关于大气污染问题的数学建模论文.docx

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关于大气污染问题的数学建模论文

1。

问题重述

  大气是指包围在地球外围的空气层,是地球自然环境的重要组成部分之一。

人类生活在大气里,洁净大气是人类赖于生存的必要条件。

一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水,尚能维持生命,但超过5分钟不呼吸空气,便会死亡、随着地球上人口的急剧增加,人类经济增长的急速增大,地球上的大气污染日趋严重,其影响也日趋深刻,如由于一些有害气体的大量排放,不仅造成局部地区大气的污染,而且影响到全球性的气候变化、因此,加强大气质量的监测和预报是特别必要。

目前对大气质量的监测主要是监测大气中、、悬浮颗粒物（主要为ＰＭ10）等的浓度,研究表明,城市空气质量好坏与季节及气象条件的关系十分紧密、

附件给出城市A、B、C、D、Ｅ、F从２003年３月1日至2０10年9月14日测量的污染物含量及气象参数的数据、

请运用数学建模的方法对下列问题作出回答:

1。

找出各个城市、、ＰM１0之间的特点,并将几个城市的空气质量进行排序、   

２、对未来一周即２01０年9月15日至9月21日各个城市的、、ＰM10以及各气象参数作出预测。

3、分析空气质量与气象参数之间的关系。

4。

就空气质量的控制对相关部门提出您的建议。

2。

问题分析

　　本题为生活中的实际问题,层层递进式提出四个问题,分别需要对空气污染因素以及气象参数进行分析求解。

第一问为评价性问题,先从城市内部个污染物特点出发,再到城市之间空气质量进行比较。

第二问是预测性问题,通过对给出的数据进行分析,预测各项参数之后的趋势、第三问是寻找关联性问题,要求找出空气质量与气象参数之间的关系。

第四问为开放型问题,可通过之前得出的结论或者相关文章及模型提出建议、

２、1问题1

　通过查阅资料,运用已有的APＩ对各个城市的各项污染指标进行计算,得出各个污染指数API月平均的折线图,观察,得出各城市各项指标的特点。

鉴于求解城市API时有一定的误差,故选择综合评价模型,对数据进行标准化处理之后,确定动态加权函数,对模型进行求解,排名。

检验模型后确定结论的合理性。

2。

2　问题2

　预测模型主要有灰色预测,时间序列等模型。

由所给数据以及问题可知该预测模型为时间序列。

随机选取气象参数之一气温（tem）为例进行分析,先通过SPSS软件得到其时序图,观察其走势,对其做平稳化处理。

然后以最小BIＣ为标准,构造模型,进一步应用SPSＳ软件求解,得出各项参数,并预测出2010年９月15日至2010年９月２１日的数据。

其余各城市各污染物浓度以及气象参数应用类似方法进行求解、最后,由于F城市所提供数据与需要预测日期相隔较远,故只做出定性的分析预测。

２、３问题3

　空气污染物与气象要素关系紧密,研究的方向多为相关性分析与回归分析或从理论上描述气象要素对污染物迁移扩散的影响。

然而回归分析应用于处理不相关变量之间关系,而典型相关性分析能特别好地解决由于变量之间相关而导致回归准确性降低的问题。

同时观察原始数据发现,其中只有一组气象参数,故推测气象参数是在其中某一个城市所采集。

现应用典型相关性分析分别分析A、Ｂ、C、三城市空气污染物、、PM１0与气象要素这两组数据间的关系、求出不同季节的相关系数,判定气象参数最有估计是属于哪一城市的。

再对该城市进行偏相关性分析,最终得出污染物与气象参数之间的关系。

该过程由ＳＰSS直截了当完成。

2。

4问题4

依据第三问所求得的气象参数和与其对应城市之间的关系,分析影响各污染物浓度的主要因素,依此对有关部门提出合理的建议,以提高该城市的空气质量。

3、数据处理

对附件中数据整体浏览,将不合理的数据进行删除:

