高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用2教案 新人教A版必修1.docx

1、高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用2教案 新人教A版必修12019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（2）教案 新人教A版必修1导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子请给我足够的麦粒以实现上述要求”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者

2、要求，这就是指数增长本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异思路2.(直接导入)我们知道，对数函数ylogax(a1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数但这三类函数的增长是有差异的本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异推进新课在区间 0， 上判断ylog2x，y2x，yx2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：在区间(0，)上函数ylog2x，y2x，yx2均为单调

3、增函数见下表与图9.X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4Y2x1.1491.51622.6393.4824.9596.063810.556Yx20.040.3611.963.244.846.67911.56ylog2x2.3220.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766图9从图象看出ylog2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y2x的图象与yx2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)(4，)我们在更大的范围内列表作函

4、数图象(图10)，X012345678Y2x1248163264128256Yx201491625364964图10容易看出：y2x的图象与yx2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时x21)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是

5、渐渐地与x轴平行一样尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn0)增长快于对数函数ylogax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”例1某市的一家报刊摊点

6、，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x250,400时，每月所获利润才能最大而每月所获利润卖报收入的总价付给报社的总价卖报收入的总价包含三部分：可卖出400份的20天里，收入为200.30x；可卖出250份的10天里，收入为100

7、.30250；10天里多进的报刊退回给报社的收入为100.05(x250)付给报社的总价为300.20x.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x250,400时，每月所获利润才能最大于是每月所获利润y为y200.30x100.30250100.05(x250)300.20x0.5x625，x250,400因函数y在250,400上为增函数，故当x400时，y有最大值825元例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线图12(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克

8、时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意，得y(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t14，t14.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2(t24)4，解得t29，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和， (t24)(t29)4，解得t313.5，故第四次服药应在20：30.变式训练 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能

9、力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f(x)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9，知当x10时，f(x)maxf(10)59；当10x16时，f(x)59；当16x30时，f(

10、x)3x107，知f(x)31610759.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟(2)f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)3201074753.5，开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13(2)的抛物线段表示(1)写出图13(1)表示的市场售价与时间的函数关系Pf(t)；写出图13(2)表示的种植成本与时间的函数关

11、系式Qg(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1)(2)图13(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)由图13(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)(t150)2100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)f(t)g(t)即h(t)当0t200时，配方整理，得h(t)(t50)2100，所以当t50时，h(t)取得区间0,200上的最大值100；当20087.5

12、可知，h(t)在区间0,300上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力探究内容在函数应用中如何利用图象求解析式分段函数解析式的求法函数应用中的最大值、最小值问题举例探究：(xx山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示其中图14(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关

13、系；图14(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系图14(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元？分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式2在t0,40上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段3回忆函数最值的求法解：(1)f(t)g(t)t26t(0t40)(2)每件A产品销售利润h(t)该公司的日销售利润F(t)当0t20时，F(t)3t(

14、t28t)，先判断其单调性设0t1t220，则F(t1)F(t2)3t1(t8t1)3t2(t8t2)(t1t2)(t1t2)2.F(t)在0,20上为增函数F(t)maxF(20)6 0006 300.当206 300，则t30；当30t40时，F(t)60(t2240)1 000，该规划方案有极大实施价值2019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（3）教案 新人教A版必修1教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生

15、活中的广泛应用过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用教学难点：函数模型的体验与建立导入新课思路1.(情境导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于

16、75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用思路2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用推进新课我市有甲、乙两家乒乓球俱乐

17、部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x)A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站，给A、B两城供电，为保证城市安全核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比

18、例系数0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域分析以上实例属于那种函数模型讨论结果：f(x)5x(15x40)；g(x)y5x2(100x)2(10x90)分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象图1活动：学生先思考讨论，再回答教师可根据实际情况，提示引导图中横轴表示

19、时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数为分段函数解：(1)阴影部分的面积为501801901751651360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)根据图1，有s这个函数的图象如图2所示图2变式训练 电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图3所示(其中MNCD)(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)； (2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的？并说明理由图

20、3解：(1)两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)g(x)(2)当f(x)g(x)时， x1050，x200.当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0x200分钟，g(x)f(x)，故选择方案A；当客户通话时间为x200分钟时，g(x)f(x)，故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本题用到了分段函数，分段函数是刻画实际问题的重要模型.2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，17661834

21、)就提出了自然状态下的人口增长模型：yy0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率下表是19501959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55 19656 30057 48258 79660 26661 45662 82864 56365 99467 207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一

22、年我国的人口达到13亿？解：(1)设19511959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，r9.由55 196(1r1)56 300，可得1951年的人口增长率为r10.020 0.同理可得，r20.021 0，r30.022 9，r40.025 0，r50.019 7，r60.022 3，r70.027 6，r80.022 2，r90.018 4.于是，19511959年期间，我国人口的年平均增长率为r(r1r2r9)90.022 1.令y055 196，则我国在19501959年期间的人口增长模型为y55 196e0.022 1t，tN.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y55 196e

23、0.022 1t(tN)的图象(图4)图4由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合(2)将y130 000代入y55 196e0.022 1t，由计算器可得t38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(1)求t年后，这种放射性元素质量的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)(精确到0.1.已

24、知lg20.301 0，lg30.477 1)解：(1)最初的质量为500 g.经过1年后，500(110%)5000.91；经过2年后，5000.9(110%)5000.92；由此推知，t年后，5000.9t.(2)解方程5000.9t250，则0.9t0.5，所以t6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01，以下数据可供参考：2.236，