华师大七年级数学单元练习题1.docx

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华师大七年级数学单元练习题1

第九章三角形解答题练习

一．解答题（共30小题）

1．△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PE=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图l，且∠α=50°，则∠1+∠2=　　　　　　°

（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：

　　　　　　；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠l、∠2之间有何关系？

猜想并说明理由．

（4）若点P运动到△ABC形外，如图4，则∠α、∠l、∠2之间的关系为：

　　　　　　．

2．

（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；

（2）如图②，若把

（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；

（3）若把

（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE的度数；

（4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？

3．在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合），点P是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠a．

（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图

（1）所示．则∠1+∠2=　　　　　　．（用α的代数式表示）

（2）若点P在△ABC的外部，如图

（2）所示．则∠α、∠1、∠2之间有何关系？

写出你的结论，并说明理由．

（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．（不需要证明）

4．如图，△ABC中，∠B=26°，∠C=70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠DEF的度数．

5．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．

（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？

并说明理由．

（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　　　　　　．

（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？

并说明理由．

6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．

（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．

（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：

当∠B=30°，∠C=60°则∠EAD=　　　　　　°；当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD=　　　　　　°；

当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=　　　　°；当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=　　　　°．

（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？

请直接写出你发现的结论．

7．如图1，长方形ABCD中，AB=a，AD=b，E是AD边上一点，AE：

AD=n；

（1）当n=　　　　　　时，

；S△BEC=　　　　　　；

（2）若F是BC的中点（图2），P是BC上一点，试说明S△BPE、S△PCE、S△PEF之间的关系；

（3）若P在BC边的延长线上，直接写出S△BPE、S△PCE、S△PEF之间的关系为　　　　　　．

8．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．

（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

（2）将

（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（3）将

（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

9．已知：

△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．

（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C=70°，∠B=30°，请你用量角器直接量出∠DAE的度数；

（2）若△ABC中，∠B=α，∠C=β（α＜β），根据第一问的结果大胆猜想∠DAE与α、β间的等量关系，不必说理由；

（3）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=40°，∠C=80°，请你运用

（2）中结论求出∠EFG的度数；

（4）在（3）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的度数大小发生改变吗？

说明理由．

10．

（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，试说明2∠A=∠1+∠2；

（2）如图②，若把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠A与∠1、∠2之间的等量关系是　　　　　　（无需说明理由）；

（3）如图③，若把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠A、∠D、∠1与∠2之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由．

11．Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2=　　　　　　；

（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　　　　　　；

（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系：

　　　　　　；

（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？

并说明理由．

12．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（3）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒30°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　　　　　　秒时，边MN恰好与边CD平行；在第　　　　　　秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）

13．

（1）如图1，△ABC中，∠A=60°，点E是两条内角平分线的交点，求∠BEC的度数；

（2）如图2，∠MON=80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：

随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，求出变化范围．

（3）图3画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY=60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠C的度数．若发生变化，求出变化范围．

14．如图1，点D为△ABC内一点，连结BD，CD．

（1）探究∠BDC与∠A，∠ABD，∠ACD之间的关系，并说明理由；

（2）请直接用

（1）中的结论，解决以下三个问题：

①当∠BDC=120°时，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD=　　　　　　°；

②如图2，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BDC=120°，∠A=50°，求∠BEC的度数；

③如图3，∠ABD，∠ACD的n等分线相交于点E1，E2，…，En﹣1，若∠BDC=x°，∠BE1C=y°，求∠A的度数（用含x，y，n的式子表示）．

15．如图，已知△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）若∠ABC=80°，∠ACB=50°，则∠BPC=　　　　　　度；

（2）若∠A=x°，试求∠BPC的度数（用含x的代数式表示）；

（3）现将一直线MN绕点P旋转．

①当直线MN与AB、AC的交点M、N分别在线段AB和AC上时（如图1），试求∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由；

②当直线MN与AB的交点M在线段AB上，与AC的交点N在AC的延长线上时（如图2），试问①中的数量关系是否仍然成立？

若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系，并说明理由．

16．

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：

如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；

①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；

②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

17．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：

如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+

∠A，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，∴∠1+∠2=

（∠ABC+∠ACB）=

（180°﹣∠A）=90°﹣

∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣

∠A）=90°+

∠A．

（1）探究2：

如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

请说明理由．

（2）探究3：

如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？

（直接写出结论）

（3）拓展：

如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？

（直接写出结论）

18．

（1）如图1，在凹四边形ABCD中，∠BDC=135°，∠B=∠C=30°，则∠A=　　　　　　°．

（2）如图2，在凹四边形ABCD中，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点E，∠A=60°，∠BDC=140°，则∠E=　　　　　　°．

（3）如图3，∠ABD，∠BAC的角平分线交于点E，∠C=40°，∠BDC=150°，求∠AEB的度数．

（4）如图4，∠BAC，∠BDC的角平分线交于点E，猜想∠B，∠C与∠E之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

