摆动法测量转动惯量.docx
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摆动法测量转动惯量
实验4用复摆测量刚体的转动惯量
一、实验目的
1•学习掌握对长度和时间的较精确的测量；
2•掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解;
3•学习用作图法处理、分析数据。
二、实验仪器
JD-2物理摆、光电计时器等
三、实验原理
1.单摆
如图4-1（单摆球的质量为m当球的半径远小于摆长I时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：
（4-5）
式中％,:
由初值条件所决定。
（4-6）
2•物理摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。
如图4-2，设物理摆的质心为C,质
量为M,悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为j0，0C距离为h，在重力作用下，
设摆体沿过质心C的转动惯量为JC，由平行轴定理可知:
2
J。
=Jc-Mh（4-11）
将（4-11）代入（4-10）可得：
TcIJc亠h
T=2.：
•——（4-12）
VMghg
（4-12）式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13）式右端各参变量之间的关系。
实验
就是围绕（4-12）式而展开的。
因为对任何Jc都有Jcxm，因此（4-13）式的T与M无关，仅与M的分布相关。
令J二Ma2,a称为回转半径,
1一次法测重力加速度g
2
由（4-12）式可得出
测出（4-14）右端各量即可得g;摆动周期T,用数字计时器直接测出，M可用天平
定，为此采用如下“二次法”
这样就消去了Jc，所以（4-17）测g就有着广泛的适用性。
从（
4-17）式，更可十分明
2
JcMh1
确地看到T与M的无关性。
虽然，任意两组（m,T,），（h2,T2）实测值，都可以由（4-17）式算出g;但是,
对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（h,T）数据，使能得出最精确的g的实测
结果呢？
为此必须研究T（h）关系：
将（4-12）式平方，于是可得出
T2Jch
2-（4-18）
4二Mghg
从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：
当h趋于0时Ttr,当h*,T亦趋于a；可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。
为此，对（4-18）作一
次求导并令其为0;即由工=o,可得
dh
J-1
20（4-19）
Mghg
22
MhJ-二Ma（4-20）
即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h=a处所相应的T为极小
值（为什么？
）。
（注意：
体会称a为回转半径的含义）将（4-13）式取二次导数
为研究T（h）关系特在0.6m长的扁平摆杆上，间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个
孔以作为O点的Hi值（i=土1,±2，土3，”±14）于是可得出如图4-3所示的曲线。
图4-3摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系
在共轭的A,B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，交图线于-D,E,F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+hE）=h-+hr被称为等值单摆长。
为理解这一点，将（4-17）式的T1与Te（或Td）对应，T2与Tf（或T-）对应，h1为与「对应
的hE,h2为与T2对应的hF，并将（4-17）式改形为:
22222
4
（4-22）
二_T1丁2工7
g_2（hh2）2（h「h2）
（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。
从（4-22）可知，
当Ti=T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（hE+hF）、（hc+hD）为等值单摆长。
从（4-20）式可知：
ob=oa=a;而ax2=he+h1
从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算g
则将引起较大的误差。
所以欲取得精确的g的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点
来计算g值。
因孔的非连续性，E只能取Te近乎于Tf的点代入（4-22）式。
还可取略大、
略小的两组值都计算出再取平均。
A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的g，但运行在Tb（或Ta）值下的摆，其性
能最稳定。
3可倒摆
为提高测g的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不
同的两个摆锤对称地放置。
于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是
Tc（即「），Tf（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。
但曲线的形状依归。
所以，用此时的T（=Tf=Tc）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式来计算出g。
当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用Tc-Tf的实测值，这时（4-22）式的右端
的第2项仅具很小的值。
所以（T1-T2）很小，而（h1-h2）较大。
所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1
的值然后逐渐减h2直至T＞小于T1为止。
将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。
摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的
空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。
由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。
4锤移效应
a.加锤摆的摆动周期Tm
设原摆为一带刻度的摆杆。
摆的质量为M质心为C（设为坐标原点），摆心为O,CO
距离为h，质心C处与摆心O处沿OZ轴的转动惯量为JC、JO。
以上条件皆固定不变。
然
由平行轴定理，可得
设重力加速度g已知（不变），则带锤的摆动方程式仿（4-7）、（4-10）式为：
（动量
矩定理）
J0v--（Mm）g[h-mX/（Mm）]sinv（4-27）
i.加锤摆的周期公式Tm为:
在研究锤移效应时，令（固定不变）
此式的特点:
▲它与无锤摆的形式相似，即原T（h）关系与现在Tm（X）关系相似，（此时h为固定
常数）
=C-m（h—X）「，
2
m（cmh）
]
2m22
2mh二（2mh）-4[2mh
\M+m
2
m
Mm
分子，分母都除以2m（根号内除以4卅）得
i2m（cmh）
h,h:
[2mh]
\M+m
222222222
（Mm）h二‘、Mh2Mmhmh2mhM-2mhmcmh
m
[JCMh20]0（h-X）
Ja,h=2二.，二「（4-35）
■,ghg
Th意义就是与X平行的，值为Th的T（X）函数线。
Th也就是无锤摆在co=h时的摆
动周期值，这也就是研究T（X）时为什么X的取向，原点都与原来的T（h）的h取向、原
点为一致的原因，而另取一个有别于h的符号X是为了讨论、理解得方便。
理解这一点是
弄明下一点的前提。
iii.周期Tm与Th（即m=0时的Tm）的交点，即有Tm=Th
也就是令（4-28）式与（4-13）式相等，于是有:
时退化为只有一个解:
—a
（4-40）
2h
2
2222222ahMaMhmrmh-2mhXmX
ghg[（Mm）h-mX]
22222
mhX—m（h—a）X—mh（a—r）=0
iv.回到物理摆的周期公式（4-12）式或（4-13）式，在摆杆质心点当有类似情况。
▲当m^0而r-0的质点锤置于摆杆的质心C处时，并且悬挂点于a处。
▲当mz0,m变则T变，这与由（4-37）式算出的X处r不变T变，m变而T为不变是有所不同的。
v.（钟表摆的）T的微调
▲远离于C,X,X>；
▲调摆锤（或平衡锤一一亦可称之为摆的“平衡”锤）的质量或其质量的分布。
移动平衡锤。
三、实验内容与步骤
安装、调节好仪器以后：
1•测出无锤摆杆的T（H）关系；（可只测半截摆杆的）
2•测出两个加锤摆的Ti（X）,E（X）关系；两摆锤的形状、尺寸须相同，而质量不同；
3•然后按原理所述，进行数据处理。
数据表格自列。
四、注意事项
1
1.摆幅A须小于1°,按R=0.3m（-摆杆）+0.03m（摆针）=330mm计2倍振幅
2兀x330mmo
2A<1<10mm
360
2.摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触，不密切则调底脚螺钉，否则影响实验测量；
3•还须尽量作处于孔的正中央、且尽量作到一致；
4.周期T的测量建议以t=10T为宜，即T=—。
10
五、思考题
1•试证明二次法测g的公式（4-17）等效于卡特公式（4-22）。
2•为什么不能用图三的C点的（T1,h1）值和F点的（T2,h2）值来计算重力加速度g值，而须（F,。
）或（F,日来计算。
3•试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转动惯量的实验步骤（设当地的重力加速度g已知）。
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