２005年11月７日的tem为61１。

5,2０10年6月6日的mｍgh为267。

1０９,依据常识,该两组数据均为记录错误,故删去不予考虑

3、1问题1

对各项指标的数据进行月平均处理、以便进行模型的计算。

３。

2问题2

　基于数据的不完整性,只选择具有连续性的数据（２0１0年1月２０日至2０１０年9月２0日）对问题二进行分析预测。

3、3问题３,４

　将一年分为春季季风季（3—5月）和冬季采暖季（１1—2月）两部分,分别进行分析。

4。

模型基本假设

1、各组数据真实可信,且是在同一地点同一时间采集,不考虑人为因素,具有统计、预测意义。

2、假设Ａ、B、C、Ｄ、E、F六个城市的发展状况相同,即发展速度没有明显差异。

3、ＡPI指标真实可靠,所给数据具有参考统计意义。

4、月API平均值能特别好的代表该月空气质量,具有比较意义。

5、对F城市进行定性预测时,Ａ、F城市发展状况基本相同,有比较价值。

6、第三问中,灌输数据的对应关系,假设气象参数是在A、Ｂ、C三城市中某一个城市所采集。

5、符号说明

空气污染指数

某污染物的污染指数

该污染物的浓度

在API分区表中最接近C值得两个值

在API分区表中最接近I值得两个值

三项污染指标标准化值

区间最小值

区间最大值

区间边界

权重

被评价指标的综合评价值

城市

每个城市的Bｏｒdａ数

时间序列

模型阶数

差分阶数

延迟算子

均方差

复相关系数

6。

模型的建立与求解

6、1问题1

6、1。

1问题一第一部分

通过查阅资料,能够找到APＩ,即空气质量污染指数标准,由此计算每个城市各项指标的月API平均值,对各项数值进行比较,得出各个城市三项指标特点。

6、1。

1、1各项指标月APＩ平均值求解

　依照表一:

计算各项指标的API值:

设为某污染物的污染指数,为该污染物的浓度、则:

式中:

:

在ＡＰI分区表中最接近C值得两个值

　　:

在APＩ分区表中最接近I值得两个值

6。

１、１。

２各城市各项指标月API平均值折线图

图一:

各城市各项指标月APＩ平均值折线图

6、１。

１、3结果分析

整体分析图表能够看出Ａ、B、C、D、E五个城市SＯ2、ＮO2、PM10等污染物浓度均呈现波动性同时有缓慢下降趋势、

分析A城市数据,发现A城市ＰＭ10浓度与Ｂ城市差别并不显著,然而观察发现Ａ城市PM10的值在2010年8月后有所回升,这一点也可由数据得到验证。

Ｂ城市SO2波动性特别强,然而下降的趋势并不是特别的明显,说明B城市估计有一些周期性的污染源需要治理、而B城市的ＰM１0波动性强有明显下降趋势,这说明B城市特别有估计在2０10年采取过一些相应的积极措施,使得该城市PM10浓度在短期内大幅度下降。

而A、B两城市的SＯ2和PM１0数值均明显高于NO2的数值,且两城市污染物的波动方式相似,可粗略认为A、B两城市有部分工业或者结构上的相似。

分析C、D两城市可知ＳO2、NO2、PＭ10浓度较平稳波动,只有ＰM1０在个别时段有较大的起伏,而在其他时间序列内均趋于平缓变化、C、Ｄ两城市的PM1０曲线在同一时间明显偏高,可推论在那一段时间有某些外界因素使得两个城市的PM１0数值共同上升。

分析E城市空气污染物浓度可知,E城市SＯ２、NＯ2、PM１0浓度均在一定范围内平稳变化,说明该城市在所选时间段内空气质量比较平稳。

由于F城市数据严重不足,只有从2004年9月1日到2０09年１2月27日的采集数据,故在F城市数具有统计意义的前提下,由图可知观看出F城月平均污染物浓度大致呈现平稳趋势。

6、１、2问题一第二部分

依照问题对API分析发现,关于城市ＡPI值计算中,原理为取三项指标的最大值,这会造成相应的误差,故在分析第一问的第二部分时,只参考ＡPI的划分标准,应用综合评价模型、

