学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中考试数学试题解析版.docx

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学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中考试数学试题解析版

2016-2017学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中考试数学试题

一、选择题

1．等差数列则数列的公差

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】因为，

所以.

本题选择B选项.

2．已知在中,,那么的值为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为，

所以.

所以

本题选择A选项.

3．在中，，，则

A.B.C.或D.以上答案都不对

【答案】A

【解析】利用正弦定理得，

即，

又得，故.

本题选择A选项.

4．下列函数中,最小值为的是

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】对于选项A，若，则不成立；

对于选项D，若，则不成立；

对于选项B，，当且仅当，

即时取等号，但，故不成立；

对于选项C，，

当且仅当，时取到等号.

本题选择C选项.

点睛：

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

5．在数列中,=-2,则=

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】因为=-2,，所以，，，.

所以可知数列是以4为周期的数列，所以

本题选择B选项.

6．设表示直线,表示平面.给出四个结论:

①如果∥,则内有无数条直线与平行;②如果∥,则内任意的直线与平行;

③如果∥,则内任意的直线与平行;

④如果∥,对于内的一条确定的直线,在内仅有唯一的直线与平行.

以上四个结论中,正确结论的个数为

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】对于①，正确；

对于②，除了平行，还有异面情况存在，故错误；

对于③，由平面与平面平行的定义知，正确；

对于④，在内可以有无数条直线与之平行，故错误.所以正确结论的个数为2个.

本题选择C选项.

点睛：

线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．

7．已知等比数列各项均为正数,且成等差,则

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】因为成等差,所以,

所以,所以，

解得或,

因为等比数列各项均为正数,

所以,.

本题选择C选项.

8．在中,=分别为角的对应边）,则的形状为

A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】由题可得=，所以.

由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角.

本题选择B选项.

9．某几何体的三视图如图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为

A.4πB.C.D.20π

【答案】B

【解析】由题可得，该几何体是一个底面为边长为2的正三角形，高为2的三棱柱.

其外接球的半径为，所以该外接球的表面积为.

本题选择B选项.

点睛：

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．

10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于

A.30B.12C.24D.4

【答案】C

【解析】试题分析：

由三视图可知，空间几体体的直观图如下图所示：

所求几何体的体积

故选C.

【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积.

11．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】连接.因为，所以的大小即为异面直线所成角的大小.

因为，所以

所以有.所以.

所以其余弦值为0.

本题选择D选项.

点睛：

（1）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：

平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：

证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：

求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：

由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

12．已知是不相等的正数,且,则的取值范围是

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】因为，所以有，

所以有,解得.因为,

所以有.所以.

本题选择B选项.

二、填空题

13．已知圆锥底面圆的半径为1,侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积是_________.

【答案】

【解析】由题可得，侧面展开的扇形的弧长为，所以扇形的半径为3，

所以该扇形的面积为.即圆锥的侧面积为.

14．在数列中,=,则_______.

【答案】

【解析】由题可得，.

15．已知公差为的等差数列的前项和为,且,则使成立的最小的自然数的值为______________.

【答案】9

【解析】由题可得，，

解得.所以使得成立的最小的自然数的值为9.

16．已知正数x、y满足，则的最小值是

【答案】18

【解析】解：

因为正数x、y满足，则（），当且仅当

时取的等号。

三、解答题

17．在中,角的对边分别为

（1）求的值;

（2）求的值.

【答案】

（1）,.

（2）.

【解析】试题分析：

（1）利用三角形面积公式计算得到边c，再结合余弦定理计算得到边a.

（2）先通过正弦定理计算得到，再转化得到，最后利用两角和的正弦公式求值计算.

试题解析：

（1）由得,

由余弦定理得.

（2）由正弦定理得

因为为钝角,所以

所以.

18．等比数列的各项均为正数,且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前n项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设出数列的公比q,依题意列方程即可求得q和；

（Ⅱ）根据的通项求得,从而求得的通项,然后利用列项相消求和即可.

试题解析：

（Ⅰ）设数列的公比为q,由得,

所以,由条件可知>0,故,由,得,

所以.故数列的通项式为.

（Ⅱ）因为,

所以,

所以,

所以.

所以数列的前n项和为

点睛：

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

19．如图,在某港口处获悉,其正东方向距离20nmile的处有一艘渔船遇险等待营救,此时救援船在港口的南偏西30°距港口10nmile的C处,救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船.

（1）求接到救援命令时救援船距渔船的距离;

（2）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?

（已知cos49°＝）

【答案】

（1）10nmile；

（2）沿北偏东71°的方向救援.

【解析】试题分析：

（1）利用余弦定理计算得到救援船距离渔船的距离；

（2）利用正弦定理求得sin∠ACB，并确定其角度，获取救援方向.

试题解析：

本题考查解三角形实际应用.解答本题时要注意

（1）

（2）

（1）由题意,在△ABC中,AB＝20,AC＝10,∠CAB＝120°,

∵＝＋-2AB·ACcos∠CAB,

∴＝＋-2×20×10cos120°＝700,

∴BC＝10,

所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为10nmile.

（2）△ABC中,AB＝20,BC＝10,∠CAB＝120°,

由正弦定理,得＝,即＝,∴sin∠ACB＝.

∵cos49°＝sin41°＝,∴∠ACB＝41°,故救援船应沿北偏东71°的方向救援.

20．如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且是的中点.

（1）求证:

;

（2）若是的中点,求证:

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）利用垂直，构造等腰三角形，证明结论成立；

（2）通过构造平行四边形，证明∥，结合直线与平面平行的判定定理，证明得到直线与平面平行.

试题解析：

（1）设为的中点，则可得平面

且

所以.

（2）∥,为中点，

所以∥，∥，且=， =

所以为平行四边形，从而∥

平面，平面

故∥平面.

点睛：

一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．

二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面．

三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．

21．在△中,角的对边分别为.已知向量,  .

（1）求的值;

（2）若,求△周长的最大值.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）利用向量数量积构造角A的三角函数关系式，然后进行求值计算；

（2）通过正弦定理，化边为角，通过三角恒等变换，将结论转化为“一角一函数”的形式，然后利用三角函数的有界性，求得最大值.

试题解析：

（1）由得-

（2）因为且,所以,所以

△周长==

因为,所以时,△周长有最大值,最大值为.

22．已知数列的前项和为，且有，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）若，且数列中的每一项总小于它后面的项，求实数的取值范围.

【答案】

（1）

（2）（3）

【解析】试题分析：

解：

（Ⅰ），

∴，（2分）

∵，∴（4分）

（Ⅱ），

（6分）

∴

∴（8分）

（Ⅲ），

∵，∴，

∵，∴.（10分）

∵，∴

∵，∴.（12分）

【考点】数列的通项公式和求和

点评：

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和数列求和的运用，是高考的热点问题，给予关注，属于基础题。