（2）已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是__________．
答案 （－∞，－2）
解析 当a＝0时，f（x）＝－3x2＋1有两个零点，不合题意，故a≠0，f′（x）＝3ax2－6x＝3x（ax－2），
令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝.
若a>0，由三次函数图象知f（x）有负数零点，不合题意，故a<0.
由三次函数图象及f（0）＝1>0知，f>0，
即a×3－3×2＋1>0，化简得a2－4>0，
又a<0，所以a<－2.
题型三 利用导数研究生活中的优化问题
典例（2015·江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？
求出最短长度．
解
（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5,40），（20,2.5）．
将其分别代入y＝，
得解得
（2）①由
（1）知，y＝（5≤x≤20），
则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，
则l的方程为y－＝－（x－t），
由此得A，B.
故f（t）＝＝，t∈[5,20]．
②设g（t）＝t2＋，则g′（t）＝2t－.
令g′（t）＝0，解得t＝10.
当t∈（5,10）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；
当t∈（10，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数．
从而，当t＝10时，函数g（t）有极小值，也是最小值，
所以g（t）min＝300，此时f（t）min＝15.
答：
当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．
（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0.
（3）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．
（4）回归实际问题，结合实际问题作答．
跟踪训练某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x（x>0），为使耗电量最小，则速度应定为________．
答案 40
解析 令y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，
由于当040时，y′>0.
所以当x＝40时，y有最小值．
一审条件挖隐含
典例（16分）设f（x）＝＋xlnx，g（x）＝x3－x2－3.
（1）如果存在x1，x2∈[0,2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（2）如果对于任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
（1）存在x1，x2∈[0,2]使得g（x1）－g（x2）≥M
↓（正确理解“存在”的含义）
[g（x1）－g（x2）]max≥M
↓ 挖掘[g（x1）－g（x2）]max的隐含实质
g（x）max－g（x）min≥M
↓
求得M的最大整数值
（2）对任意s，t∈都有f（s）≥g（t）
↓ （理解“任意”的含义）
f（x）min≥g（x）max
↓ 求得g（x）max＝1
＋xlnx≥1恒成立
↓ 分离参数a
a≥x－x2lnx恒成立
↓ 求h（x）＝x－x2lnx的最大值
a≥h（x）max＝h
（1）＝1
↓
a≥1
规范解答
解
（1）存在x1，x2∈[0,2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，等价于[g（x1）－g（x2）]max≥M.[2分]
由g（x）＝x3－x2－3，得g′（x）＝3x2－2x＝3x.
令g′（x）>0，得x<0或x>，
又x∈[0,2]，所以g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g（x）min＝g＝－，
g（x）max＝g
（2）＝1.
故[g（x1）－g（x2）]max＝g（x）max－g（x）min＝≥M，
则满足条件的最大整数M＝4.[7分]
（2）对于任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在区间上，函数f（x）min≥g（x）max.[9分]
由
（1）可知在区间上，g（x）的最大值为g
（2）＝1.
在区间上，f（x）＝＋xlnx≥1恒成立等价于a≥x－x2lnx恒成立．[11分]
设h（x）＝x－x2lnx，h′（x）＝1－2xlnx－x，可知h′（x）在区间上是减函数，又h′
（1）＝0，
所以当10.[13分]
即函数h（x）＝x－x2lnx在区间上单调递增，在区间（1,2）上单调递减，所以h（x）max＝h
（1）＝1，
所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）．[16分]
1．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
答案 －2或2
解析 ∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.
则当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
y′
＋
0
－
0
＋
y
c＋2
c－2
因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
2．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（0）＝0.若对任意x∈R，都有f（x）>f′（x）＋1，则使得f（x）＋ex<1成立的x的取值范围为________．
答案 （0，＋∞）
解析 构造函数g（x）＝，则g（0）＝＝－1.
∵对任意x∈R，都有f（x）>f′（x）＋1，
∴g′（x）＝
＝<0，
∴函数g（x）在R上单调递减．
由f（x）＋ex<1化为g（x）＝<－1＝g（0），
∴x>0.
∴使得f（x）＋ex<1成立的x的取值范围为（0，＋∞）．
3．若不等式2xlnx＋x2＋ax＋3≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，则实数a可取的值组成的集合是____
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