6。

1、2、１数据的标准化处理

对所给的空气污染标准（AＰI）进行标准化处理,记三项指标:

、、PM1０的数值分别为,,。

三项指标的数据均为极小型指标（即指标值越小越好）,对其指标做标准化处理,即令:

其中,。

则相应的指标值变为,即为无量纲的标准化指标,对应的分类区间也随之相应的变化,在这个地方为了方便仍记为。

（1）的标准化

取,,,则其标准化数据为:

对应的分类区间为:

（2）的标准化

取,,,则其标准化数据为:

对应的分类区间为:

（3）PＭ10的标准化

取,,,则其标准化数据为:

对应的分类区间为:

6。

１。

2动态加权函数确定

依照这一实际问题,通过对、、PM１0三项指标的变化关于空气质量的分析,可得其变化的规律为:

先是缓慢增长,中间有一个快速增长的过程,最后平缓增加趋于最大值。

此增长规律可取动态加权函数为偏大型正态分布函数,即:

其中不妨取指标的第一类空气质量标准的中间值,即,由确定。

6、1、３综合评价模型的构建

依照标准化后的评价值,不妨仍用表示,以及相应的动态加权函数,建立综合评价模型来对被评价的6个城市的空气质量进行评价,在此,取综合评价模型为个评价指标的动态加权和,即:

其函数值为被评价对象的综合指标值。

　求出权后,可将6个城市的三项指标求期望,定量地得出每个城市中三项指标的权值。

利用附件中给出的3１个月的较为完整的数据,计算可得ABCＤＥ五个城市的空气质量评价性指标,即可得到一个综合评价矩阵,其结果如下:

表二:

ＡＢCDE五个城市综合评价矩阵

同时,利用附件中给出的4个月（２00４、9至2004,12）的数据,经计算可得AＢＣＤF六个城市的空气质量评价指标,得到矩阵,结果如下。

表三:

ＡBＣDＦ五个城市综合评价矩阵

6、1、4综合评价结果排序方法

依照上表和表中的数据,依照其大小（即反映空气质量的高低程度）进行排序,数值越大,说明其空气质量越差。

编写Ｃ语言程序,对其进行排序。

排序结果见附录一。

利用决策分析中的Boｒda函数方法来确定综合排序方法,记在第个排序方案中排在第个城市后面的站点个数为,则城市的Borda函数为

经计算,各城市Bｏrda数及总排名如下

AＢCDE的Bｏrda数为:

AＢCDF的Boｒda数为:

６、１。

5评价结果及排序

ＡBＣDE的空气质量排名为:

ＣABED

AＢCDF的空气质量的排名为:

FＡBＣＤ

6、1、6模型的验证

鉴于ＡPI数值有一定的实际应用价值,故应用其对综合评估模型进行验证。

通过对各个城市每月的APＩ进行计算,运用相同的Ｃ语言程序对其进行排名结果见附件一。

运用Boｒda算法,对多个序列进行排序,最后排出城市总体空气质量排名,对模型进行验证

得出结论为:

ABCＤE五个城市AＰI的Boｒｄa数为:

ABCDE五个城市的空气质量排名为:

CBAED

ABＣDF五个城市的ＡPI的Borｄａ数为:

ＡＢCＤF五个城市四个月的空气质量排名为:

FABDC

权重排列与AＰI排列只有一个次序的不同,观察Boｒｄa数可发现,次序不同的两个城市Bｏrｄa数字基本相同,故可说,模型合理,权重得出的排序结论有一定参考意义。

6、2问题2

F城市所给数据时间与需预测时间相距甚远,若强行预测出趋势变化,没有实际参考意义,故在对F城市进行预测时,只做定性的说明。

随机选取气温为例建立ARIＭA模型,其余各城市参数即气象参数yingyon可求的。

模型的建立与求解依靠ＳＰSS软件。

6、2、1模型的建立与检测（对除F以外的数据预测适用）

考虑数据的连贯性,选取2010、１、20日至2010。

9、14日数据进行时间序列分析,应用SPSS软件作出时序图,进行时间序列的验证,如下:

图二:

