t2+240)<60(-
×302+240)=6300,
故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6300万元.
点评:
1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.
2.在t∈[0,40]上,有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.
3.二次函数的最值可用配方法,另外利用单调性求最值也是常用方法之一.
本节学习了:
①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用.
课本习题3.2A组3、4.
本节设计从精彩的故事开始,让学生从故事中体会数学带来的震撼,然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力,因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩,可灵活选用.
[备选例题]
【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为:
每年投入x万元,可获得利润P=-
(x-40)2+100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:
在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:
每年投入x万元,可获利润Q=-
(60-x)2+
(60-x)万元.
问从10年的累积利润看,该规划方案是否可行?
解:
在实施规划前,由题设P=-
(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元.
则10年的总利润为W1=100×10=1000(万元).
实施规划后的前5年中,由题设P=-
(x-40)2+100,知每年投入30万元时,有最大利润Pmax=
(万元).
前5年的利润和为
×5=
(万元).
设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而用剩下的(60-x)万元用于外地区的销售投资,则其总利润为
W2=[-
(x-40)2+100]×5+(-
x2+
x)×5
=-5(x-30)2+4950.
当x=30时,(W2)max=4950(万元).
从而10年的总利润为
+4950(万元).
∵
+4950>1000,
∴该规划方案有极大实施价值.
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用(3)教案新人教A版必修1
教学目标
知识与技能:
(1)通过实例“汽车的行驶规律”,理解一次函数、分段函数的应用,提高学生的读图能力.
(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”,使学生学会指数型函数的应用,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
过程与方法:
在实际问题的解决中,发展学生科学地提出问题、分析问题的能力,体会数学与物理、人类社会的关系.
情感、态度与价值观:
通过学习,体会数学在社会生活中的应用价值,培养学生的兴趣和探究素养.
重点、难点
教学重点:
分段函数和指数型函数的应用.
教学难点:
函数模型的体验与建立.
导入新课
思路1.(情境导入)
在课本第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们几乎占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛、羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.
与之相应,图中话道出了其中的意蕴:
对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下,那么它将呈指数增长;但在有限制的环境中,种群数量一般符合对数增长模型.上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异,这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用.
思路2.(直接导入)
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异,这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用.
推进新课
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x).
②A、B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处的D地建一核电站,给A、B两城供电,为保证城市安全.核电站距城市的距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域.
③分析以上实例属于那种函数模型.
讨论结果:
①f(x)=5x(15≤x≤40);
g(x)=
②y=5x2+
(100—x)2(10≤x≤90).
③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.
例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(1)求图1中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式,并作出相应的图象.
图1
活动:
学生先思考讨论,再回答.教师可根据实际情况,提示引导.
图中横轴表示时间,纵轴表示速度,面积为路程;由于每个时间段速度不同,汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数为分段函数.
解:
(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
(2)根据图1,有s=
这个函数的图象如图2所示.
图2
变式训练
电信局为了满足客户不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图3所示(其中MN∥CD).
(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x);
(2)假如你是一位电信局推销人员,你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的?
并说明理由.
图3
解:
(1)两种优惠方案所对应的函数解析式:
f(x)=
g(x)=
(2)当f(x)=g(x)时,
x-10=50,
∴x=200.
∴当客户通话时间为200分钟时,两种方案均可;
当客户通话时间为0≤x<200分钟,g(x)>f(x),故选择方案A;
当客户通话时间为x>200分钟时,g(x)点评:
在解决实际问题过程中,函数图象能够发挥很好的作用,因此,我们应当注意提高读图的能力.另外,本题用到了分段函数,分段函数是刻画实际问题的重要模型.
2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:
y=y0ert,
其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
解:
(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.
由55196(1+r1)=56300,
可得1951年的人口增长率为r1≈0.0200.
同理可得,r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276,r8≈0.0222,r9≈0.0184.
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为
r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t,t∈N.
根据表中的数据作出散点图,并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象(图4).
图4
由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将y=130000代入y=55196e0.0221t,
由计算器可得t≈38.76.
所以,如果按表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
变式训练
一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)
解:
(1)最初的质量为500g.
经过1年后,ω=500(1-10%)=500×0.91;
经过2年后,ω=500×0.9(1-10%)=500×0.92;
由此推知,t年后,ω=500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,
所以t=
=
≈6.6(年),
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.
(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;
(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:
=2.236,