普通高等学校招生全国统一考试江苏卷文科数学试题及参考答案解析.docx

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普通高等学校招生全国统一考试江苏卷文科数学试题及参考答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．

2.若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．

（第3题）

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．

（第4题）

5.函数f（x）＝的定义域为________．

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

7.已知函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．

8.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1（a>0，b>0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．

9.已知函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），且在区间（－2，2]上，f（x）＝则f（f（15））的值为________．

10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

（第10题）

11.若函数f（x）＝2x3－ax2＋1（a∈R）在（0，＋∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．

12.在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：

y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．

13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．

14.已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将集合A∪B中的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.

（1）求证：

AB∥平面A1B1C；

（2）求证：

平面ABB1A1⊥平面A1BC.

（第15题）

16.（本小题满分14分）已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α＋β）＝－.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α－β）的值．

17.（本小题满分14分）、某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40m，点P到MN的距离为50m．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

（第17题）

18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1（－，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2.

（1）求椭圆C及圆O的方程．

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．

（第18题）

19.（本小题满分16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）求证：

函数f（x）＝x与g（x）＝x2＋2x－2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）＝ax2－1与g（x）＝lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）＝－x2＋a，g（x）＝，对任意a>0，判断是否存在b>0，使函数f（x）与g（x）在（0，＋∞）内存在“S点”，并说明理由．

20.（本小题满分16分）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．

（1）设a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1对n＝1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a1＝b1>0，m∈N*，q∈（1，]，证明：

存在d∈R，使得|an－bn|≤b1对n＝2，3，…，m＋1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

1.{1，8}　【解析】由题知A∩B＝{1，8}．

2.2　【解析】因为i·z＝1＋2i，所以z＝＝2－i，所以复数z的实数为2.

3.90　【解析】由题知x＝×（89＋89＋90＋91＋91）＝90.

4.8　【解析】循环过程中，I，S的变化情况如下表：

初始

第一次

第二次

第三次

I

1

3

5

7

S

1

2

4

8

当I＝7时，不满足I<6，跳出循环，输出S的值为8.

5.[2，＋∞）　【解析】由题知

解得x≥2，所以函数f（x）的定义域为[2，＋∞）．

6.　【解析】记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c.从中任选2名学生的基本事件包括：

AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10个，恰好选到2名女生的事件包括：

ab，ac，bc，共3个，故所求概率P＝.

7.－　【解析】由题意可知，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.又因为φ∈，所以k＝0，φ＝－.

8.2　【解析】取渐近线bx－ay＝0，F（c，0）到直线bx－ay＝0的距离d＝＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，解得＝4，即e＝2.

9.　【解析】由f（x＋4）＝f（x）可知f（x）的周期T＝4，从而f（15）＝f（16－1）＝f（－1）＝，所以f（f（15））＝f＝cos＝.

10.　【解析】如图，所求多面体体积V＝VM－ABCD＋VN－ABCD＝2VM－ABCD，而四棱锥M－ABCD的高为1，底面积SABCD＝AB2＝2，所以V＝2××2×1＝.

（第10题）

11.－3　【解析】方法一：

由题知f′（x）＝2x（3x－a），x∈（0，＋∞）．①当a≤0时，

f′（x）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，而f（0）＝1，则f（x）在（0，＋∞）上无零点，舍去．②当a>0时，f′（x）>0的解为x>，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，又f（x）只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，解得a＝3.所以f（x）＝2x3－3x2＋1，f′（x）＝6x（x－1），x∈[－1，1]．令f′（x）>0，得－1≤x<0；令f′（x）<0，得0

（1）＝0，所以f（x）max＋f（x）min＝f（－1）＋f（0）＝－4＋1＝－3.

方法二：

由2x3－ax2＋1＝0，x∈（0，＋∞），得a＝2x＋，令φ（x）＝2x＋，x∈（0，＋∞），φ′（x）＝2－＝，令φ′（x）＝0，解得x＝1.所以φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出φ（x）的大致图象如图所示，由题意可知a＝3.以下同方法一．

（第11题）

12.3　【解析】方法一：

由题意知点D在以AB为直径的圆上，所以BD⊥AD，又因为A，D均在直线y＝2x上，所以kBD＝－，结合B（5，0）得直线BD：

y＝－x＋，联立解得D（1，2）．设A（a，2a），a>0，则C，所以＝（5－a，－2a），＝，所以·＝（5－a）＋（－2a）（2－a）＝0，化简得a2－2a－3＝0，解得a＝3（舍去负值）．

方法二：

由·＝0知AB⊥CD，又因为C为AB中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，则tan∠ABO＝－tan（θ＋45°）＝－＝3，kAB＝－tan∠ABO＝－3，联立解得x＝3，即点A的横坐标为3.

13.9　【解析】方法一：

如图，设∠ADB＝θ，在△ADB中，＝，所以c＝＝.在△BCD中，＝，所以a＝，所以＋＝＝1，所以4a＋c＝（4a＋c）＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当c＝2a时取等号．

（第13题）

方法二：

由题知acsin120°＝asin60°＋csin60°，所以ac＝a＋c，即＋＝1，所以4a＋c＝（4a＋c）＝＋＋5≥9，当且仅当＝，即c＝2a时取等号．

方法三：

＝·＋，平方得1＝，则ac＝a＋c，所以（a－1）（c－1）＝1，所以4a＋c＝4（a－1）＋（c－1）＋5≥9，当且仅当c－1＝4（a－1），即c＝3，a＝时取等号．

方法四：

以B为坐标原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，则D（1，0），A，C.由A，D，C三点共线，得＝－，即＝－，所以ac＝a＋c.以下同方法二．

14.27　【解析】将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，7，8，…，2k，…，则an＝2k，其前面所有奇数的个数为2k－1，其和为22k－2（因为1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2），所有偶数的和为2＋22＋…＋2k＝2k＋1－2，即当n＝2k－1＋k时，Sn＝S2k－1＋k＝22k－2＋2k＋1－2，an＋1＝2k＋1.然后列举验证：

当k＝5时，S21＝28＋26－2＝318，12a22＝12×（25＋1）＝396，所以S21≥12a22不成立；当k＝6时，S38＝210＋27－2＝1150，12a39＝12×（26＋1）＝780，所以S38≥12a39成立，所以21

15.

（1）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.

因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C.

（2）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.

又因为A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC.又因为AB1平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

16.

（1）因为tanα＝＝，所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此cos2α＝2cos2α－1＝－.

（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．

又因为cos（α＋β）＝－，所以sin（α＋β）＝＝，

因此tan（α＋β）＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，

因此tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]＝＝－.

17.

（1）如图，连接PO并延长交MN于点H，则PH⊥MN，

所以OH＝10.过点O作OE⊥BC于点E，则