气温时序图

气温的自相关系数图和偏自相关系数图见附件二

由气温时序图明显可知该序列具有上升趋势,为消掉上升趋势,作差分处理、图示为作一阶差分后所得序列图,观察可知该序列比较平稳。

图三:

一阶差分之后的气温时序图

为进一步验证平稳性,考察差分后序列自相关图。

图四:

一阶差分后气温时序残差自相关系数图

自相关图显示序列有特别强的短期相关性,因此能够初步认为一阶差分后序列平稳。

考虑ARIMA（p,d,q）模型,并以最小标准化BIC为指标,应用SPSＳ软件可构造出ARIMA（0,１,2）模型,即这就是说是1阶齐次非平稳序列,一次差分后适合MＡ

（2）模型。

运用SＰＳS求出参数如表:

ARＩMA模型参数ａ

估计

SE

t

Sig、

TＲENＤ（tem）－模型_1

TREND（ｔｅm）

无转换

差分

1

MA

滞后1

、3６0

、0６1

5、884

、0０0

滞后2

、27１

。

061

4、438

、０00

表四:

ARＩMA模型参数

t检验合格。

均方误差,绝对误差为２、９０7,,复相关系数

从结果来看,,都通过了显著性检验,数值拟合的误差比较小,进一步考察拟合误差得到的自相关系数及偏自相关系数图可知它们不在具有相关性,说明该模型是合理的。

图五:

拟合误差自相关系数及偏自相关系数图

最后得到的模型为,其中

该模型可进一步化简为:

其中

我们对2010年数据进行预测,部分抽样结果如下表:

表五:

２01０年气温预测抽样表

绘制原始数据及预测数据图,虚线右边中间数据为预测数据,虚线右边上面数据为95%的置信上限,下面数据为９5％的置信下限。

图六:

AＲIMＡ模型拟合与观察数据数据时序图

６、2、２模型的求解

我们用该模型对20１0年9月15日至２010年9月２1日七天tem作出预测,结果如表:

预测

模型

239

　２４0

241

　242

2４3

244

245

ｔem－模型＿1

预测

20、514

２0。

12６

２0、24６

2０。

36６

２0、486

20、606

20、726

UＣL

27、９69

２8、96５

29。

393

29。

８１2

３0、221

３0、62２

31。

0１5

ＬCL

13、059

11、287

11、０99

10、92０

1０、７5０

10、589

１0。

4３6

表六:

七天温度预测表

6、2。

３　各项指标的求解

类似于温度预测的分析求解过程,分别对A、B、C、D、E五个城市的各项污染物浓度以及气象参数进行预测,结果如下:

表七:

各城市各项指标预测值

6、2。

4关于F城市的定性分析

从前一问能够看出,整体城市空气质量排序中,F城市是好于A城市的,在Ｆ城市的数据中,只有2０04年9月１5日至21日、

（1）绘制Ａ城市2００4年９月1５日至21日与F城市200４年９月15日至21日时期三项指标的比较图

图七:

A城市与Ｆ城市在2004年三项指标比较图

从图上看出,A城市与Ｆ城市在2004年９月15日至21日三项指标走势在特别大程度上有一定的相似性。

（2）绘制Ａ城市2０04年９月15日至２1日与２0１０年9月1５日至２1日三项指标的整体比较图:

图八:

A城市在２004年与2０１０年三项指标走势图

由图能够看出,三个指标的走势在两年里面没有明显地统一趋势,故对F城市只定性说明:

在２010年时三项指标均明显低于20０４年、

６。

2。

5关于F城市的预测

因2010年与２0０4年的指标走势没有明显线性关系,因此只能定性的分析:

Ｆ城市污染物各项指标在2010年9月１5日至21日的测量数值均低于2004年同期,即F城市的空气质量提高,且优于A城市。

6、3问题3

选取A、B、C三城市,分别运用典型相关性分析,对气象参数（大气压mmgh,温度ｔem,风速ws,湿度rh）及各项污染物浓度进行分析,判断气象参数的城市属性,再对此城市进行偏相关性分析,得出结论、整个过程由SPＳS完成。

