《刚体定轴转动》答案.docx

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《刚体定轴转动》答案

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第2章刚体定轴转动

一、选择题

1（B），2（B），3（A），4（D），5（C），6（C），7（C），8（C），9（D），10（C）

二、填空题

（1）.v≈15.2m/s，n2＝500rev/min

（2）.62.51.67ｓ

（3）.g/lg/（2l）

（4）.5.0N·m

（5）.4.0rad/s

（6）.0.25kg·m2

（7）.

（8）.

参考解：

M＝

＝

（9）.

（10）.

三、计算题

1.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？

（已知圆形平板的转动惯量

，其中m为圆形平板的质量）

解：

在r处的宽度为dr的环带面积上摩擦力矩为

总摩擦力矩

故平板角加速度β=M/J

设停止前转数为n，则转角θ=2πn

由

可得

2.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为

，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．

解：

根据牛顿运动定律和转动定律列方程

对物体：

mg－T＝ma①

对滑轮：

TR=Jβ②

运动学关系：

a＝Rβ③

将①、②、③式联立得

a＝mg/（m＋

M）

∵v0＝0，

∴v＝at＝mgt/（m＋

M）

3.为求一半径R＝50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m1＝8kg的重锤．让重锤从高2m处由静止落下，测得下落时间t1＝16s．再用另一质量m2=4kg的重锤做同样测量，测得下落时间t2＝25s．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．

解：

根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得

TR－Mf＝Ja/R①

mg－T＝ma②

h＝

③

则将m1、t1代入上述方程组，得

a1＝2h/

＝0.0156m/s2

T1＝m1（g－a1）＝78.3N

J＝（T1R－Mf）R/a1④

将m2、t2代入①、②、③方程组，得

a2＝2h/

＝6.4×10-3m/s2

T2＝m2（g－a2）＝39.2N

J=（T2R－Mf）R/a2⑤

由④、⑤两式，得

J＝R2（T1－T2）/（a1－a2）＝1.06×103kg·m2

4.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－kω（k为正的常数），求圆盘的角速度从ω0变为

时所需的时间．

解：

根据转动定律：

Jdω/dt=-kω

∴

两边积分：

得ln2=kt/J

∴t＝（Jln2）/k

5.某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为m的砝码，砝码彼此相距l1（每一砝码离转轴

l1）,当此人将砝码拉近到距离为l2时（每一砝码离转轴为

l2），整个系统转速变为n2．求在此过程中人所作的功．（假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略）

解：

（1）将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：

W＝∆Ek＝

这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量．

（2）过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：

2π（J0＋

）n1=2π（J0＋

）n2

∴

（3）将J0代入W式，得

6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上（圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ），圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求

（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．

（2）经过多少时间后，圆盘停止转动．

（圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩）

解：

（1）以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒．

mv0R＝（

MR2＋mR2）ω

（2）设σ表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小

为

＝（2/3）πμ

gR3＝（2/3）μMgR

设经过∆t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有

－Mf∆t＝0－Jω＝－（

MR2＋mR2）ω＝-mv0R

∴

7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧

处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度ω．（细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为

，式中的m和l分别为棒的质量和长度．）

解：

碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为

式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为

因碰撞前后角动量守恒，所以

∴ω=6v0/（7L）

8.长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求：

（1）细杆的质量．

（2）细杆摆起的最大角度θ．

解：

（1）设摆球与细杆碰撞时速度为v0，碰后细杆角速度为ω，系统角动量守恒

得：

Jω=mv0l

由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能

代入J＝

，由上述两式可得M＝3m

（2）由机械能守恒式

及

并利用

（1）中所求得的关系可得

四研讨题

1.计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？

为什么？

举例说明你的结论。

参考解答：

不能．

因为刚体的转动惯量

与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为

，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零．

2.刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。

对于非刚体也是这样吗？

为什么？

参考解答：

根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。

故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？

参考解答：

分析：

乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力Fr的方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度ω逐渐变小．

当质心平动的速度vc=0而角速度ω≠0时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度ω0的大小应满足一定的关系．

解题：

由质心运动定理:

因

得

（1）

由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律

得

（2）

由

（1）,

（2）两式可得

令

可得

这说明当vc=0和ω0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．