七升八数学暑假衔接.docx

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七升八数学暑假衔接

第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲第十三讲第十四讲

七升八数学暑假讲义

相交线与平行线的相关概念直线相交时有关角的求法相交线与平行线中的拐角问题相交线与平行线中的折叠问题平面直角坐标系中的相关结论图形的平移及点的坐标的变化实数中分类讨论的数学思想实数中数形结合的数学思想实数中整体代入的数学思想方程组的解法（代入、加减）用二元一次方程组解应用题不等式的解及不等式的解集实际问题与一元一次不等式组抽样调查与频数分布直方图

第一讲：

相交线与平行线的相关概念

一、知识框架

二、典型例题

1.下列说法正确的有（）

1

对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;

④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图所示,下列说法不正确的是（）

A.点B到AC的垂线段是线段AB;

C.线段AD是点D到BC的垂线段;

D.线段BD是点B到AD的垂线段

3.下列说法正确的有（）

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

2在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

知识改变命运态度决定未来

5．

3在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

4

在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个B.2个C.3个

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，

这两次拐弯的角度可能是（）

10.如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:

∠1=8:

1,求∠4的度数.（方程思想）

11．如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,^请你证明所

得的四个关系.

12．如图，若AB//EF，∠C=90°，求x+y-z度数.分析：

如图，添加辅助线

证出：

x+y-z=90°

13．已知：

如图，BAP+APD=180，1=2

求证：

E=F

第二讲：

平面直角坐标系

一、知识要点：

1、特殊位置的点的特征

（1）各个象限的点的横、纵坐标符号

（2）坐标轴上的点的坐标：

x轴上的点的坐标为（x,0）,即纵坐标为0;

y轴上的点的坐标为（0,y），即横坐标为0;

2、具有特殊位置的点的坐标特征

设P1（x1,y1）、P2（x2,y2）

P1、P2两点关于x轴对称x1=x2，且y1=-y2;

P1、P2两点关于y轴对称x1=-x2，且y1=y2;

P1、P2两点关于原点轴对称x1=-x2，且y1=-y2。

3、距离

（1）点A（x,y）到轴的距离：

点A到x轴的距离为|y|；点A到y轴的距离为|x|；

（2）同一坐标轴上两点之间的距离：

A（xA,0）、B（xB,0），则AB=|xA-xB|；A（0,yA）、B（0,yB），则AB=|yA-yB|；

二、典型例题

1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy<0,则点M的位置（）

A．第二、第三象限B．第三、第四象限

C．第二、第四象限D．第一、第四象限

2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）

D．y轴负半轴上

D．第四象限

D．（-2，1）

A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上

3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限

4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（）

象限，

A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）

5．如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第

点Q（x-1，1-y）在第象限．

（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（）

A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）

8．已知点P（x,x），则点P一定（）

A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方

9．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）

A．（2，2），（3，4），（1，7）B．（-2，2），（4，3），（1，7）

C．（-2，2），（3，4），（1，7）D．（2，-2），（3，3），（1，7）11．“若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（x1+x2y1+y2，）．”

112222已知点A、B、C的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系．

12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90o得到OA，

则点A的坐标是（）

Ａ．（-4，3）Ｂ．（-3，4）Ｃ．（3，-4）Ｄ．（4，-3）分析：

13．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），

面积．

解：

做辅助线如图．

14．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）．

（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?

（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

A3

A2

oA1

A4

A

A10

A8A9

15．如图，已知A1（1,0）、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、

A5（2，-1），…，则点A2007的坐标为.

