届辽宁省重点高中协作校高三第三次模拟考试数学理试题.docx

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届辽宁省重点高中协作校高三第三次模拟考试数学理试题

辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（）

A．B．C．D．

2.若复数，则（）

A．1B．C．D．2

3.已知上的奇函数满足：

当时，，则（）

A．1B．-1C．-2D．2

4.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比列如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该学校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）

A．12B．15C.20D．21

5.已知等差数列中，，则（）

A．1B．3C.5D．7

6.已知实数满足，则的最大值与最小值之和为（）

A．-21B．-1C.-2D．1

7.将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（）

A．B．C.D．

8.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数被3除余2，被7除余4，被8除余5，求的最小值.执行程序框图，则输出的（）

A．62B．59C.53D．50

9.已知三棱锥中，平面,，，则三棱锥外接球的表面积为（）

A．B．C.D．

10.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）

A．B．C.D．

11.已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为（）

A．B．C.D．

12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知向量，若，则．

14.若的展开式中的系数为80，则．

15.已知等比数列的前项和为，且，则．

16.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在中，内角的对边分别为，已知.

（1）证明：

；

（2）若，求边上的高.

18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为,摔倒的概率均为.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.

（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；

（2）求的分布列及数学期望.

19.如图，在高为4的正三棱柱中，为棱的中点，分别为棱上一点，且.

（1）证明：

平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.已知椭圆的左、右焦点分别为，点也为抛物线的

焦点.

（1）若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；

（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为，证明是定值.

21.已知函数的图象在与轴的交点的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

（2）若直线与曲线的交点分别为，求.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）记函数的最大值为，若，求的最小值.

辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

CBDAD6-10:

BACBA11、12：

DC

二、填空题

13.14.-215.16.2

三、解答题

17.

（1）证明：

因为，

所以，

所以，

故.

（2）解：

因为，

所以.

又，所以，解得，

所以，

所以边上的高为.

18.解：

（1）由题意可知：

.

（2）的所有可能值为.

则，且相互独立.

故，

，

，

，

.

从而的分布列为

0

1

2

3

4

所以.

19.

（1）证明：

在正三棱柱中，

平面，则，

为的中点，.

又平面，.

平面.

（2）解：

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

易得,

设平面的法向量为，

则

取，则.

，

直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：

因为抛物线的焦点为，所以，故，

所以椭圆

（1）设，则

两式相减得

，

又的中点为，所以.

所以.

显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.

（2）椭圆右焦点.

当直线的斜率不存在或者为0时，.

当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为,

设，联立方程得

消去并化简得，

因为，

所以.

所以.

同理可得.

所以为定值.

21.解：

（1）由得切点为.

，.

又，.

（2）由得，

设，对恒成立，

在上单调递增，.

，

由对恒成立得对恒成立，

设，，

当时，，单调递减，，即.

综上，的取值范围为.

22.解：

（1）因为，所以，

即，

所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线.

（2）直线过抛物线的焦点，且参数方程为（为参数），

代入曲线的直角坐标方程，得，

所以.

所以.

23.解：

（1）当时，由，得，

所以；

当时，由，得，

所以；

当时，由，得，无解.

综上可知，，即不等式的解集为.

（2）因为，

所以函数的最大值.

因为，所以.

又，

所以，

所以，即.

所以有.

又，所以，即的最小值为4.