2.已知复数z＝（2－i）2（i是虚数单位），则z的模为 Ｗ.
3.已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为 Ｗ.
4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 Ｗ.
I←1
WhileI<8
I←I＋2
S←2I＋3
EndWhile
PrintS
（第4题）
5.若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“是整数”的概率为 Ｗ.
6.若抛物线y2＝2px（p>0）的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点重合，则实数p的值为 Ｗ.
7.在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为 Ｗ.
8.已知正四棱锥的底面边长为2，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 Ｗ.
9.已知a，b∈R，函数f（x）＝（x－2）（ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，则关于x的不等式f（2－x）>0的解集为 Ｗ.
10.已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，则b的最大值为 Ｗ.
11.将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则以函数f（x）与g（x）的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 Ｗ.
12.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为 Ｗ.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：
x2＋y2＋2mx－（4m＋6）y－4＝0（m∈R）与以C2（－2，3）为圆心的圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x－x＝y－y，则实数m的值为 Ｗ.
14.已知x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为 Ｗ.
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在△ABC中，sinA＝，A∈（，π）.
（1）求sin2A的值；
（2）若sinB＝，求cosC的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.
（1）求证：
EF∥平面A1BD；
（2）若A1B1＝A1C1，求证：
平面A1BD⊥平面BB1C1C.
17.（本小题满分14分）
如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC＝，AB＝2km.
（1）若绿化区域△ABC的面积为1km2，求道路BC的长度；
（2）若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC＝θ（0<θ≤），当θ为何值时，该计划所需总费用最小？
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M（m，0）（m为常数，且m∈（0，2））的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？
若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝（x－a）lnx（a∈R）.
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线的方程；
（2）若对于任意的正数x，f（x）≥0恒成立，求实数a的值；
（3）若函数f（x）存在两个极值点，求实数a的取值范围.
20.（本小题满分16分）
已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an（qnan－1）＋2qnanan＋1＝an＋1（1－qnan＋1），且an＋1＋an≠0，其中a1＝2，q≠0.记Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn－1an.
（1）若q＝1，求T2019的值；
（2）设数列{bn}满足bn＝（1＋q）Tn－qnan.
①求数列{bn}的通项公式；
②若数列{cn}满足c1＝1，且当n≥2时，cn＝2bn－1－1，是否存在正整数k，t，使c1，ck－c1，ct－ck成等比数列？
若存在，求出所有k，t的值；若不存在，请说明理由.
2019届高三模拟考试试卷
数学附加题
（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.（选修42：
矩阵与变换）
已知矩阵A＝，B＝，求A－1B.
B.（选修44：
坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C：
ρ＝2cosθ.以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy，设过点A（3，0）的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率.
C.（选修45：
不等式选讲）
已知函数f（x）＝|x－1|.
（1）解不等式f（x－1）＋f（x＋3）≥6；
（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：
f（ab）>|a|f（）.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图，在三棱锥DABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点.
（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角ACEB的余弦值.
23.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－2a＋2an，n∈N*.
（1）用数学归纳法证明：
an∈（0，）；
（2）令bn＝－an，求证：
2019届高三模拟考试试卷（五）（苏北三市）
数学参考答案及评分标准
1.{1，2} 2.5 3.2 4.21 5. 6.4 7. 8.8 9.（0，4） 10. 11. 12.－1 13.－6 14.
15.解：
（1）由sinA＝，A∈（，π），则cosA＝－＝－＝－，（2分）
所以sin2A＝2sinAcosA＝2××（－）＝－.（6分）
（2）由A∈（，π），则B为锐角.
又sinB＝，所以cosB＝＝＝，（8分）
所以cosC＝－cos（A＋B）＝－（cosAcosB－sinAsinB）（12分）
＝－（－×－×）＝.（14分）
16.证明：
（1）因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.（3分）
因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
所以EF∥平面A1BD.（6分）
（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1.
因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D.（8分）
因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，
所以A1D⊥B1C1.（10分）
因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，
所以A1D⊥平面BB1C1C.（12分）
因为A1D⊂平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面BB1C1C.（14分）
17.解：
（1）在△ABC中，已知∠BAC＝，AB＝2km，
所以△ABC的面积S＝×AB×AC×sin＝1，解得AC＝2.（2分）
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cos
＝22＋22－2×2×2×cos＝8－4，（4分）
所以BC＝＝－（km）.（5分）
（2）由∠ABC＝θ，则∠ACB＝π－（θ＋），0<θ≤.
