相似三角形选择压轴题精选.docx

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相似三角形选择压轴题精选

2014年1月发哥的初中数学组卷

一．选择题（共30小题）

1．（2013•南通）如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于（　　）

A．

4

B．

3.5

C．

3

D．

2.8

2．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

3．（2013•海南）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：

⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（　　）

A．

5

B．

C．

D．

5．（2012•宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．

B．

C．

2

D．

2

6．（2012•泸州）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：

（1）△ABE∽△ECF，

（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（　　）

A．

（1）

（2）（3）

B．

（1）（3）

C．

（1）

（2）

D．

（2）（3）

7．（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

A．

B．

C．

3

D．

4

8．（2011•武汉）如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．

其中正确的结论（　　）

A．

只有①②

B．

只有①③

C．

只有②③

D．

①②③

9．（2011•深圳）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：

BE的值为（　　）

A．

：

1

B．

：

1

C．

5：

3

D．

不确定

10．（2011•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：

（1）图形中全等的三角形只有两对；

（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；

（3）BE+BF=0A；

（4）AE2+CF2=20P•OB．

正确的结论有（　　）个．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

11．（2010•双鸭山）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（　　）

①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

12．（2010•鸡西）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD．则以下结论中一定正确的个数有（　　）

①EF=FD；②AD：

AB=AE：

AC；③△DEF是等边三角形；

④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE．

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

13．（2009•遵义）已知三个边长分别为10，6，4的正方形如图排列（点A，B，E，H在同一条直线上），DH交EF于R，则线段RN的值为（　　）

A．

1

B．

2

C．

2.5

D．

3

14．（2007•佳木斯）如图，已知▱ABCD中，∠BDE=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：

①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（　　）

A．

①②③④

B．

①②③

C．

①②④

D．

②③④

15．（2006•泰州）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y．则y与x的关系是（　　）

A．

B．

C．

y=x

D．

16．（2004•威海）如图，▱ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：

AB等于（　　）

A．

1：

3

B．

1：

4

C．

2：

5

D．

3：

8

17．（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：

①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

18．（2004•天津）如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于（　　）

A．

B．

C．

1

D．

19．（2004•荆州）如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于E点，连接CE，P是CE上任意一点，PM⊥BC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，则PM+PN的值为（　　）

A．

cm

B．

1cm

C．

cm

D．

2cm

20．（2003•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AB、CD的中点，DB分别交AN、CM于点P、Q．下列结论：

（1）DP=PQ=QB；

（2）AP=CQ；（3）CQ=2MQ；（4）S△ADP=S平行四边形ABCD．其中正确结论的个数为（　　）

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

21．（2003•黄石）如图，D、E是△ABC中BC边的两个分点，F是AC的中点，AD与EF交于O，则等于（　　）

A．

B．

C．

D．

22．（2013•南通二模）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（　　）

A．

B．

C．

D．

23．（2013•南开区一模）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD，则以下结论中一定正确的个数有（　　）

①EF=FD；②AD：

AB=AE：

AC；③△DEF是等边三角形．

A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

3个

24．（2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（　　）

A．

B．

C．

D．

25．（2013•樊城区模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则下列结论中正确的有（　　）

①DE⊥EC；②∠ADE=∠BEC；③AD•BC=BE•AE；④CD=AD+BC．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

26．（2012•武汉模拟）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，G为AB中点，在线段DG上取点F，使FG=AG，过点F作FE⊥DG交AD于点E，连接EC交DG于点H．已知EC平分∠DEF．下列结论：

①∠AFB=90°；②AF∥EC；③△EHD∽△BGF；④DH•FG=FH•DG．其中正确的是（　　）

A．

只有①②

B．

只有①②④

C．

只有③④

D．

①②③④

27．（2012•深圳二模）如图，已知等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，点P是线段AB上的点，点Q是线段BC延长线上的点，且AP=CQ，PQ与直线AC相交于点D．作PE⊥AC于点E，则线段DE的长度（　　）

A．

为4cm

B．

为5cm

C．

为cm

D．

不能确定

28．（2012•蕲春县模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高交⊙O于F，连接BE、CF，下列结论正确的有几个？

（　　）

①BE=CF；②AB•AC=AD•AE；③AD•DF=BD•CD；④AD2+BD2+FD2+CD2=AE2．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

29．（2012•嘉定区一模）已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）

A．

2x=3y

B．

C．

D．

30．（2012•江汉区模拟）已知：

Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点F为边AB的中点，EF∥CD交BC于点E，则下列结论：

①AC=EF；②BC﹣AC=2CE；③EF=CE；④EF•AB=AD•BE；

其中一定成立的是（　　）

A．

①②④

B．

③④

C．

①②③

D．

①②

2014年1月发哥的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共30小题）

1．（2013•南通）如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于（　　）

A．

4

B．

3.5

C．

3

D．

2.8

考点：

垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．1904127

专题：

压轴题．

分析：

利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF=BF，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可．

