届二轮复习 导数与函数的综合问题学案全国通用.docx

1、届二轮复习 导数与函数的综合问题 学案全国通用第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式命题点1证明不等式典例 已知函数f(x)1，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xln x)f(x)1.证明(1)由题意得g(x)(x0)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以g(x)g(1)1，得证(2)由f(x)1，得f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)1(当且仅当x2时取等号)又由(1)知xln x1(当且仅当x1时取等号)，

2、且等号不同时取得，所以(xln x)f(x)1.命题点2不等式恒成立或有解问题典例 已知函数f(x).(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以x1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，所以0a1a，故a0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2引申探究本例(2)中若改为：x1，e，使不等式f(x)成立，求实数

3、k的取值范围解当x1，e时，k有解，令g(x)(x1，e)，由例(2)解题知，g(x)为单调增函数，所以g(x)maxg(e)2，所以k2，即实数k的取值范围是.思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法证明f(x)0，a1)(1)当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；(2)若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值(1)证明f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.由于a1，故当x(0，)时，ln a0，ax10，所以f(x)0，故函数f(x)在(0，)上单调递增(2)解当a0，a1时，因为f(0)0，且f(x)在R上单调递增，故f(x)0有唯一解x0，列表如下：x

4、(，0)0(0，)f(x)0f(x) 极小值 又函数y|f(x)t|1有三个零点，所以方程f(x)t1有三个根而t1t1，所以t1f(x)minf(0)1，解得t2.思维升华 利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而利用零点存在性定理判断函数的零点个数跟踪训练 (1)已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为_答案4解析根据导函数图象知，2是函数

5、的极小值点，函数yf(x)的大致图象如图所示由于f(0)f(3)2,1a0，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析当a0时，f(x)3x21有两个零点，不合题意，故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10，x2.若a0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a0知，f0，即a33210，化简得a240，又a0，所以a2.题型三利用导数研究生活中的优化问题典例 (2015江苏) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，

6、如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l

7、的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.答：当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4

8、)回归实际问题，结合实际问题作答跟踪训练 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间的关系为yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析令yx239x400，得x1或x40，由于当0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值一审条件挖隐含典例 (16分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M (正确理解“存在”的含义)g(x1)g(x2)maxM挖掘g

9、(x1)g(x2)max的隐含实质g(x)maxg(x)minM求得M的最大整数值(2)对任意s，t都有f(s)g(t)(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max求得g(x)max1xln x1恒成立分离参数aaxx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的最大值ah(x)maxh(1)1a1规范解答解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.2分由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0，得x，又x0,2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g

10、(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.7分(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max.9分由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立11分设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.13分即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)16分1已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.答案2或2解析y3x23，当y0时，x1.则当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y c2 c2 因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.2定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，f(0)0.若对任意xR，都有f(x)f(x)1，则使得f(x)exf(x)1，g(x)0，函数g(x)在R上单调递减由f(x)ex1化为g(x)0.使得f(x)ex1成立的x的取值范围为(0，)3若不等式2xln xx2ax30对x(0，)恒成立，则实数a可取的值组成的集合是_