在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2km，由正弦定理得＝＝，
所以BC＝，AC＝.（7分）
记该计划所需费用为F（θ），
则F（θ）＝××2××10＋×10＝（0<θ≤）.（10分）
令f（θ）＝，则f′（θ）＝.（11分）
由f′（θ）＝0，得θ＝.
所以当θ∈（0，）时，f′（θ）<0，f（θ）单调递减；
当θ∈（，）时，f′（θ）>0，f（θ）单调递增.（12分）
所以当θ＝时，该计划所需费用最小.
答：
当θ＝时，该计划所需总费用最小.（14分）
18.解：
（1）设椭圆的右焦点为（c，0），由题意，得解得
所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.（4分）
（2）由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意.
设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x－m）.
又准线方程为x＝2，
所以点P的坐标为P（2，k（2－m））.（6分）
由得x2＋2k2（x－m）2＝2，
即（1＋2k2）x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，
所以xD＝·＝，yD＝k（－m）＝－，（8分）
所以kOD＝－，从而直线OD的方程为y＝－x，
所以点Q的坐标为Q（2，－），（10分）
所以以PQ为直径的圆的方程为（x－2）2＋[y－k（2－m）]（y＋）＝0，
即x2－4x＋2＋m＋y2－[k（2－m）－]y＝0.（14分）
因为该式对∀k≠0恒成立，所以解得
所以以PQ为直径的圆经过定点（2±，0）.（16分）
19.解：
（1）因为f（x）＝（x－a）lnx（a∈R），所以当a＝1时，f（x）＝（x－1）lnx，
则f′（x）＝lnx＋1－.（1分）
当x＝1时，f
（1）＝0，f′
（1）＝0，
所以曲线f（x）在点（1，f
（1））处的切线的方程为y＝0.（3分）
（2）因为对于任意的正数x，f（x）≥0恒成立，
所以当lnx＝0，即x＝1时，f（x）＝0，a∈R；（5分）
当lnx>0，即x>1时，x≥a恒成立，所以a≤1；（6分）
当lnx<0，即x<1时，x≤a恒成立，所以a≥1.
综上可知，对于任意的正数x，f（x）≥0恒成立，a＝1.（7分）
（3）因为函数f（x）存在两个极值点，
所以f′（x）＝lnx－＋1存在两个不相等的零点.
设g（x）＝lnx－＋1，则g′（x）＝＋＝.（8分）
当a≥0时，g′（x）>0，所以g（x）单调递增，至多一个零点.（9分）
当a<0时，x∈（0，－a）时，g′（x）<0，g（x）单调递减，
x∈（－a，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）单调递增，
所以x＝－a时，g（x）min＝g（－a）＝ln（－a）＋2.（11分）
因为g（x）存在两个不相等的零点，所以ln（－a）＋2<0，解得－e－2因为－e－2e2>－a.
因为g（－）＝ln（－）＋a2＋1>0，所以g（x）在（－a，＋∞）上存在一个零点.（13分）
因为－e－2设t＝－a，则y＝2lnt＋＋1（0因为y′＝<0，所以y＝2lnt＋＋1（0又函数图象是连续的，所以y>2ln＋e2＋1＝e2－3>0，
所以g（a2）＝lna2－＋1>0，所以在（0，－a）上存在一个零点.
综上可知，－e－220.解：
（1）当q＝1时，由an（qnan－1）＋2qnanan＋1＝an＋1（1－qnan＋1），
得（an＋1＋an）2＝an＋1＋an.
又an＋1＋an≠0，所以an＋1＋an＝1.（2分）
又a1＝2，
所以T2019＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a2018＋a2019）＝1011.（4分）
（2）①由an（qnan－1）＋2qnanan＋1＝an＋1（1－qnan＋1），得qn（an＋1＋an）2＝an＋1＋an.