解答：

解：

连接DO，交AB于点F，

∵D是的中点，

∴DO⊥AB，AF=BF，

∵AB=4，

∴AF=BF=2，

∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，

∵BC为直径，AB=4，AC=3，

∴BC=5，

∴DO=2.5，

∴DF=2.5﹣1.5=1，

∵AC∥DO，

∴△DEF∽△CEA，

∴=，

∴==3．

故选C．

点评：

此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键．

2．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．1904127

专题：

压轴题．

分析：

如解答图所示：

结论①正确：

证明△ACM≌△ABF即可；

结论②正确：

由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；

结论③正确：

证法一：

利用四点共圆；证法二：

利用三角形全等；

结论④正确：

证法一：

利用四点共圆；证法二：

利用三角形全等．

解答：

解：

（1）结论①正确．理由如下：

∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，

∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，

∴∠5=∠6，

∴AM=AE=BF．

易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．

在△ACM与△ABF中，

，

∴△ACM≌△ABF（SAS），

∴CM=AF；

（2）结论②正确．理由如下：

∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，

∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，

∴CE⊥AF；

（3）结论③正确．理由如下：

证法一：

∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，

∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，

∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

证法二：

∵CE⊥AF，∠1=∠2，

∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．

在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，

∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．

在△ADG与△NCG中，

，

∴△ADG≌△NCG（SAS），

∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，

∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

（4）结论④正确．理由如下：

证法一：

∵A、D、C、G四点共圆，

∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，

∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．

证法二：

∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2

则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．

∵△ADG≌△NCG，

∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，

∴GD平分∠AGC．

综上所述，正确的结论是：

①②③④，共4个．

故选D．

点评：

本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．

3．（2013•海南）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．1904127

分析：

分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．

解答：

解：

别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，

∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，

在△BCE与△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF（ASA）

∴CF=BE=3，CE=AF=4，

在Rt△ACF中，

∵AF=4，CF=3，

∴AC===5，

∵AF⊥l3，DG⊥l3，

∴△CDG∽△CAF，

∴=，=，解得CD=，

在Rt△BCD中，

∵CD=，BC=5，

∴BD===．

故选A．

点评：

本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．

4．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：

⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（　　）

A．

5

B．

C．

D．

考点：

圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．1904127

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．

解答：

解：

∵AB为⊙O的直径，

∴AB=5，∠ACB=90°，

∵tan∠ABC=，

∴=，

∵CP⊥CQ，

∴∠PCQ=90°，

而∠A=∠P，

∴△ACB∽△PCQ，

∴=，

∴CQ=•PC=PC，

当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．

故选D．

点评：

本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．

5．（2012•宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．

B．

C．

2

D．

2

考点：

平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．1904127

专题：

压轴题．

分析：

根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．

解答：

解：

在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，

根据勾股定理，AC=BD===，

∵EF∥AC∥HG，

∴=，

∵EH∥BD∥FG，

∴=，

∴+=+=1，

∴EF+EH=AC=，

∵EF∥HG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2．

故选D．

点评：

本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出+=1是解题的关键，也是本题的难点．

6．（2012•泸州）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：

（1）△ABE∽△ECF，

（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（　　）

A．

（1）

（2）（3）

B．

（1）（3）

C．

（1）

（2）

D．

（2）（3）

考点：

相似三角形的判定与性质；矩形的性质．1904127

专题：

压轴题．

分析：

（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠FEC，然后利用有两角对应相等的三角形相似，证得△ABE∽△ECF；

（2）由

（1），根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由E是BC的中点，即可得，继而可求得tan∠BAE=tan∠EAF，即可证得AE平分∠BAF；

（3）当k=1时，可得四边形ABCD是正方形，由

（1）易求得CF：

CD=1：

4，继而可求得AB：

CD与BE：

DF的值，可得△ABE与△ADF不相似．

解答：

解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴△ABE∽△ECF；

故

（1）正确；

（2）∵△ABE∽△ECF，

∴，

∵E是BC的中点，

即BE=EC，

∴，

在Rt△ABE中，tan∠BAE=，

在Rt△AEF中，tan∠EAF=，

∴tan∠BAE=tan∠EAF，

∴∠BAE=∠EAF，

∴AE平分∠BAF；

故

（2）正确；

（3）∵当k=1时，即=1，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，

∵△ABE∽△ECF，

∴=2，

∴CF=CD，

∴DF=CD，

∴AB：

AD=1，BE：

DF=2：

3，

∴△ABE与△ADF不相似；

故（3）错误．

故选C．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．

7．（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

A．