第三讲：

二元一次方程组

一、相关知识点

1、二元一次方程的定义：

经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程．

2、二元一次方程的标准式：

ax+by+c=0（a0,b0）

3、一元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解．

4、二元一次方程组的定义：

方程组中共有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组．

5、二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

二、典型例题

1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（C）

Ａ．x=1，Ｂ．x+y=1，Ｃ．x+y=1，Ｄ．y=x，

y+2=3．x-y=0．xy=0．x-2y=1．

2．有这样一道题目：

判断x=3，是否是方程组x+2y-5=0，的解？

y=12x+3y-5=0

小明的解答过程是：

将x=3，y=1代入方程x+2y-5=0，等式成立．所以x=3，是方

y=1

程组x+2y-5=0，的解．小颖的解答过程是：

将x=3，y=1分别代入方程x+2y-5=0和2x+3y-5=0

ìx=3，

2x+3y-5=0中，得x+2y-5=0，2x+3y-50．所以不是方程组

y=1

3．若下列三个二元一次方程：

3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（）

A．k=-4B．k=4

C．k=-3

D．k=3

6m-3n+1=0

（1）

4．解方程组

3m+2n-10=0

（2）

方法一：

（代入消元法）

方法二：

（加减消元法）

方法三：

（整体代入法）

2a-3b=13

a=8.3

5．已知方程组

的解是

，则方程组

3a+5b=30.9

b=1.2

是（

）

x=8.3

x=10.3

x=

A．

B．

C．

y=1.2

y=2.2

y=

6.3

2.2

ì2（x+2）-3（y-1）=13

3（x+2）+5（y-1）=30.9

D．

的解

ìx=10.3

y=0.2

6．

45

+=13xy

4-5=3

xy

7．解方程组x:

y=3:

2

3x-5y=3

（1）

（2）

8．解三元一次方程组

ìx+2y+z=8LLLL

（1）

x-y=-1LLLLL

（2）

x+2z=2y+3LLL（3）

三元一次方程组

消元转化

消元

9．字母系数的二元一次方程组．

1）当a为何值时，方程组

ax+2y=1

3x+y=3

有唯一的解．

2）当m为何值时，方程组

x+2y=1

2x+my=2

有无穷多解．

10．一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50o，若设1的度数为x，

2的度数为y，则得到的方程组为

x=y-50，

A．

x+y=180

11．为了改善住房条件，小奥的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，

B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同．第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，

小奥设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（）

12．某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数

不超过20千克

20千克以上但不超过

40千克以上

（千克）

40千克

每千克价格

6元

5元

4元

张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二

次分别购买香蕉多少千克？

分析：

由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。

解：

设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意0

2）当040时，由题意可得：

x+y=50，解得x=32（不合题意，

6x+4y=264y=18

舍去）

ìx+y=50

（3）当20

，方程组无解

5x+5y=264

由

（1）

（2）（3）可知，张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克。

第四讲：

一元一次不等式

一、知识链接：

1．不等式的基本性质通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。

性质1：

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。

若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。

性质2：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。

若a>b且c>0，则ac>bc。

性质3：

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

若a>b且c<0，则ac

2．同解不等式

如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。

3．一元一次不等式的定义：

像2x-76x，3x9等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。

4．一元一次不等式的标准形式

一元一次方程的标准形式：

ax+b0（a0）或ax+b0（a0）。

5．一元一次不等式组的解集确定

若a>b

ìx>a

则

（1）当时，则xa，即“大大取大”

x>b

ìx

（2）当时，则xb，即“小小取小”

