高中数学人教a版选修44学案第二讲 一 2 圆的参数方程 含答案.docx

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高中数学人教a版选修44学案第二讲一2圆的参数方程含答案

2．圆的参数方程

圆的参数方程

（1）在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是（x，y），那么θ＝ωt（ω为角速度）．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cosωt＝

，sinωt＝

，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为

（t为参数）．其中参数t的物理意义是：

质点做匀速圆周运动的时间．

（2）若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为

（θ为参数）．其中参数θ的几何意义是：

OM0（M0为t＝0时的位置）绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．

（3）若圆心在点M0（x0，y0），半径为R，则圆的参数方程为

（0≤θ＜2π）．

求圆的参数方程

[例1]　圆（x－r）2＋y2＝r2（r＞0），点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．

[思路点拨]　根据圆的特点，结合参数方程概念求解．

[解]　如图所示，

设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心，

∴∠MO′x＝2φ.

∴

（1）确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成

（2）由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．

1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．

解：

x2＋y2＝2x的标准方程为（x－1）2＋y2＝1，

设x－1＝cosθ，y＝sinθ，则

参数方程为

（0≤θ＜2π）．

2．已知点P（2,0），点Q是圆

上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：

设中点M（x，y）．则

即

（θ为参数）

这就是所求的轨迹方程．

它是以（1,0）为圆心，以

为半径的圆.

圆的参数方程的应用

[例2]　若x，y满足（x－1）2＋（y＋2）2＝4，求2x＋y的最值．

[思路点拨]　（x－1）2＋（y＋2）2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．

[解]　令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，则有