6。

３、1典型相关性分析

主要思路是将两组变量的相关性研究转化为两个综合变量的相关性研究,这种相关称为典型相关,这两个综合指标称为典型变量、

（１）依照分析目的建立原始矩阵

原始数据矩阵

（２）对原始数据进行标准化变化并计算相关系数矩阵

　=

其中,分别为第一组变量和第二组变量的相关系数阵,=　为第一组变量和第二组变量的相关系数

（3）求典型相关系数和典型变量　　

计算矩阵以及矩阵的特征值和特征向量,分别得到典型相关系数和典型变量。

（4）检验各典型相关系数的显著性

6、３。

2偏相关性分析

偏相关性分析是指当两个变量同时跟第三个变量相关时,将第三个变量的影响剔除,只分析另外两个变量之间相关程度的过程。

偏相关性分析的工具是计算偏相关系数。

计算公式:

假定有三个变量:

,,求剔除变量的影响后,变量和之间的偏相关系数:

其中,表示变量与变量的简单相关系数。

表示变量与变量的简单相关系数。

　　表示变量与变量的简单相关系数。

显著性检验公式:

其中,为个案数,为自由度。

6、３、3典型相关性分析

运用统计和分析软件SPＳS进行典型相关分析、

典型相关性分析程序:

6、3、4典型相关分析结果分析

典型性相关性分析用来讨论在污染物浓度与气象要素两组数据之间存在何种关系。

依照所给数据特征,可分为冬季和春季两时段进行分析、

观察结果,可看出C城市的各项污染指标与气象参数的相关性最高,故,可近似认为所给气象参数为Ｃ城的气象参数、

Ｃ城市典型性相关分析结果如下表（其余城市结果附录三）:

C冬季

Ｃ春季

典型相关系数

１　　。

５49

2　　。

3９6

3　、19９

典型相关系数

１　　　、５35

２　　。

322

3、27３

维度递减检验结果（降维检验）

　Wｉlｋ's　Ｃhi-SQDF　Sig、

1　　、565　237。

８33　12。

０00　　、００0

2　、８0９　88。

1456。

０0０　　、00０

３　　、960　　1６。

８71　2、００0　、００0

维度递减检验结果（降维检验）

　　　Ｗiｌｋ’s　　Ｃhｉ-SQ　DF　　Ｓiｇ、

1　、５9２　　1６5、442　　　12、00０、０0０

2　、830５8、99４　６。

000　　、0００

3　　、９2524。

477　２。

0０0　　。

00０

标准化典型系数—第一组

　　　　　　　　1　2　　3

ｃso2、２17　　、43１　　-1、26２

cｎo2　－、７４3　　。

937　　、9５6

cpm10　-。

４90　　—1。

266—、239

标准化典型系数—第一组

　　　　　１　　　2　　3

cso2　　-。

324　、0７7　-1、３38

cno２－、５1７　　　-。

８43　。

898

ｃpm１０　１、041-、395、0３8

标准化典型系数—第二组

　　　1　　２　　　3

mmｈg　－。

741　-、426-、540

tｅm-。

124　-、223　　-、0４6

ｒh　　　—。

255-、3６9　、9３3

ws　、６65－、772　、12０

标准化典型系数-第二组

　1　　2　3

mｍｈg　—、0４4　　-、9０８　-、509

ｔem、240　-、621、801

rh　-、20１　。

047　、51９

ｗs　、８75、2５3　—、121

表八:

Ｃ城市典型性相关性分析结果

分析:

冬季的第一、二个典型相关细数分别为０、8１０和０、５34,并通过显著性检验,说明在冬季污染物与气象参数两组数据间有显著的相关关系:

前两个特征值加起来差不多占全部特征值的80%以上,因此取前两个典型变量进行分析即可。

分析结果:

两个时间尺度上（春季和冬季）,污染物与气象参数存在着显著的相关关系,大气压和风速对气态污染物（,）有显著的影响,风速对PM10有显著影响、温度和湿度对有微弱影响、

6。

3、5对Ｃ城市进行偏相关性分析

运用统计和分析软件SPSS进行偏相关性分析,结果如下:

表九:

偏相关分析各项相关系数

分析:

冬季分析:

冬季与风速的相关系数为-0、316,呈现负相关,即风速越大,浓度越低。

与大气压和风速明显相关,与大气压正相关,即大气压越高,浓度越高,其与风速的关系和相似为负相关。

ＰM１0与大气压正相关,与风速负相关、

春季分析:

整体相关性不明显,与大气压为微弱的正相关　,与大气压和风速均为弱相关,PM１0与风速正相关。

说明,风速对可吸入颗粒起扩散作用,而且,大风天容易产生沙尘天气,加重污染、

6、３、6分析结论

冬季时,风速和污染物（PM10、、）有显著的负相关,即风速越大,污染物浓度越低,大气压与、PM１0呈现正相关,即大气压越高,污染物浓度越高。

春季部分指标相关性不明显,气态污染物（、）均与风速呈现弱相关,而PM10与风速正相关,即风速越大,PM1０的浓度越高。

6。

４问题４

通过对第三问的结论进行分析,给出合理的建议。

６、4、1分析

要改善大气环境质量,一方面,由于、与空气水平流动（风速）、垂直流动（气压）有相关性,因此要在城市用地规划与总体规划中考虑大气输送、扩散等自然通风条件对用地布局的影响。

例如,将大型污染工厂企业移出城市生活区等。

另一方面要通过合理的规划措施来改善城市的局部气候环境,以减少或幸免由于工业布置不合理引起大气污染物往市区及其周围累积、迭加。

如依照城市气象条件,掌握城市风、气温及其天气形势的变化规律,结合地形和其他自然条件,以及城市设施热量散发状况等　,对城市工业区、城市道路、城市建筑和绿地等进行合理的布局、

6、4。

2具体建议

（１）推行清洁能源,降低原煤消耗所占的比例。

特别是在冬季供暖季节,改造居民采取烧煤取暖的状况,努力扩大天然气、煤气等清洁能源消费量,强化能源节约。

（2）加强工业污染的防治,以循环经济模式发展工业经济。

如:

加强大型火电厂的脱硫、除尘以及低氮燃烧等措施。

（３）调整工业企业的合理空间布局,将城区的大气污染企业依照产业特点分别进驻各类特色工业园区,在搬迁过程中实现技术升级和改造。

加强工业污染源的监管力度,对重点工业污染源实行在线监测。

（4）加强以建筑扬尘、道路扬尘为主的扬尘污染控制,建立健全的控制扬尘污染的长效机制、加强道路冲洗和机械化吸尘作业,增加改性沥青路面比例,严格和规范施工扬尘、建筑渣场管理。

（5）加强城市绿化,对裸地实行绿化硬化和植树种草,修建绿化带和组团绿化隔离带,增加公共绿地面积,制定合理的城市绿化方案。

（６）加强机动车尾气污染治理,消除机动车冒黑烟现象。

严格执行机动车维护、改造、报废制度。

7、模型的评价及推广

７。

1模型的评价

问题一采纳动态加权函数模型,充分的考虑了每一个因素的每一属性所存在的差异,增加了综合评价的客观性和科学性。

问题二运用时间序列,特别好地解决了具有时序性,随机性,前后时刻具有相依性,呈现某种趋势,或周期性的数据序列,并能够做出准确的预测。

问题三,典型相关性分析解决了传统多元统计中,只能分析一个变量与多个变量之间关系的问题,实现了两组变量间的分析,能够特别好的解决某些组合相关性特别高的问题。

其缺点为:

局限于两组变量的分析,要求两组变量都是连续变量,其变量都必须服从多元正态分布、偏相关性分析特别好地解决了当两个变量同时跟第三个变量相关时,它们之间单独影响的相关性。

7、2模型的推广

动态加权综合评价方法也可用于水质综合评价这一类的问题,在军事和经济等领域的特别多综合评价问题,动态加权综合评价方法都有推广的价值。

时间序列分析模型可应用于更为复杂的时间序列预测,如存在季节性的旅游人口问题、

典型相关分析和偏相关性分析有些许的类似之处,都