x

ìx

3）当时，则bxa，即“大小小大取中间

x>b

ìx>a

4）当时，则无解，即“大大小小取不了

x

二、典型例题：

1．下列关系不正确的是（）

A．若ab，则baB．若ab，bc，则ac

C．若ab，cd，则a+cb+dD．若ab，cd，则a-cb-d

2．已知xy且xy0，a为任意有理数，下列式子中正确的是（）

22

A．-xyB．a2xa2yC．-x+a-y+aD．x-y

3．下列判断不正确的是（）

A．若ab0，bc0，则ac0B．若ab0，则11

ab

C．若a0，b0，则a-b0D．若ab，则11

bab

4．若不等式ax>b的解集是x>b，则a的范围是（）

a

A、a≥0B、a≤0C、a>0D、a<0

5．解关于x的不等式mx-2>3m+5x（m¹5）

解：

mx-5x>3m+2

（m-5）x>3m+2

（1）当m>5时，m-5>0,则

3m+2

x>

m-5

（2）当m5时，m-50,则

3m+2

x<

m-5

6．解关于x的不等式（2-a）xa+1。

解：

2-a>0，即a<2时，

a+1x<

2-a

2-a<0，即a>2时，

a+1x>

2-a

2-a=0，即a=2时，不等式即0x<3，不等式有任意解

7．若不等式m（x-2）x+1和3x-50是同解不等式，求m的值。

解：

由3x-50得

x<3

（1）

由m（x-2）>x+1得

（m-1）x>2m+1

（2）

Q

（1）、

（2）两不等式为同解不等式。

ìm-1<0

2m+15

îm-13

ìm<1í

m=8m=-8。

另解：

因为方程3x-5=0的解是x=5

3所以方程m（x-2）=x+1的解是x=将x=5代入，解得m=-8

3

ì2x+7>3x-1

8．不等式组2x+73x-1的解集为__x-2³0

解：

2x8

ìx+8<4x-1

，则m的取值范围是（

=3D．m<3

9．若不等式组的解是x>3

x³m

A．m3B．m3C．m

分析：

2x3（x-3）+1

10．关于x的不等式组3x+2x+a

有四个整数解，则a的取值范围是（

分析：

不等式组可化为

x8

所以

12<2-4a£13，解得：

-141£a<-52

解法一：

由方程组可得

不等式解集为x2或x-2

思考题：

解下列含绝对值的不等式。

1）2x-13

（2）2x-14

第四讲：

一元一次不等式（组）的应用

一、能力要求：

1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。

2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。

3．能够用分类讨论思想解有关问题。

4．能利用不等式解决实际问题

二、典型例题

1．m取什么样的负整数时，关于x的方程1x-1=m的解不小于－3.

2

分析：

解方程得：

x=2m+2

由题意：

2m+2≥-3，所以m≥-2.5

符合条件的m值为-1，-2

2．已知x、y满足x-2y+a+（x-y-2a+1）=0且x-3y-1，求a的取值范围.

ìx-2y+a=0ìx=5a-2

分析：

解方程组得

x-y-2a+1=0y=3a-1

代入不等式，解得a1

2

3．比较a-3a+1和a+2a-5的大小

（作差法比大小）

解：

a-3a+1-（a+2a-5）

=a-3a+1-a-2a+5

=-a+6

1）当-a+60,即a6时,

a-3a+1

2）当-a+6=0,即a=6时,

a-3a+1=a+2a-5

3）当-a+60,即a6时,

a-3a+1>a+2a-5

4．若方程组的解为x、y，且2

分析：

用整体代入法更为简单

5．k取怎样的整数时，方程组kx-2y=3

3x+ky=4

解：

（1）当k＝0时，

x>0

y<0

k2+6>0

ï4kk2+-69<0

Qk2+60

原不等式组可化为

ì3k+8>0

4k-9<0

89\－

34

k取整数值为：

k=-2,-1,1,2。

2-a

6．若2（a-3）<2-a，求不等式

分析：

解不等式2（a-3）<2-a得：

a<20

由（）

5

20

因为a<所以a-5<0

7

于是不等式a（x-4）-a

5a-5

7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.

x-1

不等式x-10的解的过程如下：

x-2

解不等式组○1，得x2；解不等式组○2，得x1

所以原不等式的解为x2或x1

x+2

请你按照上述方法求出不等式x+20的解.

x-5

分析：

典型错误解法：

x+2

由不等式x+20得：

x-5

所以原不等式的解为x5或x-2

x+2ìx+2³0ìx+2£0

正确解法：

由不等式x+20得：

或

x-5x-50x-50

所以原不等式的解为x5或x-2

8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为x分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为y1和y2，请算一算，哪种对用户合算．

解：

y=58+0.4xy=0.6x

（1）若yy则58+0.4x0.6x解得：

x290

所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。

（2）若y=y则58+0.4x=0.6x解得：

x=290

所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。

（3）若yy则58+0.4x0.6x解得：

x290

所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。

9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：

（1）有几种符合题意的生产方案？

写出解答过程；

（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？

原料名称

饮料名称

甲

乙

A

20克

40克

B

30克

20克

分析：

（1）据题意得：

20x+30（100-x）2800

40x+20（100-x）2800

解不等式组，得20x40

因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。

2）由题意得：

y=2.6x+2.8（100-x）

整理得：

y=-0.2x+280

因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低

10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

问：

每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，

家电名称

空调器

彩电

冰箱

才能使产值最高，最高产值是多少万元？

工时（个）

1

2

1

3

1

4

产值（万元/台）

0.4

0.3

0.2

解：

设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是x台、y台、z台，设此时的产值为P万元。

根据题意得：

x+y+z=360LL

（1）1x+1y+1=120LL

（2）234

0x360,0y360,40z360LL（3）x,y,z均为整数LL（4）

解得：

40z240

13

P=0.4x+0.3y+0.2z＝0.41z+0.3（360-3z）+0.2z＝108-0.05z要使P最大，只需z最小

当z=40时

P最大＝108－0.05×40＝106（万元）

2

y=360-32z=300（台）

此时x=1z=20（台）答：

每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？

第五讲：

与三角形有关的线段

、相关知识点

1．三角形的边三角形三边定理：

三角形两边之和大于第三边即：

△A