·天津卷）设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则（A∩C）∪B＝（　　）

A.{2}B.{2，3}

C.{－1，2，3}D.{1，2，3，4}

（2）（角度1）已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x

A.0B.1C.2D.1或2

（3）（角度2）若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.{－1，0，1}B.{－1，0}

C.{－1，1}D.{0}

解析　

（1）由题意A∩C＝{1，2}，则（A∩C）∪B＝{1，2，3，4}.故选D.

（2）易知A＝[0，1]，且A∩B只有一个元素，因此a－1＝1，解得a＝2.

（3）B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U（A∪B）.又A∪B＝

{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U（A∪B）＝{0}.

答案　

（1）D　

（2）C　（3）D

A级　基础巩固

一、选择题

1.（2019·北京卷）已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝（　　）

A.（－1，1）B.（1，2）

C.（－1，＋∞）D.（1，＋∞）

解析　将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示.

由图可得A∪B＝{x|x>－1}.故选C.

答案　C

2.（2019·浙江卷）已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A.{－1}B.{0，1}

C.{－1，2，3}D.{－1，0，1，3}

解析　由题意，得∁UA＝{－1，3}，∴（∁UA）∩B＝{－1}.

答案　A

3.（2019·郴州模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B的元素个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　∵集合A＝{0，1，2，3，4，6}，B＝{x|x＝2n，n∈N}＝{1，2，4，8，…}，∴A∩B＝{1，2，4}，∴A∩B的元素个数是3.

答案　D

4.设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝

，则（　　）

A.MNB.NM

C.M＝ND.M∪N＝R

解析　集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝

＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.

答案　C

5.设集合A＝{x|－1

A.（∁RA）∩B＝{x|x<－1}

B.A∩B＝{x|－1

C.A∪（∁RB）＝{x|x≥0}

D.A∪B＝{x|x<0}

解析　易求∁RA＝{x|x≤－1或x>2}，∁RB＝{x|x≥0}，

∴（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.

A∩B＝{x|－1

答案　B

6.已知集合M＝{x|y＝

}，N＝{x|y＝log2（2－x）}，则∁R（M∩N）＝（　　）

A.[1，2）B.（－∞，1）∪[2，＋∞）

C.[0，1]D.（－∞，0）∪[2，＋∞）

解析　由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴∁R（M∩N）＝{x|x<1或x≥2}.

答案　B

7.（2020·日照一中月考）已知A＝[1，＋∞），B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A.[1，＋∞）B.

C.

D.（1，＋∞）

解析　由题意可得3a－1≥1，解得a≥

，∴实数a的取值范围是

.

答案　C

8.设集合A＝{（x，y）|x＋y＝1}，B＝{（x，y）|x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由

得

∴A∩B＝{（2，－1）}.

由M⊆（A∩B），知M＝∅或M＝{（2，－1）}.

答案　C

二、填空题

9.（2019·江苏卷）已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________.

解析　由交集定义可得A∩B＝{1，6}.

答案　{1，6}

10.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.

解析　由已知得B＝{3，7，9，15}，

所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，

故集合A∪B中元素的个数为6.

答案　6

11.已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0，1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）.由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

答案　[1，＋∞）

12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝________.

解析　由题意，得集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，

因为log3（2－x）≤1＝log33，所以0<2－x≤3，

解得－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}，

从而∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，

故A∩（∁UB）＝{x|x<－1或x≥2}.

答案　{x|x<－1或x≥2}

B级　能力提升

13.（2020·福州检测）已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，则（　　）

A.A∪B＝∅B.B⊆A

C.A∩B＝{0}D.A⊆B

解析　由题意，得A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4

答案　C

14.已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－∞，－3]∪[2，＋∞）　B.[－1，2]

C.[－2，1]　D.[2，＋∞）

解析　集合A＝{x|y＝

}＝{x|－2≤x≤2}，

因A∪B＝A，则B⊆A.

又B≠∅，所以有

所以－2≤a≤1.

答案　C

15.（多填题）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

答案　－1　1

16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是________.

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}.

答案　[1，2）

C级　创新猜想

17.（多填题）对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg（9－x2）}，则B－A＝________，A*B＝________.

解析　由题意，得A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3

∴A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3

因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3

答案　{x|－3