19．探究一：

我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系　　　　　　．

探究二：

三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系　　　　　　．

探究三：

若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：

如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系　　　　　　．

探究四：

若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？

如图丁

则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系　　　　　　．

探究五：

如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；

（1）如图①，α+β＞180°，则∠F=　　　　　　；（用α，β表示）

（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F=　　　　　　；（用α，β表示）

（3）一定存在∠F吗？

如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．

20．观察下面图形，解答下列问题：

（1）观察规律，把下表填写完整：

边数

三

四

五

六

七

…

n

对角线条数

0

2

5

…

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数．

21．（2014春•邗江区校级期中）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．

（1）若∠BAC=70°，∠BIC的度数为　　　　　　．

（2）根据

（1）的解题经验你发现了∠BIC与哪些角相等，请写出来，并说明其中的道理．

（3）图中与∠EIC相等的角有　　　　　　．

22．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：

　　　　　　；

（2）在图2中，若∠D=42°，∠B=38°，试求∠P的度数；

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，并说明理由．

23．已知一副三角板ABE与ACD．图中∠ACD=30°，∠BAE=∠AEB=45°，∠ABE=∠CAD=90°．

（1）将两个三角板如图

（1）放置，连结BD，计算∠1+∠2=　　　　　　．

（2）将图1中的三角板ABE绕点A顺时针旋转一个锐角∠α．

①在旋转的过程中，当B点在直线CD的上方时，如图2，探究∠α、∠1、∠2间的数量关系，并说明理由？

②在旋转的过程中，当B点运动到直线CD的下方时，如图3，探究∠α、∠1、∠2间的数量关系，并直接写出此时的关系式．

　24．已知：

△ABC中，AE平分∠BAC．

（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C=70°，∠B=30°，则∠DAE=　　　　　　；

（2）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=40°，∠C=80°，求∠EFG的度数；

（3）在

（2）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的角度大小发生改变吗？

说明理由．

25．探究与发现：

平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O．

（1）如图1，若∠B=24°，∠D=42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数；

（2）如图2，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=

∠BAD，∠BCM=

∠BCD，求∠M的度数；

（3）如图3，设∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=

∠BAD，∠BCM=

∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数（直接写答案）．

26．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．

（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，过P点作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；

（3）在

（2）的条件下，将直线MN绕点P旋转．

（i）当直线MN与AB、AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由；

（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？

若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

27．如图1的图形，像我们常见的风筝．我们不妨把这样图形叫做“筝形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？

下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

观察“筝形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=58°，则∠ABX+∠ACX=　　　　　　°；

②如图3，已知DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=60°，∠DBE=150°，则∠DCE=　　　　　　°；

②如图4，已知∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A=　　　　　　°．

28．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．

（1）如图1，求∠EFB的度数为　　　　　　°．

（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．

①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为　　　　　　°．

②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？

如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．

29．

（1）如图1，角∠MON=84°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：

随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，请说明理由．

（2）如图2，两条互相垂直的直线MN、PQ，垂足为O，OE是∠PON的角平分线，点A、B分别在射线OE、OP上移动，BD是∠ABP的平分线，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点P，随着点A、B位置的变化，此时∠APB的大小是否会变化？

若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，请说明理由．

30．附加题：

探究题：

我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：

已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a．如图：

正五边形α=　　　　　　；正六边形α=　　　　　　；正八边形α=　　　　　　；

当正多边形的边数是n时，α=　　　　　　．

　二．解答题（共8小题）

1．

（1）如图1，在△ADC中，P为△ADC内一点，DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P=　　　　　　°；如果∠A=90°，那么∠P=　　　　　　°；如果∠A=x°，则∠P=　　　　　　°；（用含x的代数式表示）

（2）如图2，若将

（1）中的△ADC改为四边形ABCD，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；

（3）如图3，若将

（1）中的△ADC改为五边形ABCDE，其他条件不变，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：

　　　　　　；

（4）如图4，若将

（1）中的△ADC改为六边形ABCDEF，其他条件不变，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：

　　　　　　；

（5）若将

（1）中的△ADC改为n边形A1A2A3…An，P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：

　　　　　　．（用含n的代数式表示）

　2．归纳推理　证明

（1）填空：

如图1，过△ABC的顶点A有一直线EF，且EF∥BC，求证：

∠BAC+∠B+∠C=180°；

证明：

∵EF∥BC　　　（已知）

∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C；（　　　　　　）

又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°（平角定义）

∴∠BAC+∠B+∠C=180°（　　　　　　）

本题所证明的命题可用一句话概括为　　　　　　．

（2）在

（1）基础上请证明：

如图2，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠BPC的度数；（每一步无需写理由和依据）

（3）如图3，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．若∠A=β°，则∠XBC+∠XCB=　　　　　　，∠ABX+∠ACX=　　　　　　．（直接填写结果）

　3．动手操作，探究：

探究一：

三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：

如图

（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．

探究二：

若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：

如图

（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）

探究三：

若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？

请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：

　　　　　　．

4．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．

（1）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，求证：

DE⊥BF；

（2）如图②，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE∥BF．

　5．

（1）观察下列各图，第①个图中有1个三角形，第②个图中有3个三角形，第③个图中有6个三角形，第④个图中有　　　　　　个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有　　　　　　个三角形（用含正整数n的式子表示）；

（2）

（1）中是否存在一个图形，该图形中共有29个三角形？

若存在请画出图形；若不存在请通过具体计算说明；

（3）图③中，点B线段AC的中点，D为AC延长线上一个动点，记△PDA的面积为S1；△PCB的面积为S2；△PDC的面积为S3．下列两个结论

（1）

是定值；

（2）

是定值．有且只有一个结论是正确的，请作出选择并求值．

6．观察以下图形，回答问题：

（1）图②有　　　　　　个三角形；图③有　　　　　　个三角形；图④有　　　　　　个三角形；…猜测第七个图形中共有　　　　　　个三角形．

（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　　　　　　个三角形（用n的代数式表示结论）．

　7．如下几个图形是五角星和它的变形．

（1）图

（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．

（2）图

（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化

说明你的结论的正确性．

（3）把图

（2）中的点C向上移到BD上时

（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．

8．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°；图②中，∠D=90°，∠F=45°．图③是该同学所做的一个实验：

他将△DEF的直角边DE与△AB