又an＋1＋an≠0，所以an＋1＋an＝.（6分）
因为Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn－1an，
所以qTn＝qa1＋q2a2＋q3a3＋…＋qnan，
所以（1＋q）Tn＝a1＋q（a1＋a2）＋q2（a2＋a3）＋q3（a3＋a4）＋…＋qn－1（an－1＋an）＋qnan，
bn＝（1＋q）Tn－qnan＝a1＋1＋1＋…＋1＋qnan－qnan＝a1＋n－1＝n＋1，
所以bn＝n＋1.（10分）
②由题意，得cn＝2bn－1－1＝2n－1，n≥2.
因为c1，ck－c1，ct－ck成等比数列，
所以（ck－c1）2＝c1（ct－ck），即（2k－2）2＝2t－2k，（12分）
所以2t＝（2k）2－3·2k＋4，即2t－2＝（2k－1）2－3·2k－2＋1 （*）.
由于ck－c1≠0，所以k≠1，即k≥2.
当k＝2时，2t＝8，得t＝3.（14分）
当k≥3时，由（*）得（2k－1）2－3·2k－2＋1为奇数，
所以t－2＝0，即t＝2，代入（*）得22k－2－3·2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解.
综上，k＝2，t＝3.（16分）
2019届高三模拟考试试卷（五）（苏北三市）
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.解：
由题意得A－1＝，（5分）
所以A－1B＝＝.（10分）
B.解：
曲线C：
ρ＝2cosθ的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1.（4分）
设过点A（3，0）的直线l的直角坐标方程为x＝my＋3，
因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，
所以＝1，解得m＝±.（8分）
从而直线l的斜率为±.（10分）
C.
（1）解：
不等式的解集是（－∞，－3]∪[3，＋∞）.（4分）
（2）证明：
要证f（ab）>|a|f（），只要证|ab－1|>|b－a|，只需证（ab－1）2>（b－a）2.
而（ab－1）2－（b－a）2＝a2b2－a2－b2＋1＝（a2－1）（b2－1）>0，
从而原不等式成立.（10分）
22.解：
因为DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，所以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AC＝AD＝1，AB＝2，
所以A（0，0，0），C（1，0，0），B（0，2，0），D（0，0，1）.
因为点E为线段BD的中点，所以E（0，1，）.
（1）＝（0，1，），＝（1，－2，0），
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.（5分）
（2）设平面ACE的法向量为n1＝（x，y，z），因为＝（1，0，0），＝（0，1，），
所以n1·＝0，n1·＝0，即x＝0且y＋z＝0，取y＝1，得x＝0，z＝－2，
所以n1＝（0，1，－2）是平面ACE的一个法向量.
设平面BCE的法向量为n2＝（x，y，z），因为＝（1，－2，0），＝（0，－1，），
所以n2·＝0，n2·＝0，即x－2y＝0且－y＋z＝0，取y＝1，得x＝2，z＝2，
所以n2＝（2，1，2）是平面BCE的一个法向量.
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－.（8分）
所以二面角ACEB的余弦值为－.（10分）
23.证明：
（1）当n＝1时，a1＝∈（0，），结论显然成立；
假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，ak∈（0，），
则当n＝k＋1时，ak＋1＝－2a＋2ak＝－2（ak－）2＋∈（0，）.
综上，an∈（0，）.（4分）
（2）由
（1）知，an∈（0，），所以bn＝－an∈（0，）.
因为an＋1＝－2a＋2an，
所以－an＋1＝－（－2a＋2an）＝2a－2an＋＝2（an－）2，即bn＋1＝2b.
于是log2bn＋1＝2log2bn＋1，
所以（log2bn＋1＋1）＝2（log2bn＋1），
故{log2bn＋1}构成以2为公比的等比数列，其首项为log2b1＋1＝log2＋1＝log2.
于是log2bn＋1＝（log2）·2n－1，从而log2（2bn）＝（log2）·2n－1＝log2（）2n－1，
所以2bn＝（）2n－1，即bn＝，于是＝2·32n－1.（8分）
因为当i＝1，2时，2i－1＝i，
当i≥3时，2i－1＝（1＋1）i－1＝C＋C＋…＋C>C＋C＝i，
所以对∀i∈N*，有2i－1≥i，所以32i－1≥3i，所以＝2·32i－1≥2·3i，
从而
＝＋＋…＋≥2（31＋32＋…＋3n）＝2×＝3n＋1－3.（10分）
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