t2＋240）<60（－
×302＋240）＝6300，
故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6300万元．
点评：
1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．
2.在t∈[0,40]上，有几个分界点，t＝20，t＝30两点把区间分为三段．
3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．
本节学习了：
①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．
课本习题3.2A组3、4.
本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．
[备选例题]
【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：
每年投入x万元，可获得利润P＝－
（x－40）2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：
在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：
每年投入x万元，可获利润Q＝－
（60－x）2＋
（60－x）万元．
问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
解：
在实施规划前，由题设P＝－
（x－40）2＋100（万元），知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．
则10年的总利润为W1＝100×10＝1000（万元）．
实施规划后的前5年中，由题设P＝－
（x－40）2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝
（万元）．
前5年的利润和为
×5＝
（万元）．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x）万元用于外地区的销售投资，则其总利润为
W2＝[－
（x－40）2＋100]×5＋（－
x2＋
x）×5
＝－5（x－30）2＋4950.
当x＝30时，（W2）max＝4950（万元）．
从而10年的总利润为
＋4950（万元）．
∵
＋4950>1000，
∴该规划方案有极大实施价值．
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用（3）教案新人教A版必修1
教学目标
知识与技能：
（1）通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．
（2）通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
过程与方法：
在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．
情感、态度与价值观：
通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．
重点、难点
教学重点：
分段函数和指数型函数的应用．
教学难点：
函数模型的体验与建立．
导入新课
思路1.（情境导入）
在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
与之相应，图中话道出了其中的意蕴：
对于一个种群的数量，如果在理想状态（如没有天敌、食物充足等）下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．
思路2.（直接导入）
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．
推进新课
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40），试求f（x）和g（x）．
②A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处的D地建一核电站，给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．
③分析以上实例属于那种函数模型．
讨论结果：
①f（x）＝5x（15≤x≤40）；
g（x）＝
②y＝5x2＋
（100—x）2（10≤x≤90）．
③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型．
例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．
（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象．
图1
活动：
学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．
图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s（km）与时间t（h）的函数为分段函数．
解：
（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
（2）根据图1，有s＝
这个函数的图象如图2所示．
图2
变式训练
电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间关系如图3所示（其中MN∥CD）．
（1）分别求出方案A、B应付话费（元）与通话时间x（分钟）的函数表达式f（x）和g（x）；
（2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的？
并说明理由．
图3
解：
（1）两种优惠方案所对应的函数解析式：
f（x）＝
g（x）＝
（2）当f（x）＝g（x）时，
x－10＝50，
∴x＝200.
∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；
当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g（x）>f（x），故选择方案A；
当客户通话时间为x>200分钟时，g（x）点评：
在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本题用到了分段函数，分段函数是刻画实际问题的重要模型.
2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y＝y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：
（1）设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9.
由55196（1＋r1）＝56300，
可得1951年的人口增长率为r1≈0.0200.
同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r＝（r1＋r2＋…＋r9）÷9≈0.0221.
令y0＝55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y＝55196e0.0221t，t∈N.
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55196e0.0221t（t∈N）的图象（图4）．
图4
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
（2）将y＝130000代入y＝55196e0.0221t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
变式训练
一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．
（1）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到0.1.已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
解：
（1）最初的质量为500g.
经过1年后，ω＝500（1－10%）＝500×0.91；
经过2年后，ω＝500×0.9（1－10%）＝500×0.92；
由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
（2）解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，
所以t＝
＝
≈6.6（年），
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．
（1）求1997年每台A型电脑的生产成本；
（2）以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．（精确到0.01，以下数据可供参考：
＝2.236，
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