空间点直线平面间的位置关系 教案.docx
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空间点直线平面间的位置关系教案
空间点、直线、平面间的位置关系
适用学科
数学
适用年级
高二
适用区域
课时时长（分钟）
知识点
平面的基本性质
直线与直线的基本关系
直线与平面的基本关系
平面与平面的基本关系
异面直线的判定与异面直线所成的角
点共线、线过同一点、点线共面问题
教学目标
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
教学重点
综合应用
教学难点
综合应用
教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容
二、知识讲解
考点/易错点1平面的基本性质
名称
图示
文字表示
符号表示
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
考点/易错点2空间直线的位置关系的分类
考点/易错点3平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
考点/易错点4等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点/易错点5异面直线所成的角（或夹角）
（1）定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．
（2）范围：
.
考点/易错点6直线与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
直线l在平面α内
l⊂α
无数个
直线l与平面α相交
l∩α＝A
一个
直线l与平面α平行
l∥α
0个
考点/易错点7平面与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
两个平面平行
α∥β
0个
两个平面相交
α∩β＝l
无数个（这些公共点均在交线l上）
三、例题精析
【例题1】
【题干】
（1）在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
（2）对于四面体ABCD，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
【答案】
（1）C
（2）①④
【解析】
（1）由“两平行直线确定一个平面”知C正确．
（2）由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；
由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．
【例题2】
【题干】已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：
①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．
②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．
③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；
④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．
则四个结论中正确的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．
【例题3】
【题干】四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为
，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角∠PAB，在△PAB内，PB＝PA＝
，AB＝2，利用余弦定理可知：
cos∠PAB＝
＝
＝
.
四、课堂运用
【基础】
1．若a，b，c，d是空间四条直线．如果“a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d”，则（ ）
A．a∥b且c∥d
B．a，b，c，d中任意两条可能都不平行
C．a∥b
D．a与b，c与d中至少有一对直线互相平行
解析：
选D
（1）若a，b，c，d在同一平面内，则a∥b，c∥d.
（2）若a，b，c，d不在同一平面内，
①若a，b相交，则a，b确定平面α，此时c⊥α，d⊥α，故c∥d.
②若a，b异面，则可平移a与b相交确定平面β，此时，c⊥β，d⊥β，c∥d.
③若a，b平行，则c，d关系不定．
同理，若c，d相交，异面也可推出a∥b，
若c，d平行，则a，b关系不确定．
综上知，a，b，c，d中至少有一对直线互相平行．
2.设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ ）
A．不存在 B．只有1个
C．恰有4个 D．有无数多个
解析：
选D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．
3.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选C AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．
4．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：
E，F，G，H四点不共面，命题乙：
直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．
解析：
E，F，G，H四点不共面时，EF，GH一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E，F，G，H四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和异面两种情况，当EF，GH平行时，E，F，G，H四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．
答案：
充分不必要
5.如图所示，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．
解析：
取CB的中点G，连接EG，FG，
∴EG∥AB，FG∥CD.
∴EF与CD所成角即为∠EFG.
又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG，
在Rt△EFG中，EG＝
AB＝1，
FG＝
CD＝2，
∴sin∠EFG＝
.∴∠EFG＝
.
∴EF与CD所成的角为
.
答案：
【巩固】
1．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（ ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
解析：
选C 在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.
2．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．
解析：
正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有
＝24对（每一对被计算两次，所以要除以2）．
3．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．
（1）求证：
BC与AD是异面直线；
（2）求证：
EG与FH相交．
证明：
（1）假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．
（2）如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线，
所以EG与HF相交．
【拔高】
1．如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB＝OC＝3，OA＝4.给出如下判断：
①存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；
②存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；
③存在唯一的点D使得OD⊥平面ABC；
④存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；
⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．
其中正确命题的序号是________（把你认为正确命题的序号填上）．
解析：
①作OH⊥平面ABC于H并延长至D，使OH＝HD，则四面体DABC与四面体OABC全等，故①正确；
②在以O，A，B，C确定的球上，显然存在点D满足条件，故②正确；
③过O做平面ABC的垂线，在垂线上任取一点D，显然OD⊥平面ABC，故③不正确；
④△ABC不是正三角形，以△ABC为底面没有正棱锥．
取BC的中点O1，在平面AOO1内取D，使BC＝BD＝CD＝3
且AD＝5，则四面体是以△BCD为底的正棱锥，这样的D点存在，所以④正确．
⑤BC垂直于④所作的平面AOO1，在平面AOO1内以A为圆心，以BC为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的D点有无数个，故⑤正确．
答案：
①②④⑤
2．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．
解析：
分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝
a，DE＝
a，FE＝
a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝
＝－
，所以∠FDE＝120°.
所以直线PC与AB所成角的大小是60°.
答案：
60°
课程小结
1.三个公理的作用
（1）公理1的作用：
①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
（2）公理2的作用：
确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
（3）公理3的作用：
①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
（1）判定方法：
①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．
（2）所成的角的求法：
平移法．
课后作业
【基础】
1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：
选B ①在选项A中：
l1⊥l2，l2⊥l3，l1与l3可以平行也可相交或异面，借助正方体的棱很容易理解．
②在B中：
l1⊥l2，l2∥l3，由异面直线所成角的定义可以推出l1⊥l3.③l1∥l2∥l3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面．④共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．
2．在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选D 如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为
.
3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，
和a，且长为a的棱与长为
的棱异面，则a的取值范围是（ ）
A．（0，
）B．（0，
）
C．（1，
）D．（1，
）
解析：
选A 如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝
，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝
＝
，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×
>a，解得0.
4.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与CF异面；②直线BE与AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有________个．
解析：
如图，易得EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，即B，E，F，C四点共面，则①错误，②正确，③正确，④不一定正确．
答案：
2
【巩固】
1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：
C1，O，M三点共线．
证明：
∵C1∈平面A1ACC1，
且C1∈平面DBC1.
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．
又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.
∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，
∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，
∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．
∵O为A1C与截面DBC1的交点，
∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，
即O也是两平面的公共点，
∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．
2.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊
AD，BE綊
FA，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）求证：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
解：
（1）证明：
由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊
AD.又BC綊
AD，故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
（2）C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE綊
AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF綊BG.
由
（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．
【拔高】
1．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（ ）
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M
C．若a⊥M，a∥N，则M⊥N
D．若a⊂M，b⊂M,且l⊥a，l⊥b，则l⊥M
解析：
选C 同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错．a∥M，b⊥a时，b与M的位置关系不确定，B错；当a∥b时，l⊥a，l⊥b，l不一定垂直于M，故D错误．
2．正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2EB，CF＝2FD，将直角梯形AEFD沿EF折起到A′EFD′的位置，使点A′在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上．
（1）判断直线AA′与DD′的位置关系，并证明；
（2）证明平面A′AE⊥平面A′BC；
解：
（1）AA′∥DD′.
设直线AD与EF相交于点O，翻折后直线A′D′仍过O点，
∴A，A′，D，D′四点共面于平面OAA′.
又FD∥AE，FD⊄平面A′AE，
AE⊂平面A′AE，
∴FD∥平面A′AE.
同理，FD′∥平面A′AE，而FD∩FD′＝F，
∴平面DFD′∥平面A′AE.
又平面OAA′∩平面DFD′＝DD′，
平面OAA′∩平面A′AE＝AA′，
∴AA′∥DD′.
（2）∵A′G⊥平面ABCD，
∴A′G⊥AB.
又AB⊥BC，BC∩A′G＝G，
∴AB⊥平面A′BC.
又AB⊂平面A′AE，
∴平面A′AE⊥平面A′BC.
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